2022二次函數(shù)分類一.選擇題1.(2022蘭州)二次函數(shù)的圖像的頂點坐標是(A)A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）2.(2022蘭州)拋物線圖像向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得圖像的解析式為，則b、c的值為(B)A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=23.(2022河北)如圖，已知拋物線的對稱軸為，點A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點A的坐標為（0，3），則點B的坐標為(D)A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）4.(2022陜西)將拋物線C：y=x2+3x-10，將拋物線C平移到C/。若兩條拋物線C,C/關(guān)于直線x=1對稱，則下列平移方法中正確的是（C）A將拋物線C向右平移個單位B將拋物線C向右平移3個單位C將拋物線C向右平移5個單位D將拋物線C向右平移6個單位5.（2022遵義）如圖，兩條拋物線、與分別經(jīng)過點,且平行于軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（A）Ａ．8Ｂ．6Ｃ．10Ｄ．4xyO6.(2022萊蕪)二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(B)xyO A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.（2022麗水）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是(C)A． B． C． D． 8.（2022麗水）下列四個函數(shù)圖象中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是(C)9.(2022成都)把拋物線向右平移1個單位，所得拋物線的函數(shù)表達式為（D ）（A）（B）（C）（D）10.(2022蘭州)拋物線圖像如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖像大致為(D)xxxxxx11.（2022濟南）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＜0時x的取值范圍是（C）A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞212.（2022杭州）定義[]為函數(shù)的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為[2m，1–m,–1–m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當m=–3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是(，)；②當m>0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；③當m<0時，函數(shù)在x>時，y隨x的增大而減?。虎墚攎0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點.其中正確的結(jié)論有（B）A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④13.(2022舟山)已知二次函數(shù)，則函數(shù)值y的最小值是（C）A.3 B.2 C.1 D.-114.(2022咸寧)已知拋物線（＜0）過A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四點，則與的大小關(guān)系是(A)A．＞ B． C．＜ D．不能確定15.(2022桂林)將拋物線繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（D）A．B．C．D．16.(2022桂林)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于F,設(shè)BE=，F(xiàn)C=，則當點E從點B運動到點C時,關(guān)于的函數(shù)圖象是(A) A．B．C．D． 17.（2022鹽城）給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④．時，y隨x的增大而減小的函數(shù)有（C）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個18.（2022浙江金華）已知拋物線的開口向下,頂點坐標為（2，－3）,那么該拋物線有（B） A.最小值－3 B.最大值－3 C.最小值2 D.最大值219.(2022寧夏)把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的表達式（B）A．B．C．D．．20.（2022天津）已知二次函數(shù)()的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：yxO①yxO②；③；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（D）21.（2022臺州）如圖，點A，B的坐標分別為（1,4）和（4,4）,拋物線的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為，則點D的橫坐標最大值為(D)yxOA．－yxO22.（2022宿遷）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經(jīng)過點A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點Q．BP=x，CQ=y，那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是（D）xyxyO463AxyO63DxyO364CxyO63BMQDCBPNA1Oxy23.(2022東營)二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（B）1OxyyyxOB.yxOA.yxOC.yxOD.24.(2022黃岡)若函數(shù)，則當函數(shù)值y＝8時，自變量x的值是（D）A．±B．4C．±或4D．4或－25.（2022泰安）下列函數(shù)：①②③④，其中的值隨值的增大而增大的函數(shù)有（C）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個26.（2022泰安）如圖，矩形ABCD的兩對角線AC、BD交于點O，∠AOB=60°，設(shè)AB=cm，矩形ABCD的面積為scm2,則變量s與之間的函數(shù)關(guān)系式為（A）A． B． C． D．27．(2022達州)拋物線圖象如圖所示，根據(jù)圖象，拋物線的解析式可能是(C)A.B.C.D.28．（2022柳州）拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應(yīng)值如下表：…012……04664…從上表可知，下列說法正確的個數(shù)是（C）①拋物線與軸的一個交點為②拋物線與軸的交點為③拋物線的對稱軸是：④在對稱軸左側(cè)隨增大而增大A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．429.(2022濰坊)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象大致如圖.若則自變量的取值范圍是（C）A．B.C.D.30.（2022泉州）9的平方根是（）.A.B.C.±3D.331.（2022甘肅）下列計算中正確的是（D）A．B． C.D．32.（2022甘肅）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關(guān)系為y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（B）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒33.．(2022鄂爾多斯)已知二次函數(shù)中函數(shù)與自變量之間的部分對應(yīng)值如右表所示，點在函數(shù)的圖象上，當時，與的大小關(guān)系正確的是（C）．A． B． C． D．34.（2022昭通）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是DA．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二.填空題1.(2022蘭州)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為米.2.(2022鎮(zhèn)江)已知實數(shù)的最大值為.43.（2022日照）如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.－1＜x＜3·4.(2022株洲)二次函數(shù)的圖象與軸的交點如圖所示，根據(jù)圖中信息可得到的值是．4·5.(2022株洲)已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當取不同的值時，其圖象構(gòu)成一個“拋物線系”．下圖分別是當，，，時二次函數(shù)的圖象.它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是.6.(2022成都)如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向以的速度移動（不與點重合），動點從點開始沿邊向以的速度移動（不與點重合）．如果、分別從、同時出發(fā)，那么經(jīng)過_____________秒，四邊形的面積最?。?7.（2022浙江金華）若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的一個解，另一個解；-18.（2022郴州）將拋物線y=x2+1向下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是_____________．y=x2－19.（2022天津）已知二次函數(shù)()中自變量和函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表：…01……0…則該二次函數(shù)的解析式為．10.(1)(2022義烏)將拋物線y1＝2x2向右平移2個單位，得到拋物線y2的圖象，則y2=；（2）如圖，P是拋物線y2對稱軸上的一個動點，直線x＝t平行于y軸，分別與直線y＝x、拋物線y2交于點A、B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t＝．（1）2(x－2)2或（2）3、1、、11.（2022寧波）如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線上運動，當⊙P與軸相切時，圓心P的坐標為___________。（，2）或（，2）12.(2022玉溪) 如圖是二次函數(shù)在平面直角坐標系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①＞0；②++＜0；③2-＜0；2+8＞4中正確的是（填寫序號）②、④．13.（2022鹽城）寫出圖象經(jīng)過點(1，－1)的一個函數(shù)關(guān)系式．y=-x或y=-eq\f(1,x)或y=x2-2x，答案不唯一 14.（2022泰安）將變?yōu)榈男问?，則=_____。15．（2022綏化）拋物線y＝x2－4x＋EQ\F(m,2)與x軸的一個交點的坐標為(1，0)，則此拋物線與x軸的另一個交點的坐標______．（3,0）16.（2022包頭）．已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，且，與軸的正半軸的交點在的下方．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是個．417.（2022新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團）拋物線的部分圖象如圖所示，若，則的取值范圍是__________.111318.