廣義poisson超代數(shù)上同調(diào)群

1有限維單李超分辨率的分類眾所周知，代際接近理論和上議院理論可以看作是一般表達(dá)理論的擴(kuò)展。作為一門(mén)獨(dú)立的研究主題，李氏家族的上同調(diào)最早出現(xiàn)在卡坦的工作中。這一理論的基礎(chǔ)是由cheentan、koszil、hochschild和serrye完成的。上、代、李三代的統(tǒng)一處理是由kat和eienburg提供的。值得注意的是，在超對(duì)稱出生的初期，研究主要集中在李超代的結(jié)構(gòu)和經(jīng)典的結(jié)果上。之后，letes和fuks在文本中計(jì)算了具有普通系數(shù)的李超代的上同調(diào)。kac完成了具有零維單元的有限維單李超代的分類，并以無(wú)限維單線性跟蹤李超代的分類。schent和zhang合作的文章詳細(xì)介紹了李超代的上同調(diào)，介紹并研究了更一般的李超代的上同調(diào)。文本顯示了李超世代的指導(dǎo)和中心輪廓的擴(kuò)展。此外，李超代的上同調(diào)結(jié)果也是非常罕見(jiàn)的，與上同調(diào)的非普通系數(shù)無(wú)關(guān)，因此很難進(jìn)行研究。廣義Poisson超代數(shù)是由Cantarini和Kac引入并進(jìn)行研究的.它是Jordan代數(shù)的基礎(chǔ),并且與李超代數(shù)和廣義Leibniz代數(shù)有著深刻的聯(lián)系.鑒于這種代數(shù)的重要性,本文研究它的同調(diào)和上同調(diào)群理論,刻畫(huà)了低階上同調(diào)群.最后,決定了5-正合列以及它的泛中心擴(kuò)張的核.2廣義poisson超金相本文中,K表示特征為0的代數(shù)閉域,所有的向量空間都假定為K上的.分別用Hom和表示HomK和.稱V為超空間,如果V是Z2-階化向量空間:如果a∈Vα,,則稱a是次數(shù)為α的齊次元素,并記a的次數(shù)為|a|,即α=|a|.的元素稱為偶的,的元素稱為奇的.為了方便,我們約定如果表達(dá)式中出現(xiàn)次數(shù)函子,相應(yīng)的元素都假設(shè)為齊次元素.本文中結(jié)合超代數(shù)A都被認(rèn)為是交換的(即對(duì)于a,b∈A,都有ab=(-1)|a‖b|ba),并且有單位元.結(jié)合超代數(shù)A上的雙模M是一個(gè)向量超空間,并且有兩種線性運(yùn)算滿足通常的條件.對(duì)于結(jié)合超代數(shù)A和它上面的雙模M,令則Der(A,M)是由A到M的所有導(dǎo)子組成的集合.定義2.1超代數(shù)A被稱為是廣義Poisson超代數(shù),如果A上定義的兩種運(yùn)算分別使得A是交換的結(jié)合超代數(shù)和李超代數(shù),并且滿足廣義Leibniz規(guī)則,即對(duì)于任意a,b,c∈A,有其中D是A的相對(duì)于兩種運(yùn)算的偶導(dǎo)子.如果D=0,則(2.2)變成通常的Leibniz規(guī)則.在這種情況下,A被稱為Poisson超代數(shù).廣義Poisson超代數(shù)A被稱為是完全的,如果注2.1如果A是有單位元的廣義Poisson超代數(shù),e是它的單位元,則D(a)=[e,a](在(2.2)中令b=c=e).例2.1考慮結(jié)合超代數(shù)O(2κ,n)有次數(shù)為偶的未定元p1,…,pk,q1,…,qk和次數(shù)為奇的未定元ξ1,…,ξn.在O(2κ,n)上定義如下括積(f,g∈O(2κ,n)):則O(2k,n)是一個(gè)Poisson超代數(shù),用P(2κ,n)來(lái)表示這一代數(shù).例2.2考慮結(jié)合超代數(shù)O(2κ+1,n)有次數(shù)為偶的未定元p1,…,pk,q1,…,qk和次數(shù)為奇的未定元ξ1,…,ξn.在O(2κ+1,n)上定義如下括積(f,g∈O(2κ+1,n)):其中是Eu1er算子,{f,g}如上所定義,則O(2k+1,n)是一個(gè)廣義Poisson超代數(shù),并且,用P(2κ+1,n)表示.定義2.2有單位元的廣義Poisson超代數(shù)A上的表示是一個(gè)雙模M,并且有兩種線性運(yùn)算:滿足其中m∈M,a,b∈A.下面給出表示的一個(gè)例子.例2.3(1)如果A是一個(gè)有單位元的廣義Poisson超代數(shù),則A上的括積給出自身上的一個(gè)表示.(2)設(shè)A是廣義Poisson超代數(shù),M是A上的雙模.