統(tǒng)計(jì)物理學(xué)僅指玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)與吉布斯統(tǒng)計(jì)。二者均為平衡態(tài)理論

.統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識(shí)出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)說(shuō)明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)。按這種觀點(diǎn)，分子動(dòng)理論也應(yīng)歸于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的范疇。2.

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)廣義理解：狹義理解：熱物理學(xué)微觀理論分子動(dòng)理學(xué)理論統(tǒng)計(jì)物理學(xué)非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)第1頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由于微觀模型細(xì)致程度不同，理論的近似程度也就不同，對(duì)于同一問(wèn)題可給出不同理論深度的解釋。微觀模型考慮得越細(xì)致，越接近真實(shí)，數(shù)學(xué)處理也越復(fù)雜。氣體分子動(dòng)理論在處理復(fù)雜的非平衡態(tài)系統(tǒng)時(shí)，都要加上一些近似假設(shè)。

對(duì)于初學(xué)者，重點(diǎn)應(yīng)掌握基本物理概念、處理問(wèn)題的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理論的重要基礎(chǔ)——基本實(shí)驗(yàn)事實(shí)。

在某些問(wèn)題（特別是一些非平衡態(tài)問(wèn)題）中可暫不去追究理論的十分嚴(yán)密與結(jié)果的十分精確。因?yàn)橄喈?dāng)簡(jiǎn)單的例子中常常包含基本物理方法中的精華，它常常能解決概念上的困難并能指出新的計(jì)算步驟及近似方法。題外話第2頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2概率論的基本知識(shí)宏觀量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值氣體中速率為vi的分子的數(shù)目平衡態(tài)時(shí)氣體的P、T完全確定不隨時(shí)間改變意味著盡管任意時(shí)刻系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有純粹的偶然性，但是氣體分子按速率的平均分布卻是穩(wěn)定不變的。即平衡態(tài)時(shí)氣體分子雖仍然保持完全無(wú)序的狀態(tài)，但在整體上卻建立起一種穩(wěn)定的氣體分子按速率的分布。這是由大量粒子組成的系統(tǒng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的物理起因。第3頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表現(xiàn)了這些偶然事件整體上的必然聯(lián)系?？梢?jiàn)：求得這種完全由宏觀條件確定下來(lái)的、穩(wěn)定的按速率分布的氣體分子的數(shù)目非常有價(jià)值平衡態(tài)時(shí)氣體的P、T完全確定不隨時(shí)間改變意味著盡管任意時(shí)刻系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有純粹的偶然性，但是氣體分子按速率的平均分布卻是穩(wěn)定不變的。即平衡態(tài)時(shí)氣體分子雖仍然保持完全無(wú)序的狀態(tài)，但在整體上卻建立起一種穩(wěn)定的氣體分子按速率的分布。這是由大量粒子組成的系統(tǒng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的物理起因。統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)大量偶然事件的整體起作用的規(guī)律，

第4頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.1伽爾頓板實(shí)驗(yàn)是概率統(tǒng)計(jì)最直觀的演示實(shí)驗(yàn)⑴投入一個(gè)小球，結(jié)果是偶然的。⑵同時(shí)投入大量小球，

.................................................................................各槽小球數(shù)目不同：.........

..........................................近入口處多，遠(yuǎn)入口處少。⑶作曲線Ni~r表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。⑷重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)：①小球數(shù)目較少時(shí)，所得曲線差異明顯②小球數(shù)目足夠多時(shí)，所得曲線近似重合大量小球整體按狹槽的分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，由統(tǒng)計(jì)相關(guān)性決定結(jié)論：第5頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于這樣的體系，統(tǒng)計(jì)規(guī)律所制約的穩(wěn)定的聯(lián)系是現(xiàn)象的本質(zhì)和必然的聯(lián)系。說(shuō)明：