（2022昭通）某種火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度與時間的關(guān)系可以用公式表示．經(jīng)過________，火箭達到它的最高點．15三.解答題1.（2022寧波）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、B（0，－6）兩點。（1）求這個二次函數(shù)的解析式（2）設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與軸交于點C，連結(jié)BA、BC，求△ABC的面積。yyxCAOB解：（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入得：解得∴這個二次函數(shù)的解析式為（2）∵該拋物線對稱軸為直線∴點C的坐標為（4，0）∴∴2.（2022浙江金華）已知二次函數(shù)y=ax2＋bx－3的圖象經(jīng)過點A（2，－3），B（－1，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上平移 個單位． 解：(1)由已知，有，即，解得∴所求的二次函數(shù)的解析式為.(2)43.（2022廣東廣州）已知拋物線y＝－x2＋2x＋2．（1）該拋物線的對稱軸是，頂點坐標；（2）選取適當?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖7的直角坐標系內(nèi)描點畫出該拋物線的圖象；x……y……（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大?。猓海?）x＝1；（1，3）（2）x…－10123…y…－1232－1…（3）因為在對稱軸x＝1右側(cè)，y隨x的增大而減小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．4.（2022日照）如圖，小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大水平高度12米時，球移動的水平距離為9米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o，O、A兩點相距8米．（1）求出點A的坐標及直線OA的解析式；（2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點．解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30o，OA=8，∴AC=OA·sin30o=8×=，OC=OA·cos30o=8×=12．∴點A的坐標為（12，）．設(shè)OA的解析式為y=kx，把點A（12，）的坐標代入得：=12k，∴k=，∴OA的解析式為y=x；(2)∵頂點B的坐標是（9，12）,點O的坐標是（0，0）∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-9)+12，把點O的坐標代入得：0=a（0-9）+12，解得a=，∴拋物線的解析式為y=(x-9)+12及y=x+x；(3)∵當x=12時，y=，∴小明這一桿不能把高爾夫球從O點直接打入球洞A點．5.(2022蘭州)如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E（4,0）（1）當x取何值時，該拋物線的最大值是多少？（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）.①當時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．解：（1）因拋物線經(jīng)過坐標原點O（0,0）和點E（4,0）故可得c=0,b=4所以拋物線的解析式為由得當x=2時，該拋物線的最大值是4.（2）①點P不在直線ME上.已知M點的坐標為(2,4)，E點的坐標為(4,0)，設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b.于是得，解得所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8.由已知條件易得，當時，OA=AP=，∵P點的坐標不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8.∴當時，點P不在直線ME上.②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，∴OA=AP=t.∴點P，N的坐標分別為(t,t)、(t,-t2+4t)∴AN=-t2+4t(0≤t≤3),∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴S=DC·AD=×3×2=3.（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=(CD+PN)·AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3當-t2+3t+3=5時，解得t=1、2而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5綜上所述，當t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5，當t=1時，此時N點的坐標（1,3）當t=2時，此時N點的坐標（2,4）說明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當t=0和t=3時也適合.6.（2022鹽城）已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個公共點．（1）求這個函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由．AAxyOB1-21AxyOBPM1-21AxyOBPMCQED∴函數(shù)的解析式為：y=x+1或`y=eq\f(1,4)x2+x+1（2）∵eq\a(y=ax2+x+1)是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關(guān)系式為：y=eq\f(1,4)x2+x+1，則頂點為B（-2，0），圖象與y軸的交點坐標為A（0，1）∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴，故PC=2BC，設(shè)P點的坐標為(x，y)，∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，∴∠PBO是鈍角，∴x<-2∴BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x，P點的坐標為(x，-4-2x)∵點P在二次函數(shù)y=eq\f(1,4)x2+x+1的圖象上，∴-4-2x=eq\f(1,4)x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10∵x<-2∴x=-10，∴P點的坐標為：(-10，16)（3）點M不在拋物線eq\a(y=ax2+x+1)上由（2）知：C為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ∴QE∥MD，QE=eq\f(1,2)MD，QE⊥CE∵CM⊥PB，QE⊥CEPC⊥x軸∴∠QCE=∠EQB=∠CPB∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=eq\f(1,2)CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，故BE=eq\f(8,5)，QE=eq\f(16,5)∴Q點的坐標為(-eq\f(18,5)，eq\f(16,5))可求得M點的坐標為(eq\f(14,5)，eq\f(32,5))∵eq\f(1,4)(\f(14,5))2+(\f(14,5))+1=eq\f(144,25)≠eq\f(32,5)∴C點關(guān)于直線PB的對稱點M不在拋物線eq\a(y=ax2+x+1)上7.（2022涼山州）已知：拋物線，頂點，與軸交于A、B兩點，。(1)求這條拋物線的解析式；(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于點F，依次連接A、D、B、E，點Q為線段AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作于，于，請判斷是否為定值；若是，請求出此定值，若不是，請說明理由；(3)在（2）的條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作，分別與邊、相交于、，（與、不重合，與、不重合），請判斷是否成立；若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由。8.(2022益陽)如圖，在平面直角坐標系中，已知A、B、C三點的坐標分別為A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)過Ｃ點作CD平行于軸交拋物線于點D，寫出D點的坐標，并求AD、BC的交點E的坐標；(3)若拋物線的頂點為Ｐ，連結(jié)ＰC、ＰD，判斷四邊形CEDP的形狀，并說明理由.解：⑴由于拋物線經(jīng)過點，可設(shè)拋物線的解析式為，則，解得∴拋物線的解析式為⑵的坐標為直線的解析式為直線的解析式為由求得交點的坐標為⑶連結(jié)交于，的坐標為又∵，∴，且∴四邊形是菱形9.(2022青島)某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：．（1）設(shè)李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝進價×銷售量）解：（1）由題意，得：w=(x－20)·y=(x－20)·().答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．（2）由題意，得：解這個方程得：x1=30，x2=40．答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應(yīng)定為30元或40元.（3）∵，∴拋物線開口向下.∴當30≤x≤40時，w≥2000．∵x≤32，∴當30≤x≤32時，w≥2000．設(shè)成本為P（元），由題意，得：∵，∴P隨x的增大而減小.∴當x=32時，P最小＝3600.答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．10.（2022紹興）如圖,設(shè)拋物線C1:,C2:,C1與C2的交點為A,B,點A的坐標是,點B的橫坐標是－2.（1）求的值及點B的坐標；（2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG.記過C2頂點Ｍ的直線為,且與x軸交于點N.①若過△DHG的頂點G,點D的坐標為(1,2)，求點N的橫坐標；②若與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.解：（1）∵點A在拋物線C1上，∴把點A坐標代入得=1.∴拋物線C1的解析式為,設(shè)B(－2,b)，∴b＝－4,∴B(－2,－4).（2）①如圖1，∵M(1,5)，D(1,2),且DH⊥x軸，∴點M在DH上，MH=5.過點G作GE⊥DH,垂足為E,第24題圖1由△DHG是正三角形,可得EG=,EH=1，第24題圖1∴ME＝4.設(shè)N(x,0),則NH＝x－1,由△MEG∽△MHN,得,∴,∴,∴點N的橫坐標為．第24題圖2②當點Ｄ移到與點A重合時,如圖2，第24題圖2直線與DG交于點G,此時點Ｎ的橫坐標最大．過點Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點Ｑ,F,設(shè)Ｎ（x，0），∵A(2,4),∴G(,2),∴NQ=，ＮF=,GQ=2,MF=5.∵△NGQ∽△NMF，∴,第24題圖3圖4∴,第24題圖3圖4∴.當點D移到與點B重合時,如圖3，直線與DG交于點D,即點B,此時點N的橫坐標最小.∵B(－2,－4),∴H(－2,0),D(－2,－4),設(shè)N（x，0），∵△BHN∽△MFN，∴，∴,∴.∴點N橫坐標的范圍為≤x≤.（2022南充）已知拋物線上有不同的兩點E和F．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F．BABAMCDOPQxy解：（1）拋物線的對稱軸為．