令[a,m]=[m,a]=0,m∈M,a∈A.用這種方式,我們獲得了A上的一個(gè)表示,并且M[A,A]=0=[A,A]M.定義2.3設(shè)A是廣義Poisson超代數(shù),M是A上的表示,d是次數(shù)為α的從A到M的導(dǎo)子.如果d:A→M是線性映射,并且滿足,而且我們用GPSA表示廣義Poisson超代數(shù),用DerGPSA(A,M)表示從A到M的所有的導(dǎo)子組成的向量空間.定義2.4假設(shè)A是廣義Poisson超代數(shù),M是A上的表示,定義它們的半直積使得M⊕A是一個(gè)廣義Poisson超代數(shù),而且運(yùn)算滿足其中a1,a2∈A,m1,m2∈M3廣義上的復(fù)合花群體假設(shè)A是GPSA,M是A的表示.本節(jié)給出系數(shù)在M上的A的上同調(diào)群的定義.3.1廣義poisson上同調(diào)群的生成假設(shè)A是有單位元的結(jié)合超代數(shù),M是A的一個(gè)表示.設(shè)C*(A,M)是系數(shù)在M上的A的Hochschild鏈復(fù)型,即.上界算子b*定義如下:其中a0,…,an∈A.Hochschild上同調(diào)群用符號(hào)Hoch*(A,M)表示,并定義為為了給出廣義Poisson超代數(shù)的上鏈復(fù)型的定義,我們需要在Hochschild上鏈復(fù)型上做一些改變.為此,用(A,M)表示如下定義的上鏈復(fù)型:因而并且令Me=Hom(A,M)表示從A到M的A-模同態(tài),則向量空間Me按如下定義的模運(yùn)算是A-雙模:3.2n維上同調(diào)群的n-1維上同調(diào)群假設(shè)A是一個(gè)GPSA,M是A的一個(gè)表示.特別地,M是結(jié)合超代數(shù)A的雙模.因而,C*(A,M),Me和C*(A,Me)都是A的雙模.定義下列線性映射:引理3.1α是上鏈映射.證根據(jù)上鏈映射的定義,通過(guò)一個(gè)直接但是很長(zhǎng)的計(jì)算,可獲得所需要的結(jié)論.從文中,我們知道任意一個(gè)上鏈映射α都有一個(gè)錐,它也是一個(gè)復(fù)型.于是K*(A,M)是α的錐.從而,系數(shù)在M中的GPSA的n維上同調(diào)群可定義為復(fù)型K*(A,M)的n-1維上同調(diào)群,并用表示.于是,由定義,有應(yīng)用長(zhǎng)正合列引理可得如下結(jié)果:引理3.2如果A是有單位元的超代數(shù),使得對(duì)于任意的幺雙模M,有Hochn+1(A,M)=0,而且存在一個(gè)幺雙模M,有Hochn(A,M)≠0,則稱A的Hochschild維數(shù)是n,并用Dim(A)=n表示.推論3.1設(shè)A是有單位元的GPSA,M是A幺雙模,則當(dāng)n≥Dim(A)時(shí),有.證當(dāng)n≥Dim(A)時(shí),Hochn(A,M)=0.利用Hochn(A,M)和Hochn(A,Me)之間的關(guān)系,有因此,當(dāng)n≥Dim(A)時(shí),存在下列正合列:即,n≥Dim(A).推論3.2設(shè)A是有單位元的GPSA,M是A幺雙模.如果A還是擬自由結(jié)合超代數(shù),則有,n≥1.3.3自適應(yīng)的雙重性和同構(gòu)的方法現(xiàn)在將要決定低維上同調(diào)群.假設(shè)A是有單位元的GPSA,M是A的表示.我們回憶DerGPSA(A,M)是GPSA的導(dǎo)子的集合.引理3.3證應(yīng)用α的定義及上述的正合列,結(jié)論可直接獲得.設(shè)A,B是2個(gè)有單位元的GPSA.A的阿貝爾擴(kuò)張是一個(gè)短正合列:.而且,對(duì)于m,n∈M,有i(m)i(n)=0.于是,存在唯一的A的表示M,使得對(duì)于任意的b∈B,m∈M,有對(duì)于表示M,用ExtGPSA(A,M)表示A通過(guò)M的阿貝爾擴(kuò)張的等價(jià)類,于是有引理3.4證我們只要構(gòu)造從第一上同調(diào)群到擴(kuò)張的映射,然后去證明它是一個(gè)同構(gòu).由(f,g)∈Kerd0及K*(A,M)的定義,有f:是Hochschild復(fù)型C*(A,M)上的一個(gè)2上循環(huán),并且g:A→Me是一個(gè)線性映射,滿足令B=A⊕M,則B是一個(gè)超空間,并且可定義兩種運(yùn)算直接計(jì)算可得B是一個(gè)廣義Poisson超代數(shù),而且給出了阿貝爾擴(kuò)張i(m)=0和p(a,m)=a,即是一個(gè)短正合列.