第一章集合與常用邏輯用語1.5.1全稱量詞與存在量詞教學目標

理解全稱量詞、存在的定義，全稱量詞命題、存在量詞命題的定義01

會用數學符號語言描述全稱量詞命題與存在量詞命題（重點）02掌握全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷（重點、難點）03全稱量詞與存在量詞學科素養(yǎng)

全稱量詞、存在的定義，全稱量詞命題、存在量詞命題的定義數學抽象

直觀想象

全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷邏輯推理

全稱量詞命題與存在量詞命題的應用數學運算

數據分析

數學建模全稱量詞與存在量詞德國著名的數學家哥德巴赫提出這樣一個猜想：“任意取一個奇數，都可以把它寫成三個素數之和，比如77，77＝53＋17＋7.”同年歐拉肯定了哥德巴赫猜想的正確，并且提出此猜想可以有另一等價的版本：每一個大于2的偶數都是兩個素數之和，即“1＋1”(1表示1個素數)，如8＝3＋5.這就是被譽為“數學皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．后來，數學家們陸續(xù)證明出了“9＋9”“7＋7”“6＋6”…“3＋3”“2＋3”，200多年后我國著名數學家陳景潤才證明了“1＋2”，即：任意一個充分大的偶數都可以寫成一個素數和最多不超過兩個素數之積的和，如8＝2＋2×3＝3＋5.從陳景潤的“1＋2”到“1＋1”似乎僅一步之遙，但迄今為止它仍然沒有得到正面證明，也沒有被推翻．不難發(fā)現(xiàn)，要想正面證明它就需要證明“任意一個”“每一個”“都”這種命題成立，但想要推翻它只需“存在一個”反例.情境導學新知講解

概念生成

知識點存在量詞及特稱命題的概念短語“

”“

”在邏輯中通常叫做

量詞，并用符號“

”表示.含有存在量詞的命題，叫做

.存在量詞及特稱命題的概念存在一個至少有一個?特稱命題知識點

特稱命題的表示特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為

，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.特稱命題的表示?x0∈M，p(x0)特稱命題的真假的判斷思考？如何判斷特稱命題的真假?解:要判定一個特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.探究存在量詞命題真假的判斷例判斷下列命題的真假:(1)?x,y為正實數,使x2+y2=0;解析

(1)因為當x2+y2=0時,x=y=0,所以不存在x,y為正實數,使x2+y2=0,故是假命題.思維突破存在量詞命題真假的判斷技巧存在量詞命題真假的判斷:要判定一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x0,使p(x0)

成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.探究由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數的范圍例

已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠?,若命題p:“?

x∈B,x∈A”是真命題,求實數m的取值范圍.解析因為命題p:“?x∈B,x∈A”是真命題,所以B?A,又B≠?,所以

解得2≤m≤3.故實數m的取值范圍是{m|2≤m≤3}.思維突破解由含量詞的命題的真假求參數的取值范圍的問題時,一般先把命題的真假

問題轉化為集合間的關系問題,再轉化為關于參數的不等式(組)求參數范圍

問題.變式訓練3.(1)(變條件)把上例中的命題p改為“?x∈A,x∈B”,求實數m的取值范圍;(2)(變條件,變結論)把上例中的命題p改為“?x∈A,x∈B”,是否存在實數m,

使命題p是真命題?若存在,求出實數m的取值范圍;若不存在,說明理由.解析(1)p為真,則A∩B≠?,又B≠?,所以

解得2≤m≤4.故實數m的取值范圍是{m|2≤m≤4}.(2)不存在.理由:因為命題p:“?x∈A,x∈B”是真命題,所以A?B,又B≠?,所以

無解,所以不存在實數m,使命題p是真命題.【練習】下列命題中為全稱量詞命題的是(

)A.有些實數沒有倒數；

B.矩形都有外接圓；C.過直線外一點有一條直線和已知直線平行；D.?x∈R，x2+x≤2.【解析】選A、C、D是存在量詞命題，B可改寫為“所有矩形都有外接圓”，是全稱量詞命題.B【練習】將下列命題用“?”或“?”表示．(1)實數的平方是非負數；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少存在一個負根.?x0<0，ax02＋2x0＋1＝0(a<0)．?x∈R，x2≥0．【練習】判斷下列量詞命題的真假．(1)末位是零的整數，可以被5整除．(2)?x∈R，有|x＋1|>1.(3)?x∈R，滿足3x2＋2>0.(4)有些整數只有兩個正因數．因為每一個末位是零的整數，都能被5整除，所以(1)是真命題.當x＝0時，不滿足|x＋1|>1，所以(2)為假命題.?x∈R，有3x2＋2>0，所以(3)為真命題．如存在整數3只有正因數1和3，所以(4)為真命題．【練習】已知命題“任意1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實數m的取值范圍．因為“任意1≤x≤2，x2－m≥0”成立，所以x2－m≥0，即m≤x2對任意的1≤x≤2恒成立，【解析】因為y＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，所以y＝x2在1≤x≤2上的最小值為1．所以m≤1，所以實數m的取值范圍是{m|m≤1}．【練習】已知命題“存在1≤x≤2，x2－m≥0”為真命題，求實數m的取值范圍．【解析】因為y＝x2在1≤x≤2上y隨x增大而增大，

所以y＝x2在1≤x≤2上的最大值為22＝4．

因為“存在1≤x≤2，x2－m≥0”成立，

所以x2－m≥0，即m≤x2在