∵拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標相同，

∴點E和點F關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則，且k≠－2．

∴拋物線的解析式為．

（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），

∴AB＝，AM＝BM＝．

在∠PMQ繞點M在AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，

在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，

在直線AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．

∴∠BCM＝∠AMD．

故△BCM∽△AMD．

∴，即，．

故n和m之間的函數(shù)關(guān)系式為（m＞0）．

（3）∵F在上，

∴，

化簡得，，∴k1＝1，k2＝3．

即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．

①MF過M（2，2）和F1（－2，0），設(shè)MF為，

則解得，∴直線MF的解析式為．

直線MF與x軸交點為（－2，0），與y軸交點為（0，1）．

若MP過點F（－2，0），則n＝4－1＝3，m＝；

若MQ過點F（－2，0），則m＝4－（－2）＝6，n＝．

②MF過M（2，2）和F1（－4，－8），設(shè)MF為，

則解得，∴直線MF的解析式為．

直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）．

若MP過點F（－4，－8），則n＝4－（）＝，m＝；

若MQ過點F（－4，－8），則m＝4－＝，n＝．

故當或時，∠PMQ的邊過點F．12.（2022南充）如圖，在水平地面點A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，在地面上落點為B．有人在直線AB上點C（靠點B一側(cè)）豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi)．已知AB＝4米，AC＝3米，網(wǎng)球飛行最大高度OM=5米，圓柱形桶的直徑為米，高為米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計）．

（1）如果豎直擺放5個圓柱形桶時，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？

（2）當豎直擺放圓柱形桶多少個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？解：（1）以點O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖）．M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）

設(shè)拋物線的解析式為，

拋物線過點M和點B，則，．

即拋物線解析式為．

當x＝時，y＝；當x＝時，y＝．

即P（1，），Q（，）在拋物線上．

當豎直擺放5個圓柱形桶時，桶高＝×5＝．

∵＜且＜，∴網(wǎng)球不能落入桶內(nèi)．

（2）設(shè)豎直擺放圓柱形桶m個時網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)，

由題意，得，≤m≤．

解得，≤m≤．

∵m為整數(shù)，∴m的值為8，9，10，11，12．

∴當豎直擺放圓柱形桶8，9，10，11或12個時，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)．13.（2022湘潭）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F(xiàn)點以2cm／秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm／秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設(shè)運動時間為t秒(0<t<5)．（1）求證：△ACD∽△BAC；（2）求DC的長；（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值．解：（1）∵CD∥AB,∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC,∠ACB=90o∴∠D=∠ACB=90o∴△ACD∽△BAC（2）∵△ACD∽△BAC∴即解得： 過點E作AB的垂線，垂足為G，∴△ACB∽△EGB

∴即故 == 故當t=時，y的最小值為19.14.（2022宿遷）已知拋物線交x軸于A(1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C，其頂點為D．（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；（2）連接BC，過點O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點E．求證：四邊形ODBE是等腰梯形；（3）拋物線上是否存在點Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）求出：，，拋物線的對稱軸為：x=2(2)拋物線的解析式為，易得C點坐標為（0，3），D點坐標為（2，-1）設(shè)拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，易得F點坐標為（2，0），連接OD，DB，BE∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點坐標為（2，2），∴∠BOE=∠OBD=∴OE∥BD∴四邊形ODBE是梯形在和中，OD=，BE=∴OD=BE∴四邊形ODBE是等腰梯形(3)存在，由題意得：設(shè)點Q坐標為（x，y），由題意得：=∴當y=1時，即，∴，，∴Q點坐標為（2+，1）或(2-，1)當y=-1時，即，∴x=2，∴Q點坐標為（2，-1）綜上所述，拋物線上存在三點Q（2+，1），Q(2-，1)，Q（2，-1）使得=．EEFQ1Q3Q215.(2022巴中)如圖已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角坐標系．此時，A點坐標為（一1，0），B點坐標為（4，0）（1）試求點C的坐標（2）若拋物線過△ABC的三個頂點，求拋物線的解析式．（3）點D（1，m）在拋物線上，過點A的直線y=－x－1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側(cè)是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由。解:(1)∵∠ACB＝90°∴△AOC∽△COB∴或(負值舍去)∴點C的坐標為(0,2).(2)∵拋物線過△ABC的三個頂點，∴∴拋物線的解析式是.(3)解方程組,得,則E點坐標為(6,－7).∵點D（1，m）在拋物線上，∴. ∴點D的坐標是(1,3).在△ABE中,三邊的長度分別是:AB=4+1=5,，。設(shè)P點坐標是（x，0）（x<4）在△PBD中,三邊的長度分別是:,,.當點P在點O與點B之間時,如果以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似,則有∠BPD=∠ABE.此時有,或,.當時,.∵,∴.則存在點P(,0),使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似.當點P在x軸的負半軸上時,如果以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似,則有∠BDP=∠ABE.此時有,,.當時,.∵,∴.則存在點P(,0),使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似.16.O3－1xy（2022中山）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，它與O3－1xy與y軸的交點坐標為（0，3）。（1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍。（1）（2）17.（2022常德）如圖，已知拋物線軸交于點A（-4，0）和B（1，0）兩點，與y軸交于C點.求此拋物線的解析式；設(shè)E是線段AB上的動點，作EF∥AC交BC于F，連接CE，當?shù)拿娣e是面積的2倍時，求E點的坐標；若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q，當P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標.AABOCyx解：（1）由二次函數(shù)與軸交于、兩點可得：解得：故所求二次函數(shù)的解析式為． （2）∵S△CEF=2S△BEF,∴ ∵EF （3）解法一：由拋物線與軸的交點為，則點的坐標為（0，－2）．若設(shè)直線的解析式為，則有解得：故直線的解析式為． 若設(shè)點的坐標為，又點是過點所作軸的平行線與直線的交點，則點的坐標為（．則有：＝＝即當時，線段取大值，此時點的坐標為（－2，－3）解法二：延長交軸于點，則．要使線段最長，則只須△的面積取大值時即可. 設(shè)點坐標為（，則有: ＝ ＝ ＝＝＝＝－即時，△的面積取大值，此時線段最長，則點坐標為（－2，－3） 18.（2022郴州）如圖，已知?ABC中，，，D是AB上一動點，DE∥BC，交AC于E，將四邊形BDEC沿DE向上翻折，得四邊形，與AB、AC分別交于點M、N.（1）證明：?ADE；（2）設(shè)AD為x，梯形MDEN的面積為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式.當x為何值時y有最大值？（1）證明：因為DE∥BC，所以，所以?ADE.（2）因為，?ADE，相似比為，所以，所以因為所以所以又，所以所以.同理，,所以.配方得所以當時，y有最大值.19.（2022郴州）如圖（1），拋物線與y軸交于點A，E（0，b）為y軸上一動點，過點E的直線與拋物線交于點B、C.（1）求點A的坐標；（2)當b=0時（如圖（2）），與的面積大小關(guān)系如何？當時，上述關(guān)系還成立嗎，為什么？（3）是否存在這樣的b，使得是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，說明理由.圖（1）圖（1）圖（2）（1）將x=0，代入拋物線解析式，得點A的坐標為（0，－4）。（2）當b＝0時，直線為，由解得，所以B、C的坐標分別為（－2，－2），（2，2），所以（利用同底等高說明面積相等亦可）當時，仍有成立.理由如下由，解得，所以B、C的坐標分別為（－，－+b），（，+b），作軸，軸，垂足分別為F、G，則，而和是同底的兩個三角形，所以.（3）存在這樣的b.因為所以所以，即E為BC的中點所以當OE=CE時，為直角三角形因為所以，而所以，解得，所以當b＝4或－2時，ΔOBC為直角三角形.20.（２０１０荊州）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，某環(huán)保節(jié)能設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)品供不應(yīng)求．若該企業(yè)的某種環(huán)保設(shè)備每月的產(chǎn)量保持在一定的范圍，每套產(chǎn)品的生產(chǎn)成本不高于50萬元，每套產(chǎn)品的售價不低于90萬元．已知這種設(shè)備的月產(chǎn)量x（套）與每套的售價（萬元）之間滿足關(guān)系式，月產(chǎn)量x（套）與生產(chǎn)總成本（萬元）存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.（1）直接寫出與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求月產(chǎn)量x的范圍；（3）當月產(chǎn)量x（套）為多少時，這種設(shè)備的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？解：（1）（2）依題意得：解得：25≤x≤40（3）∵∴而25<35<40,∴當x=35時，即，月產(chǎn)量為35件時，利潤最大，最大利潤是1950萬元．21.（2022宜賓）將直角邊長為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點A、C及點B(–3，0)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等?若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)如圖，∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點A(0，6)，∴c=6．∵拋物線的圖象又經(jīng)過點(–3，0)和(6，0)，∴eq\b\lc\{(\a\al(0=9a–3b+6,0=36a+6b+6))解之，得eq\b\lc\{(\a\al(a=–eq\f(1,3),b=1))故此拋物線的解析式為：y=–eq\f(1,3)x2+x+6(2)設(shè)點P的坐標為(m，0)，則PC=6–m，S△ABC=eq\f(1,2)BC·AO=eq\f(1,2)×9×6=27．∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB．∴eq\f(S△CEP,S△CAB)=(eq\f(PC,BC))2,即eq\f(S△CEP,27)=(eq\f(6–m,9))2∴S△CEP=eq\f(1,3)(6–m)2.∵S△APC=eq\f(1,2)PC·AO=eq\f(1,2)(6–m)6=3(6–m)∴S△APE=S△APC–S△CEP=3(6–m)–eq\f(1,3)(6–m)2=–eq\f(1,3)(m–eq\f(3,2))2+eq\f(27,4).當m=eq\f(3,2)時，S△APE有最大面積為eq\f(27,4)；此時，點P的坐標為(eq\f(3,2),0)．(3)如圖，過G作GH⊥BC于點H，設(shè)點G的坐標為G(a，b)，連接AG、GC，∵S梯形AOHG=eq\f(1,2)a(b+6),S△CHG=eq\f(1,2)(6–a)b∴S四邊形AOCG=eq\f(1,2)a(b+6)+eq\f(1,2)(6–a)b=3(a+b)．∵S△AGC=S四邊形AOCG–S△AOC∴eq\f(27,4)=3(a+b)–18．∵點G(a，b)在拋物線y=–eq\f(1,3)x2+x+6的圖象上，∴b=–eq\f(1,3)a2+a+6.∴eq\f(27,4)=3(a–eq\f(1,3)a2+a+6)–18化簡，得4a2–24a+27=0解之，得a1=eq\f(3,2)，a2=eq\f(9,2)故點G的坐標為(eq\f(3,2),eq\f(27,4))或(eq\f(9,2)，eq\f(15,4))．22.(2022紅河)二次函數(shù)的圖像如圖所示，請將此圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位.（1）畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖像，并寫出函數(shù)的解析式.（2）求經(jīng)過兩次平移后的圖像與x軸的交點坐標，指出當x滿足什么條件時，函數(shù)值大于0？解：畫圖如圖所示：依題意得：==∴平移后圖像的解析式為：（2）當y=0時，=0∴平移后的圖像與x軸交與兩點，坐標分別為（，0）和（，0）由圖可知，當x<或x>時，二次函數(shù)的函數(shù)值大于0.23.（2022天津）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），與軸的正半軸交于點，頂點為.（Ⅰ）若，，求此時拋物線頂點的坐標；（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=S△ABC，求此時直線的解析式；（Ⅲ）將（Ⅰ）中的拋物線作適當?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC，且頂點恰好落在直線上，求此時拋物線的解析式.解：（Ⅰ）當，時，拋物線的解析式為，即.∴拋物線頂點的坐標為（1，4）．（Ⅱ）將（Ⅰ）中的拋物線向下平移，則頂點在對稱軸上，有，∴拋物線的解析式為（）．∴此時，拋物線與軸的交點為，頂點為．∵方程的兩個根為，，∴此時，拋物線與軸的交點為，．EyxFBDAOC如圖，過點作EF∥CB與軸交于點，連接，則S△BCEyxFBDAOC∵S△BCE=S△ABC，∴S△BCF=S△ABC．∴．設(shè)對稱軸與軸交于點，則．由EF∥CB，得．∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．∴．結(jié)合題意，解得．∴點，．設(shè)直線的解析式為，則解得∴直線的解析式為.（Ⅲ）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的頂點為，（，）則拋物線的解析式為，此時，拋物線與軸的交點為，與軸的交點為，.（）過點作EF∥CB與軸交于點，連接，則S△BCE=S△BCF.由S△BCE=2S△AOC，∴S△BCF=2S△AOC.得.設(shè)該拋物線的對稱軸與軸交于點.則.于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．∴，即．結(jié)合題意，解得．①∵點在直線上，有．②∴由①②，結(jié)合題意，解得．有，．∴拋物線的解析式為．24.如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作⊙C，拋物線過A、C、O三點．(1)求點C的坐標和拋物線的解析式；(2)過點B作直線與x軸交于點D，且OB2=OA·OD，求證：DB是⊙C的切線；(3)拋物線上是否存在一點P， 使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．解：（1）A（6，0），B（0，6）連結(jié)OC,由于∠AOB=90o，C為AB的中點，則，所以點O在⊙C上（沒有說明不扣分）．過C點作CE⊥OA，垂足為E，則E為OA中點,故點C的橫坐標為3．又點C在直線y=－x+6上，故C（3，3）拋物線過點O，所以c=0,又拋物線過點A、C，所以，解得：所以拋物線解析式為（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6所以O(shè)D=OB=OA，∠DBA=90o．又點B在圓上，故DB為⊙C的切線.（3）假設(shè)存在點P滿足題意．因C為AB中點,O在圓上,故∠OCA=90o,要使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，則∠CAP=90o或∠COP=90o,若∠CAP=90o,則OC∥AP，因OC的方程為y=x,設(shè)AP方程為y=x+b．又AP過點A（6，0），則b=－6,方程y=x－6與聯(lián)立解得：，，故點P1坐標為（－3，－9）若∠COP=90o,則OP∥AC，同理可求得點P2（9，－9）(用拋物線的對稱性求出亦可)故存在點P1坐標為（－3，－9）和P2（9，－9）滿足題意．25.（2022貴陽）某商場以每件50元的價格購進一種商品，銷售中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)，其圖象如圖所示.(1)每天的銷售數(shù)量m（件）與每件的銷售價格x（元）的函數(shù)表達式是．（3分）(2)求該商場每天銷售這種商品的銷售利潤y（元）與每件的銷售價格x（元）之間的函數(shù)表達式；（4分）(3)每件商品的銷售價格在什么范圍內(nèi)，每天的銷售利潤隨著銷售價格的提高而增加?（3分）O100100銷售數(shù)量（m）件銷售價格（xO100100銷售數(shù)量（m）件銷售價格（x）元（2）每件商品的利潤為x－50，所以每天的利潤為：y＝（x－50）（－x＋100）∴函數(shù)解析式為y＝－x＋150x－5000（3）∵x＝－＝75在50＜x＜75元時，每天的銷售利潤隨著x的增大而增大.26.(2022山西)已知二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．（1）求點A、B、C、D的坐標，并在下面直角坐標系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象；（2）說出拋物線y＝x2－2x－3可由拋物線y＝x2如何平移得到？（3）求四邊形OCDB的面積．27.(2022寧夏)如圖，已知：一次函數(shù)：的圖像與反比例函數(shù)：的圖像分別交于A、B兩點，點M是一次函數(shù)圖像在第一象限部分上的任意一點，過M分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M1、M2，設(shè)矩形MM1OM2的面積為S1；點N為反比例函數(shù)圖像上任意一點，過N分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為N1、N2，設(shè)矩形NN1ON2的面積為S2；（1）若設(shè)點M的坐標為(x，y)，請寫出S1關(guān)于x的函數(shù)表達式，并求x取何值時，S1的最大值；（2）觀察圖形，通過確定x的取值，試比較S1、S2的大小．解:(1)=當時，（2）∵由可得：∴通過觀察圖像可得：當時，當時，當時，28.(2022濱州)如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是(0，)，以點C為頂點的拋物線恰好經(jīng)過x軸上A、B兩點(1)求A、B、C三點的坐標；(2)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(3)若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位? 解:（1）A、B、C的坐標分別為，，（2）（3）設(shè)拋物線的解析式為，代入，可得，∴平移后的拋物線的解析式為?！嗥揭屏藗€單位。29.(2022長沙)已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），一次函數(shù)圖象經(jīng)過原點和點（1，－b），其中且、為實數(shù)．（1）求一次函數(shù)的表達式（用含b的式子表示）；（2）試說明：這兩個函數(shù)的圖象交于不同的兩點；（3）設(shè)（2）中的兩個交點的橫坐標分別為x1、x2，求|x1－x2|的范圍．解：（1）∵一次函數(shù)過原點∴設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx∵一次函數(shù)過（1，－b）∴y=－bx（2）∵y=ax2+bx－2過（1，0）即a+b=2由得①∵△＝∴方程①有兩個不相等的實數(shù)根∴方程組有兩組不同的解∴兩函數(shù)有兩個不同的交點．（3）∵兩交點的橫坐標x1、x2分別是方程①的解∴∴＝或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2∴2>a>1令函數(shù)∵在1<a<2時y隨a增大而減小．∴∴∴30.(2022長沙)如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動點P、Q分別從O、C同時出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒cm的速度勻速運動，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個定值，并求出這個定值；（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時，拋物線經(jīng)過B、P兩點，過線段BP上一動點M作軸的平行線交拋物線于N，當線段MN的長取最大值時，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．解：(1)∵CQ＝t，OP=t，CO=8∴OQ=8－t∴S△OPQ＝（0＜t＜8）(2)∵S四邊形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝＝32∴四邊形OPBQ的面積為一個定值，且等于32（3）當△OPQ與△PAB和△QPB相似時,△QPB必須是一個直角三角形，依題意只能是∠QPB＝90°又∵BQ與AO不平行∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP∴解得：t＝4經(jīng)檢驗：t＝4是方程的解且符合題意（從邊長關(guān)系和速度）此時P（，0）∵B（，8）且拋物線經(jīng)過B、P兩點，∴拋物線是，直線BP是：設(shè)M（m,）、N(m，)∵M在BP上運動∴∵與交于P、B兩點且拋物線的頂點是P∴當時，∴＝∴當時，MN有最大值是2∴設(shè)MN與BQ交于H點則、∴S△BHM＝＝∴S△BHM：S五邊形QOPMH＝＝3:29∴當MN取最大值時兩部分面積之比是3：29．31.（2022上海）如圖，已知平面直角坐標系xOy，拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(4,0)、B(1,3).（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，設(shè)拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關(guān)于直線l的對稱點為E，點E關(guān)于y軸的對稱點為F，若四邊形OAPF的面積為20，求m、n的值.（1）解：將A(4,0)、B(1,3)兩點坐標代入拋物線的方程得：解之得：b=4，c=0所以拋物線的表達式為：將拋物線的表達式配方得：所以對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，4）（2）點p（m，n）關(guān)于直線x=2的對稱點坐標為點E（4-m，n），則點E關(guān)于y軸對稱點為點F坐標為（4-m,-n），則四邊形OAPF可以分為：三角形OFA與三角形OAP，則=+==20所以=5，因為點P為第四象限的點，所以n<0，所以n=-5代入拋物線方程得m=532.（2022綿陽）如圖，八一廣場要設(shè)計一個矩形花壇，花壇的長、寬分別為200m、120m，花壇中有一橫兩縱的通道，橫、縱通道的寬度分別為3xm、2xm．