引理3.5如果A是自由的GPSA,則當(dāng)n≥1時(shí),有證由于A是一個(gè)自由的結(jié)合超代數(shù),并且作為GPSA也是自由的,因而當(dāng)n≥2時(shí),有Hochn(A,-)=0.再由引理3.2知,當(dāng)n》2時(shí),有.因?yàn)樽杂傻腉PSA的擴(kuò)張都是可分的,所以有ExtGPSA(A,M)=0.在文中,Quillen給出了任意的代數(shù)對(duì)象的上同調(diào)的理論,設(shè)A是GPSA,M是A的表示,應(yīng)用這一理論得到了系數(shù)在M中A的Quillen上同調(diào)群,用表示.定理3.1設(shè)A是GPSA,M是A的表示,則有一個(gè)自然的同構(gòu)4fhom-1-1,2應(yīng)用VanOsdol發(fā)展的一般理論,我們可以獲得與GPSA的擴(kuò)張相關(guān)的廣義Poisson超代數(shù)的上同調(diào)群的一個(gè)5-正合列.對(duì)于滿同態(tài)d0:X0→X,存在一個(gè)長(zhǎng)正合列因此有其中p:B→A是一個(gè)滿同態(tài).令H=Kerp,考慮半直積H⊕B,有是一個(gè)短正合列,其中q(h,b)=h+b,h∈H,b∈B.設(shè)Hab=H/[[H,H]]是由下列運(yùn)算給出的A=B/H的一個(gè)表示:,其中p(b)=a,a∈Ab∈B,h∈H,而[[H,H]]是H的導(dǎo)代數(shù).設(shè)線性空間的線性映射f:Hab→M滿足.我們把這種線性映射組成的線性空間記為HomA(Hab,M).定理4.1.證由VanOsdol的概念,有,其中K*是文第273頁(yè)中定義的上鏈復(fù)型.再由文中的定理3.5,這一復(fù)型自然同構(gòu)到系數(shù)在M中的T(π,g)上鏈復(fù)型.利用文中的定理3.8,有(π,q;M).最后,我們證明.設(shè)f∈Hom-1(π,q;M),則f是一個(gè)導(dǎo)子,滿足fk1=fk0+fκ2,并且有f(h2,b)=f(h1,b)+f(h2-h1,h1+b),,h2∈H,b∈B,其中κ0(h1,h2,b)=(h1,b),κ1(h1,h2,b)=(h2,b),k2(h1,h2,b)=(h2-h1,h1+b).定義.由于f(h2,b)=f(h1,b)+f(h2-h1,h1+b),,h2∈H,b∈B,則有h1=h2=0并且f(0,b)=0,.利用這一事實(shí)可知,f是一個(gè)導(dǎo)子,并且f([[H,H]],0)=0.因?yàn)?所以.反過(guò)來(lái),對(duì)于g∈HomA(Hab,M),定義.直接驗(yàn)證可知是可逆的同態(tài).設(shè)V是一個(gè)超空間.令R1(V)=V,(n≥2).為了區(qū)分這些張量?jī)?Rn(V)的前一部分的元素用表示,后一部分用a1a2…an表示.假設(shè)A是一個(gè)GPSA.我們把K作為A的平凡表示,即aκ=κa=[a,κ]=[κ,a]=0,κ∈K.定義復(fù)型它的上界算子定義為定義4.1復(fù)型()的同調(diào)稱為GPSA的平凡系數(shù)的同調(diào),記為或簡(jiǎn)記為.由定義4.1,容易推得設(shè)H*(A)是基礎(chǔ)結(jié)合超代數(shù)A的Hochschild復(fù)型.明顯地,H*+1(A)是的子復(fù)型.于是有復(fù)型的短正合列其中.從而得到一個(gè)長(zhǎng)正合列為了說(shuō)明復(fù)型D*(A),我們考慮A是有限維可分代數(shù)的情形,則有Hochn(A,K)=0,n≥1.因此,n≥1.定理4.2假設(shè)A是有單位元GPSA,M是A的平凡表示,則有證復(fù)型是自由的超空間,使用文中的定理3.3(a)可獲得所需結(jié)論.引理4.1設(shè)Cn(n≥0)是一個(gè)向量空間的正合列,dn:Cn→Cn-1是同態(tài),則C*是復(fù)型(d2=0)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的X,有Hom(C*,X)是復(fù)型.利用文中定理3.3(a)和Y=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于X,有Hom(Y,X)=0這一事實(shí),可獲得引理的證明,此處省略證明.定理4.3假設(shè)是GPSA的正合列,則有5-正合列證應(yīng)用正合列(4.2)和有平凡A表示的M的正合列,我們獲得了正合列又因?yàn)橛邢铝型瑯?gòu)成立: