工業(yè)機(jī)器人的路徑規(guī)劃

對于指定對象，使用機(jī)器人手執(zhí)行檢測操作的系統(tǒng)稱為檢測（系統(tǒng)），該系統(tǒng)分為簡單的夾持器提取和多臂提取。傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人不僅不能滿足特定的負(fù)荷調(diào)整操作的要求，而且能夠捕獲的對象的類型非常有限。機(jī)器人通常指的是一種真正意義上的人工控制和靈活操作的人。在機(jī)器人的幫助下，機(jī)器人手指可以執(zhí)行物體的運(yùn)動，這不僅有助于解決上述問題，而且有助于將機(jī)器人擴(kuò)展到更廣泛的范圍。抓取動態(tài)穩(wěn)定性是衡量機(jī)器人手進(jìn)行抓取操作質(zhì)量的重要指標(biāo)之一,也是評定抓取系統(tǒng)性能的一條重要準(zhǔn)則.抓取稱為是動態(tài)穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)因擾動而產(chǎn)生的抓取位置的所有偏差和力偏差都隨時間而消失.機(jī)器人抓取穩(wěn)定性的研究已經(jīng)引起眾多學(xué)者的關(guān)注,但現(xiàn)有的方法多是基于Lyapunov直接法的,而要構(gòu)造出一個合適的Lyapunov函數(shù)絕非易事.本文避免構(gòu)造Lyapunov函數(shù)提出了機(jī)器人多指手抓取穩(wěn)定性分析的一種新方法,并得到了抓取系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.1抓取系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性要研究機(jī)器人多指靈巧手抓取的穩(wěn)定性,首先需要建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.假定受到外界擾動后,被抓取物體偏離其平衡位姿的偏移量為y=[ΔqΔθ]∈R6×1,設(shè)x=[y˙y]∈R12×1.參考文,考慮由如下微分方程描述的抓取系統(tǒng)模型dx(t)dt=Ax(t)+F(x(t))(t≥0)(1)其中,x∈R12代表偏差變量,A∈R12×12,非線性項F(x)在x=0的一個鄰域內(nèi)關(guān)于x滿足Lipschitz條件,即?常數(shù)r>0,L>0,?x1、x2∈U(0,r)={x∈R12:‖x‖<r},有‖F(xiàn)(x1)-F(x2)‖≤L‖x1-x2‖.本文中‖·‖均取為向量的Euclid范數(shù).由于系統(tǒng)的初始值及參數(shù)在測量過程中會產(chǎn)生誤差,而且抓取系統(tǒng)在抓取操作的過程中還會受到外界環(huán)境的各種干擾,而這些因素都會涉及到抓取系統(tǒng)裝置或工具運(yùn)動過程中有無震蕩的問題,從而將影響抓取操作的穩(wěn)定性,所以很有必要研究抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性.抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)滿足系統(tǒng)偏差變量x=0,且F(0)=0,因此研究抓取系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性即研究方程(1)零平衡解的穩(wěn)定性.定義1抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的,如果?ε>0,?δ>0時,當(dāng)‖x0‖<δ時,系統(tǒng)滿足初始條件x(0)=x0的解x(t)均有‖x(t)‖<ε(?t≥0)成立.定義2抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,如果抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)穩(wěn)定,且?t≥0,?δ>0,當(dāng)‖x0‖<δ時,有l(wèi)imt→+∞x(t)=0.Γ={x∈R12:‖x‖<δ}稱為系統(tǒng)的吸引域.定義3抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是關(guān)于球Ω(δ)={x∈R12:‖x‖≤δ}指數(shù)穩(wěn)定的,如果?a、p>0,當(dāng)‖x0‖<δ時,系統(tǒng)在初始條件x(0)=x0下的解x(t)滿足‖x(t)‖≤pe-at‖x0‖(t≥0).特別地,當(dāng)Ω(δ)=R12時,則稱抓取系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.2抓1.2.2穩(wěn)定矩陣的條件Lyapunov直接法是用于研究非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要方法,但是對非線性系統(tǒng)要構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)一般來說十分困難.最近有人提出利用線性規(guī)劃的方法來尋找Lyapunov函數(shù),但卻無法保證構(gòu)造出的線性規(guī)劃一定存在可行解.下面將避免構(gòu)造Lyapunov函數(shù),給出機(jī)器人多指手抓取指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.引理1(Taussky定理)設(shè)C=(cij)n×n∈Cn×n是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣(即主對角元的模大于同行其他元素的模之和),則(1)C是非奇異的;(2)若cii>0(i=1,2,…,n),則C的每一個特征值均具有正實(shí)部.命題1任意的矩陣A=(aij)n×n∈Rn×n可表示成矩陣B和C的和,其中B是一個正定矩陣,C是一個穩(wěn)定矩陣(或稱Huiwitz矩陣).證明任取μ>0,矩陣A可表為A=B+C,其中B=[μ0?00μ?000?0000μ]C=[-μ+a11a12?a1na21-μ+a22?a2n???an1an2?-μ+ann]B為主對角元為正數(shù)μ的對角矩陣,顯然B是正定矩陣.下面考察矩陣C.當(dāng)μ-aii＞0,μ-aii＞n∑j=1,j≠i|-aij|(i=1,2,?,n)(則-C為行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣)時,由引理1可得Re(λi)>0,其中λi為-C的任一特征值.所以,C的每一個特征值λi均具有負(fù)實(shí)部,即C為穩(wěn)定矩陣.由上,此處的實(shí)數(shù)μ只須滿足條件μ＞0,μ-aii＞0?μ-aii≥n∑j=1,j≠i|-aij|(i=1,2,?,n),這樣的正數(shù)μ是完全可以取得到的.譬如取μ=η+max1≤i≤nn∑j=1|aij|,其中η取為任意一個正數(shù)即可.由上面命題1的證明,可知一定可以找到正定矩陣B和Huiwitz矩陣C,使得方程(1)中的矩陣A可表示為A=B+C,用λk(C)(k=1,2,…,12)來表示矩陣C的特征值,設(shè)α(C)=maxkRe{λk(C)},g(C)=(∥C∥2F-12∑k=1|λk(C)|2)12,其中‖C‖F(xiàn)是C的Frobenius范數(shù),即∥C∥F=√Τrace(CC*),并記Γ(C)=11∑j=0gj(C)(j!)1/2|α(C)|j+1.受文的啟發(fā),推出了抓取系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件如下:定理1若(‖B‖+L)Γ(C)<1,則抓取系統(tǒng)(1)是關(guān)于球Ω(δ0)={x∈R12:‖x‖≤δ0}指數(shù)穩(wěn)定的,其中δ0=r[1-(∥B∥+L)Γ(C)]χ-1,χ=supt≥0eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2.證明取系統(tǒng)(1)的初值為x(0),且‖x(0)‖<δ0.由χ=supt≥0eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2,顯然有χ≥1(考慮t=0時得).由δ0=r[1-(‖B‖+L)Γ(C)]χ-1,所以δ0≤r.因為方程(1)的解是連續(xù)依賴于初值的,又‖x(0)‖<δ0,所以?T>0,?t∈[0,T],有‖x(t)‖≤r.而且,對于任意的n×n常數(shù)矩陣H,有∥eΗt∥≤eα(Η)tn-1∑k=0gk(Η)tk(k!)3/2(?t≥0)因此‖eCt‖≤Γ(t,C)(?t≥0)其中Γ(t,C)=eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2將方程(1)改寫為dxdt=Cx+(B+F)(x)(2)由常數(shù)變易公式,可得方程(2)的解為x(t)=eCtx(0)+∫t0eC(t-s)[(B+F)(x(s))]ds由于?常數(shù)L>0,?x1,x2∈U(0,r),有‖F(xiàn)(x1)-F(x2)‖≤L‖x1-x2‖,且F(0)=0,故∥F(x(s))∥=∥F(x(s))-F(0)∥≤L∥x(s)∥從而有∥x(t)∥≤Γ(t,C)∥x(0)∥+∫t0Γ(t-s,C)(∥B∥+L)∥x(s)∥ds因此supt≤Τ∥x(t)∥≤χ∥x(0)∥+sups≤Τ∥x(s)∥∫Τ0Γ(Τ-s,C)[∥B∥+L]ds而?t≥0∫t0Γ(t-s,C)ds=∫t0eα(C)(t-s)11∑k=0gk(C)(t-s)k(k!)3/2ds≤∫∞0eα(C)z11∑k=0gk(C)zk(k!)3/2dz=Γ(C)所以有supt≤Τ∥x(t)∥≤χ∥x(0)∥+(∥B∥+L)Γ(C)sups≤Τ∥x(s)∥因此,當(dāng)(‖B‖+L)Γ(C)<1時,則有supt≤Τ∥x(t)∥≤(1-(∥B∥+L)Γ(C))-1χ∥x(0)∥(3)而‖x(0)‖<δ0,且不等式(3)的右邊與t無關(guān),故supt≥0∥x(t)∥≤(1-(∥B∥+L)Γ(C))-1χ∥x(0)∥(4)所以,?ε>0,?δ=ε(1-(‖B‖+L)Γ(C))χ-1>0,當(dāng)x0滿足‖x0‖<δ時,方程(1)滿足初始條件x(0)=x0的解均有‖x(t)‖<ε對?t≥0成立,即得方程(1)的零解是穩(wěn)定的.接下來證明方程(1)的零解是指數(shù)穩(wěn)定的.設(shè)xξ(t)=x(t)eξt(5)其中ξ是一個充分小的正數(shù),x(t)是方程的解.將式(5)代入方程(1)中,可得dxξdt=(ξ+C)xξ+F1(x)(6)其中F1(x)=eξtF(e-ξtx)(?x∈R12)又由‖F(xiàn)(x)‖≤L‖x‖,得‖F(xiàn)1(x)‖≤L‖x‖(?x∈R12,t≥0)將前面的推理運(yùn)用于方程(6),由式(4)可知xξ(t)是有界函數(shù).因此,方程(1)的零解是指數(shù)穩(wěn)定的.推論1記Γ(A)=11∑j=0gj(A)(j!)1/2|α(A)|j+1.特別地,當(dāng)A是穩(wěn)定矩陣時,若LΓ(A)<1,則抓取系統(tǒng)(1)是關(guān)于球Ω(δ0)指數(shù)穩(wěn)定的,其中δ0=r[1-LΓ(A)]χ-1,χ=supt≥0eα(A)t11∑j=0tjgj(A)(j!)3/2.當(dāng)A同時還是正規(guī)矩陣(即AA*=A*A)時,只要L|α(A)|-1<1,就可推得抓取系統(tǒng)(1)是指數(shù)穩(wěn)定的.證明當(dāng)A是穩(wěn)定矩陣時,結(jié)論由定理1立得;當(dāng)A同時