（1）用代數(shù)式表示三條通道的總面積S；當通道總面積為花壇總面積的時，求橫、縱通道的寬分別是多少？（2）如果花壇綠化造價為每平方米3元，通道總造價為3168x元，那么橫、縱通道的寬分別為多少米時，花壇總造價最低？并求出最低造價．（以下數(shù)據(jù)可供參考：852=7225，862=7396，872=7569）（1）由題意得S=3x·200+2x·120×2－2×6x2=－12x2+1080x．由S=×200×120，得x2－90x+176=0，解得x=2或x=88．又x＞0，4x＜200，3x＜120，解得0＜x＜40，所以x=2，得橫、縱通道的寬分別是6m、4m．（2）設(shè)花壇總造價為y元．則y=3168x+（200×120－S）×3=3168x+（24000+12x2－1080x）×3=36x2－72x+72000=36（x－1）2+71964，當x=1，即縱、橫通道的寬分別為3m、2m時，花壇總造價量低，最低總造價為71964元．33.（2022綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標；（2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長；（3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積．解:（1）由題意，得解得，b=－1．所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）．（2）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對稱點為B，連結(jié)BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD=．而．CEDGAxyOBF∴△CDHCEDGAxyOBF設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b，則解得，b1=3．所以直線BD的解析式為y=x+3．由于BC=2，CE=BC∕2=，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:CB，所以CG=，GO=．G（0，）．同理可求得直線EF的解析式為y=x+．聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）．（3）設(shè)K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N．則KN=yK－yN=－（t+）=．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+）2+．即當t=－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）．34.(2022玉溪) 如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是.（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；（4）在（2）中，軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形.使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意得:∴B（－2，0）（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2)，代入點A（1,），得，∴CCABOyx（3）存在點C.過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E.當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△AOC的周長最小.∵△BCE∽△BAF,（4）存在.如圖，設(shè)p(x,y)，直線AB為y=kx+b,則，∴直線AB為，=|OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|=.∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=-×2×∣x+∣=-x+.yxAODBP∴yxAODBP∴x1=-,x2=1(舍去).∴p(-,-).又∵S△BOD=x+,∴==.∴x1=-,x2=-2.P(-2,0)，不符合題意.∴存在，點P坐標是（-，-）.35.（2022昆明）（2022昆明）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三點.（1）求此拋物線的解析式；（2）以O(shè)A的中點M為圓心，OM長為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點P，過點P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（注意：本題中的結(jié)果可保留根號）解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：由題意得：解得：∴拋物線的解析式為：ll′（2）存在拋物線的頂點坐標是，作拋物線和⊙M（如圖），設(shè)滿足條件的切線l與x軸交于點B，與⊙M相切于點C連接MC，過C作CD⊥x軸于D∵MC=OM=2,∠CBM=30°,CM⊥BC∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4,∴B(-2,0)在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°∴DM=1,CD==∴C(1,)設(shè)切線l的解析式為:，點B、C在l上，可得：解得：∴切線BC的解析式為：∵點P為拋物線與切線的交點由解得：∴點P的坐標為：，∵拋物線的對稱軸是直線此拋物線、⊙M都與直線成軸對稱圖形于是作切線l關(guān)于直線的對稱直線l′(如圖)得到B、C關(guān)于直線的對稱點B1、C1l′滿足題中要求，由對稱性，得到P1、P2關(guān)于直線的對稱點：，即為所求的點.∴這樣的點P共有4個：，，，36.（2022濟南）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數(shù)表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E．⑴求A、B、C三個點的坐標．⑵點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN．①求證：AN=BM．②在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值.xxDCMNDCMNOABPlxyFE解得：，∴A(－1，0)，B(3，0)∵=，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，將x=1代入，得y=2，∴C（1，2）.⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴∠CAE=60o，∴AC=BC，∴△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60o，又∵AM=AP，BN=BP，∴BN=CM，∴△ABN≌△BCM，∴AN=BM.②四邊形AMNB的面積有最小值．設(shè)AP=m，四邊形AMNB的面積為S，由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，∴CM=BN=BP=4－m，CN=m，過M作MF⊥BC,垂足為F,則MF=MC?sin60o=，∴S△CMN==?=，∴S=S△ABC－S△CMN=－（）=∴m=2時，S取得最小值3.37.