第二講直線與圓的位置關(guān)系2.2圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．圓內(nèi)接平行四邊形一定是()A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形解析：由于圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，平行四邊形的對(duì)角相等，所以圓內(nèi)接平行四邊形的各角均為直角，故為矩形．答案：D2．已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，則四邊形ADBC一定是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．等腰梯形解析：AB，CD均為⊙O的直徑，故四邊形ADBC的四個(gè)角均為直角，且對(duì)角線AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形．答案：A3．四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，則∠D等于()A．36° B．72°C．144° D．54°解析：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，∠A＋∠C＝180°.又由∠A∶∠C＝7∶3，設(shè)∠A＝7x，∠C＝3x，則10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠CBE＝40°，則∠AOC等于()A．20° B．40°C．80° D．100°解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，且∠CBE＝40°，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠D＝∠CBE＝40°，又由圓周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C5．如圖所示，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，則∠BCD的度數(shù)為()A．35° B．45°C．55° D．75°解析：如圖所示，連接AD，則△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，則∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A二、填空題6.如圖所示，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB與DC相交于點(diǎn)P.若PB＝1，PD＝3，則eq\f(BC,AD)的值為_(kāi)___．解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，所以∠BCP＝∠A.又∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以eq\f(BC,AD)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．如圖所示，⊙O1與⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，AC是⊙O1的直徑，延長(zhǎng)CA，CB，分別交⊙O2于D，E，則∠CDE＝______．解析：連接AB，因?yàn)锳C是⊙O1的直徑，所以∠ABC＝90°.又因?yàn)椤螦BC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如圖所示，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上，AB，DC相交于點(diǎn)P，AD，BC相交于點(diǎn)Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因?yàn)椤螦＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.又∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答題9.如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．證明：(1)由題設(shè)知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．10.如圖所示，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．(1)證明：CA是△ABC外接圓的直徑；(2)若DB＝BE＝EA，求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．(1)證明：因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知eq\f(BC,FA)＝eq\f(DC,EA)，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因?yàn)锽、E、F、C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圓的直徑．(2)解：連接CE，因?yàn)椤螩BE＝90°，所以過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，因?yàn)镈B＝BE，CE＝DC，又因?yàn)锽C2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，又因?yàn)镈C2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為eq\f(1,2).B級(jí)能力提升1.如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于()A．120° B．136°C．144° D．150°解析：因?yàn)椤螧CD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠A＝∠ECD＝72°.又由圓周角定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C2．兩圓相交于A，B，過(guò)A作兩直線分別交兩圓于C，D和E，F(xiàn).若∠EAB＝∠DAB，則CD＝________．解析：因?yàn)樗倪呅蜛BEC為圓內(nèi)接四邊形，所以∠2＝∠CEB.又因?yàn)椤?＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD與△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如圖所示，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．證明：(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(