統(tǒng)計(jì)規(guī)律是對(duì)大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，表現(xiàn)了這些事物整體本質(zhì)和必然的聯(lián)系。⑴“個(gè)別事物的偶然性”是相對(duì)于大量事物整體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律而言的。它不可能脫離由動(dòng)力學(xué)規(guī)律所決定的個(gè)別事件而存在。統(tǒng)計(jì)規(guī)律是以動(dòng)力學(xué)規(guī)律為基礎(chǔ)的，⑵每一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)固然是由動(dòng)力學(xué)規(guī)律所制約，但當(dāng)體系中包含的粒子數(shù)目極多時(shí)，就導(dǎo)致了在質(zhì)上全新的運(yùn)動(dòng)形式的出現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)形式發(fā)生了從量到質(zhì)的飛躍。這是“大數(shù)”中出現(xiàn)的新現(xiàn)象，其重要特點(diǎn)就是在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性，這是由統(tǒng)計(jì)規(guī)律所制約的。包含大數(shù)粒子的體系，作為整體看來(lái)，是與個(gè)別粒子本質(zhì)上不同的體系。第6頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑶統(tǒng)計(jì)規(guī)律中永遠(yuǎn)伴隨著漲落現(xiàn)象。統(tǒng)計(jì)規(guī)律與漲落現(xiàn)象不可分，正反映了必然性與偶然性之間的相互依存的辯證關(guān)系?！?.2.2等概率性與概率的基本性質(zhì)一、概率的定義1.隨機(jī)事件：在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，則稱(chēng)該事件為隨機(jī)事件隨機(jī)變量：某一偶然事件的發(fā)生與否，可以用一個(gè)描述該系統(tǒng)狀態(tài)的力學(xué)量u取確定的數(shù)值ui表示，則稱(chēng)變量u為隨機(jī)變量離散的隨機(jī)變量：u只能取分立的數(shù)值連續(xù)的隨機(jī)變量：u可取的數(shù)值連續(xù)可變第7頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.概率：在一定的相同的條件下，在一系列可能發(fā)生的足夠多的事件集合中，發(fā)生某一事件的機(jī)會(huì)或可能性。若一定條件下，做了N次實(shí)驗(yàn)(N→∞)，其中得到的結(jié)果為AL的次數(shù)為NL次，則此實(shí)驗(yàn)結(jié)果為AL的概率為：3.說(shuō)明：⑴概率是表征統(tǒng)計(jì)規(guī)律的量，只在研究一定條件下發(fā)生的大量偶然事件時(shí)才有意義。定義式中以N→∞取極限表示“大數(shù)”、“大量偶然事件”第8頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑵表明在一定條件下，事件AL一定不會(huì)發(fā)生稱(chēng)AL為不可能事件稱(chēng)AL為必然事件表明在一定條件下，事件AL一定發(fā)生稱(chēng)AL為偶然事件表明在一定條件下，事件AL或者發(fā)生或者不發(fā)生對(duì)于任意隨機(jī)變量u，有

概率不會(huì)是負(fù)的⑶不相容事件（互斥事件）：指在一定條件下，事件Ai發(fā)生的同時(shí)，另一個(gè)事件Aj就不可能再發(fā)生。第9頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑷歸一化條件：在一定條件下，事件終究是要發(fā)生的。歸一化條件：在一定條件下，事件A1、A2、…AN之一一定發(fā)生且A1、A2、…AN互斥，則有：注意：歸一化條件僅對(duì)互不相容事件成立。第10頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、等概率性：在沒(méi)有理由說(shuō)明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些（或更小些）情況下，就假定每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等，這稱(chēng)為等概率性（原理）。如果對(duì)于系統(tǒng)各種可能的微觀狀態(tài)沒(méi)有更多的認(rèn)識(shí)，就可暫時(shí)假定一切微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。統(tǒng)計(jì)物理實(shí)質(zhì)上只包含等概率性原理一個(gè)基本假設(shè)：三、概率的基本性質(zhì)：（一）概率相加法則：n個(gè)互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生的概率之和。若A1發(fā)生的概率為PA1，A2發(fā)生的概率為PA2

，A1、A2互斥則：發(fā)生A1、A2中任一事件的概率為第11頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(二)概率相乘法則：同時(shí)或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（或相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立）的事件發(fā)生的概率等于各個(gè)事件概率之乘積若A1發(fā)生的概率為PA1，A2發(fā)生的概率為PA2

，A1、A2相互獨(dú)立則：同時(shí)發(fā)生A1、A2事件的概率為⑴如果事件A1的發(fā)生與否與事件A2是否發(fā)生無(wú)關(guān)，即事件A1是否已經(jīng)發(fā)生對(duì)事件A2的發(fā)生概率沒(méi)有影響稱(chēng)事件A1、A2相互獨(dú)立。⑵推論：n個(gè)獨(dú)立事件A1、A2、…An同時(shí)發(fā)生的概率為：⑶舉例第12頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月●若骰子是剛性的，且每一面向上的概率都相等，都是（1/6），●把一個(gè)骰子連續(xù)擲兩次，若骰子是剛性的，擲第二次出現(xiàn)的概率與第一次擲過(guò)與否，第一次哪一面向上都無(wú)關(guān)，我們就說(shuō)連續(xù)兩次擲骰子是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。連續(xù)擲兩次出現(xiàn)的花樣為11，12，……65，66共36種。