(2022咸寧)AFCGODEBAFCGODEB（1）證明；（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，試求二次函數(shù)的最小值．38.(2022南安)某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系中，拋物線的解析式為且過頂點C（0，5）（長度單位：m）（1）直接寫出c的值；（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為m的地毯，地毯的價格為20元/,求購買地毯需多少元？（3）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側(cè)上），并鋪設(shè)斜面EG.已知矩形EFGH的周長為m，求斜面EG的傾斜角∠GEF的度數(shù).（精確到°）解(1)c=5．（2）由（1）知，OC=5，令，即，解得．∴地毯的總長度為：，∴（元）．答：購買地毯需要900元．(3)可設(shè)G的坐標為,其中，則．由已知得：，即，解得：（不合題意，舍去）．把代入．∴點G的坐標是（5，）．∴．在Rt△EFG中，，∴．39.(2022南安)如圖1，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底邊與重合，兩腰分別落在AB、AC上，且G、F分別是AB、AC的中點．（1）直接寫出△AGF與△ABC的面積的比值；（2）操作：固定，將等腰梯形以每秒1個單位的速度沿方向向右運動，直到點與點重合時停止．設(shè)運動時間為秒，運動后的等腰梯形為（如圖2）．①探究1：在運動過程中，四邊形能否是菱形？若能，請求出此時的值；若不能，請說明理由．FGABDCE圖2②探究2：設(shè)在運動過程中FGABDCE圖2AAFG(D)BC(E)圖1解：（1）△AGF與△ABC的面積比是1：４．（2）①能為菱形．由于FC∥，CE∥，四邊形是平行四邊形．當時，四邊形為菱形，AFGAFG(D)BC(E)圖3M當秒時，四邊形為②分兩種情況：①當時，如圖3過點作于．，，，為中點，．又分別為的中點，．方法一：等腰梯形的面積為6．，．重疊部分的面積為：．當時，與的函數(shù)關(guān)系式為．方法二：，，，重疊部分的面積為：．FGABCE圖4QFGABCE圖4QDP②當時，設(shè)與交于點，則．，，作于，則．重疊部分的面積為：．綜上，當時，與的函數(shù)關(guān)系式為；當時，40.(2022無錫) 如圖，矩形ABCD的頂點A、B的坐標分別為（-4,0）和（2,0），BC=．設(shè)直線AC與直線x=4交于點E．（1）求以直線x=4為對稱軸，且過C與原點O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并說明此拋物線一定過點E；QQ：623300747．轉(zhuǎn)載請注明！（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為N，M是該拋物線上位于C、N之間的一動點，求△CMN面積的最大值．解：（1）點C的坐標．設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為， 則，解得∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為…………①設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為則，解得．∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為，∴點E的坐標為把x=4代入①式，得，∴此拋物線過E點．（2）（1）中拋物線與x軸的另一個交點為N（8,0），設(shè)M（x，y），過M作MG⊥x軸于G，則S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN===∴當x=5時，S△CMN有最大值41.（2022恩施）恩施州綠色、富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠銷日本和韓國等地．上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在我州收購了2000千克香菇存放入冷庫中．據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克（1）若存放天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為元，試寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）李經(jīng)理想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（利潤＝銷售總金額－收購成本－各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：（1）由題意得與之間的函數(shù)關(guān)系式為＝=（≤≤110，且為整數(shù)）（不寫取值范圍不扣分）（2）由題意得：-10×2000-340=22500 解方程得：=50=150（不合題意，舍去）李經(jīng)理想獲得利潤2250元需將這批香菇存放50天后出售。 （2）設(shè)最大利潤為，由題意得=-10×2000-340當時，100天＜110天存放100天后出售這批香菇可獲得最大利潤30000元．42.（2022恩施）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.解：（1）將B、C兩點的坐標代入得解得：所以二次函數(shù)的表達式為：（2）存在點P，使四邊形POPC為菱形．設(shè)P點坐標為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO．連結(jié)PP則PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴=．∴=解得=，=（不合題意，舍去）∴P點的坐標為（，）（3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設(shè)P（x，），易得，直線BC的解析式為,則Q點的坐標為（x，x－3）.=當時，四邊形ABPC的面積最大此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積．43.(2022懷化)如圖是二次函數(shù)的圖象，其頂點坐標為M(1,-4).（1）求出圖象與軸的交點A,B的坐標；（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使,若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當直線與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.解;(1)因為M(1,-4)是二次函數(shù)的頂點坐標，所以令解之得.∴A，B兩點的坐標分別為A（-1，0），B（3,0）(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點P，使設(shè)則，又,圖1∴圖1∵二次函數(shù)的最小值為-4，∴.當時，.故P點坐標為（-2，5）或（4，5）（3）如圖1，當直線經(jīng)過A點時，可得當直線經(jīng)過B點時，可得由圖可知符合題意的的取值范圍為.44.(2022株洲)如圖，直角中，，，，點為邊上一動點，∥，交于點，連結(jié)．（1）求、的長；（2）設(shè)的長為，的面積為．當為何值時，最大，并求出最大值．（1）在中，，，得，∴，根據(jù)勾股定理得：．（2）∵∥，∴∽，∴設(shè)，則，∴∴當時，的最大值是1．45.(2022株洲)在平面直角坐標系中，拋物線過原點O，且與軸交于另一點，其頂點為．孔明同學用一把寬為帶刻度的矩形直尺對拋物線進行如下測量：①量得；②把直尺的左邊與