激趣誘思問題一:拋擲一枚骰子,點(diǎn)數(shù)2朝上和點(diǎn)數(shù)3朝上可以同時(shí)發(fā)生嗎?問題二:在兩個(gè)裝有質(zhì)量盤的不透明箱子中各隨機(jī)地取出一個(gè)質(zhì)量盤,“總質(zhì)量至少20kg”與“總質(zhì)量不超過10kg”能同時(shí)發(fā)生嗎?知識(shí)點(diǎn)撥一、互斥事件的概率加法公式1.定義:在一個(gè)試驗(yàn)中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),這一公式稱為互斥事件的概率加法公式.使用該公式時(shí)必須檢驗(yàn)是否滿足前提條件“兩兩互斥”.2.推廣:一般地,如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名師點(diǎn)析

互斥事件概率加法公式的作用在求某些較為復(fù)雜事件的概率時(shí),先將它分解為一些較為簡(jiǎn)單的并且概率已知或較容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功能.微練習(xí)在擲骰子的試驗(yàn)中,向上的數(shù)字是1或2的概率是

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二、對(duì)立事件的概率公式

名師點(diǎn)析

1.對(duì)立事件的概率公式使用的前提是兩個(gè)事件對(duì)立,否則不能使用.2.當(dāng)一個(gè)事件的概率不易直接求出,但其對(duì)立事件的概率易求時(shí),可運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式,即運(yùn)用間接法求概率.微練習(xí)從4名男生和2名女生中任選3人去參加演講比賽,所選3人都是男生的概率是,則所選3人中至少有1名女生的概率為

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解析設(shè)A={3人中至少有1名女生},B={3人都為男生},A,B為對(duì)立事件,課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一互斥事件的概率(1)分別求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.分析從12個(gè)球中任取一球,取到紅球、黑球、白球兩兩互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.解(1)從袋中任取一球,記事件A為“得到紅球”,B為“得到黑球”,C為“得到黃球”,D為“得到綠球”,則事件A,B,C,D兩兩互斥.(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球,∴得到的球是紅球或黃球,即事件A+C,反思感悟

互斥事件的概率的求解策略(1)當(dāng)一個(gè)事件包含幾種情況時(shí),可把事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式計(jì)算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)時(shí),必須先判斷A,B是否為互斥事件.變式訓(xùn)練

(1)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出一個(gè)球,摸出紅球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出紅球的概率為(

)A.0.42 B.0.38 C.0.2 D.0.8(2)向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投一枚炸彈,炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.2,炸中第二個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.12,炸中第三個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.28,三個(gè)軍火庫(kù)中,只要炸中一個(gè)另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸,求軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率.(1)解析記“摸一個(gè)球?yàn)榧t球”“摸一個(gè)球?yàn)榘浊颉焙汀懊粋€(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录嗀,B,C,則A,B,C為兩兩互斥事件,且A+B+C為必然事件,由題意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.答案C(2)解設(shè)A,B,C分別表示炸中第一、第二及第三個(gè)軍火庫(kù)這三個(gè)事件,事件D表示軍火庫(kù)爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因?yàn)橹煌稊S了一枚炸彈,故不可能炸中兩個(gè)及以上軍火庫(kù),所以A,B,C是兩兩互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率為0.6.探究二互斥事件和對(duì)立事件的概率例2某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率;(2)不夠7環(huán)的概率.分析先設(shè)出事件,判斷是否互斥或?qū)α?然后再使用概率公式求解.解(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中7環(huán)”為事件B,由于在一次射擊中,A與B不可能同時(shí)發(fā)生,故A與B是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E,則事件

為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”,由(1)可知“射中7環(huán)”“射中8環(huán)”等是兩兩互斥事件,∴P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,從而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03,∴不夠7環(huán)的概率是0.03.反思感悟

互斥事件和對(duì)立事件的概率的求解策略(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件,一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件,當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí),原事件的概率等于這些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).其使用的前提條件仍然是A1,A2,…,An兩兩互斥.故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事件及確定事件是否互斥.(2)“正難則反”是解決問題的一種很好的方法,應(yīng)注意掌握,如本例中的第(2)問,不能直接求解,則可考慮求其對(duì)立事件的概率,再轉(zhuǎn)化為所求.延伸探究本例條件不變,求射中8環(huán)及以上的概率.解記“射中8環(huán)及以上”為事件H,因?yàn)椤吧渲?環(huán)”“射中9環(huán)”“射中10環(huán)”是兩兩互斥事件,所以P(H)=0.21+0.23+0.25=0.69.∴射中8環(huán)及以上的概率為0.69.素養(yǎng)形成復(fù)雜的互斥事件的概率典例

在“元旦”聯(lián)歡會(huì)上設(shè)有一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲.抽獎(jiǎng)箱中共有12張紙條,分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、無獎(jiǎng)四種.從中任取一張,不中獎(jiǎng)的概率為,中二等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng)的概率是

.(1)求任取一張,中一等獎(jiǎng)的概率;(2)若中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率是,求任取一張,中三等獎(jiǎng)的概率.反思感悟

1.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求法,即將事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和;二是間接求法,先求出此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即運(yùn)用逆向思維法(正難則反).2.特別是解決“至多”“至少”型的題目,用方法二顯得更為方便,注意對(duì)立事件的分類做到不重不漏.當(dāng)堂檢