●顯然這36種花樣也是等概率的，故連續(xù)擲兩次均出現(xiàn)“1”的概率是第13頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.3平均值及其運(yùn)算法則一、平均值：是統(tǒng)計(jì)分布最直接的應(yīng)用如：年齡以u(píng)i表示，計(jì)算N人的平均年齡，則：可采用如下方法操作：⑴u1年齡有N1人，u2年齡有N2人，……，則：⑵N1/N是總的N次測(cè)量中出現(xiàn)u1的百分比，N2/N是出現(xiàn)u2的百分比，即：Ni/N是總的N次測(cè)量中出現(xiàn)ui的百分比即為ui出現(xiàn)的概率，則：第14頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、平均值運(yùn)算法則：⑴設(shè)f(u)是隨機(jī)變量u的函數(shù)，則：⑵設(shè)f(u)、g(u)均為隨機(jī)變量u的函數(shù)，則：⑶若c為常數(shù)，f(u)是隨機(jī)變量u的函數(shù)，則：第15頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑷u、v統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，若f(u)是u的函數(shù)，g(v)是v的函數(shù);同時(shí)取ur、vs的概率為Prs,§2.2.4均方偏差1.

偏差：一般地隨機(jī)變量對(duì)平均值的偏離，即：但均方偏差不為零。第16頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.

均方偏差：3.

相對(duì)方均根偏差（漲落、散度、散差）表示隨機(jī)變量在其平均值附近的分散程度。第17頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：估算大氣中空氣分子數(shù)目的漲落標(biāo)準(zhǔn)狀況下，大氣數(shù)密度即洛施密特常數(shù)為：則1mm3中約有個(gè)分子在粒子可自由出入的某空間范圍內(nèi)的粒子數(shù)的相對(duì)漲落反比于系統(tǒng)中粒子數(shù)N

的平方根，即：故有相對(duì)漲落：則大氣中空氣分子數(shù)目的漲落為：所以：標(biāo)準(zhǔn)狀況下1mm3體積的空氣中，空氣分子數(shù)目在間漲落第18頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.5概率分布函數(shù)一、概率密度：當(dāng)隨機(jī)變量A取連續(xù)值A(chǔ)r時(shí)，對(duì)應(yīng)各值的概率Pr也是連續(xù)的。則在任意小的數(shù)值范圍內(nèi)，A可能取∞多的值，對(duì)應(yīng)著∞多的Pr，無(wú)意義。此時(shí)有意義的是隨機(jī)變量取范圍內(nèi)的概率?PA。

當(dāng)范圍?A足夠小時(shí)，?PA∝?A。則：稱(chēng)為隨機(jī)變量在A處的概率密度

又稱(chēng)概率密度分布函數(shù)，歸一化條件為：積分遍及所有可能的A值隨機(jī)變量取范圍值的概率為：表示在dA區(qū)域內(nèi)隨機(jī)變量A的相對(duì)密集程度

第19頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、舉例——打靶實(shí)驗(yàn)：（一）一維情況，靶點(diǎn)在的數(shù)目，靶點(diǎn)在的概率x方向的概率密度：表示了沿x方向在dx區(qū)域內(nèi)靶點(diǎn)的相對(duì)密集程度第20頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月靶點(diǎn)沿x方向的概率密度：f(x)dx表示：當(dāng)

x

0，以

N/（N

x）為縱坐標(biāo)，以x為橫坐標(biāo)，得到一條連續(xù)曲線f(x)~x

。

f(x)~x曲線下方x~x+dx間的面積就表示靶點(diǎn)處于x~x+dx

范圍的概率即：為靶點(diǎn)處于x1

到x2

范圍內(nèi)的概率

歸一化條件：靶點(diǎn)處于x到x+dx范圍內(nèi)的概率

第21頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月靶點(diǎn)沿x方向的概率密度：靶點(diǎn)處于x~x+dx范圍內(nèi)的概率為f(x)dx同理可得：沿y方向的概率密度：靶點(diǎn)處于y~y+dy范圍內(nèi)的概率為f(y)dy沿z方向的概率密度：靶點(diǎn)處于z~z+dz范圍內(nèi)的概率為f(z)dz問(wèn)題靶點(diǎn)同時(shí)處于x~x+dx，y~y+dy范圍內(nèi)的概率密度f(wàn)(x，y)=？第22頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）二維情況靶點(diǎn)要處于x~x+dx還要處于y~y+dy同時(shí)事件，彼此獨(dú)立