本章研究的主要問題：本章內(nèi)容：電磁場的基本理論應(yīng)用到最簡單的情況：電荷靜止，相應(yīng)的電場不隨時間而變化的情況。在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場。第二章靜電場蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程1.引入標(biāo)勢及其微分方程和邊值關(guān)系2.唯一性定理3.分離變量法4.鏡像法5.格林函數(shù)法6.電多級矩本章具體內(nèi)容：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程§2.1靜電場的標(biāo)勢及其微分方程若場與時間無關(guān)所以靜電場的理論基礎(chǔ)就是：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程靜電場的無旋性是它的一個重要特性，由于無旋性，電場強(qiáng)度E可以用一個標(biāo)量場的梯度來表示，和力學(xué)中用勢函數(shù)描述保守力場的方法一樣。一、靜電場的標(biāo)勢1.電勢差和電勢所以，靜電場對電荷作功與路徑無關(guān)。設(shè)C1和C2為連接P1和P2點(diǎn)的兩條不同路徑，則蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程將單位正電荷由P1點(diǎn)移到P2點(diǎn)，電場對它所作的功為：這功就定義為P1和P2兩點(diǎn)之間的電勢差。即如果，則和分別為P1點(diǎn)和P2點(diǎn)的電勢。所以任意一點(diǎn)P的電勢為蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程注意：(1)由定義，只有兩點(diǎn)的電勢差才有物理意義，某點(diǎn)上的電勢的絕對數(shù)值是沒有物理意義的。(2)某點(diǎn)電勢的具體數(shù)值與零勢點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以必須指明零勢點(diǎn)的位置。(3)零勢點(diǎn)的選擇是任意的，在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，可以選無窮遠(yuǎn)的電勢為零。(4)一個具體問題中只能選一個零勢點(diǎn)。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程2.電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系(1)任意一點(diǎn)P的電勢給出了電勢與電場強(qiáng)度的積分關(guān)系，例如：真空中點(diǎn)電荷激發(fā)的電場強(qiáng)度為所以，若取無限遠(yuǎn)處電勢為零。則任意一點(diǎn)的電勢為：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程同樣，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電勢為：連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程所以

由以上討論可知，若空間中所有電荷分布都給定，則電場強(qiáng)度和電勢均可求出。但實(shí)際情況往往并不是所有電荷都能預(yù)先給定，因此，必須電荷與電場相互作用的微分方程。(2)電勢與電場強(qiáng)度的微分關(guān)系由可得：而蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程二、靜電勢的微分方程和邊值關(guān)系這就是泊松方程。其中ρ為自由電荷密度。1.泊松（Poisson)方程在簡單介質(zhì)中有：將上式代入得：泊松方程是靜電勢滿足的基本微分方程。給出邊界條件就可以確定電勢的解。在數(shù)學(xué)上這稱為邊值問題。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程2.邊值關(guān)系將電場的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上，電勢必須滿足邊值關(guān)系?；癁橛秒妱荼硎镜倪呏店P(guān)系。如圖把電荷沿法線方向移動時，切線分量不做功。沿法線方向做功為零。該式與等價(jià)。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程將代入另一邊值關(guān)系得：即：n從1指向2!蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上；導(dǎo)體有它的特殊性，在導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系有它特點(diǎn)：設(shè)導(dǎo)體表面所帶電荷面密度為σ，設(shè)它外面的介質(zhì)電容率為ε，導(dǎo)體表面的邊界條件為2.導(dǎo)體表面上的邊值關(guān)系②導(dǎo)體內(nèi)部電場為零；③導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面，整個導(dǎo)體的電勢相等。常量蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程場的總能量可以用電荷和電勢表示，在線性介質(zhì)中靜電場的總能量為：三、靜電場的能量所以由和得蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程式中右邊第二項(xiàng)是散度的體積分，它可以化為面積分：所以積分區(qū)域V為ρ≠0的區(qū)域。注意：(1)上式只能用于計(jì)算靜電場的總能量。(2)不是能量密度。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程解：例1求均勻電場E0的電勢。均勻電場每一點(diǎn)強(qiáng)度E0相同，其電場線為平行直線。選空間任一點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)該點(diǎn)上的電勢為φ0，那么任一點(diǎn)P處的電勢為其中x為P點(diǎn)的位矢。注意均勻電場可以看作由無窮大平行板電容器產(chǎn)生，其電荷分布不在有限區(qū)域內(nèi)，因此不能選無窮遠(yuǎn)電勢為零。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程若選?0=0，則有例2解：均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度為τ，求電勢。如圖，設(shè)場點(diǎn)P到導(dǎo)線的垂直距離為R，電荷元τdz,到P點(diǎn)的距離為蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程積分結(jié)果無窮大，無窮大的出現(xiàn)是由于電荷不是分布于有限區(qū)域內(nèi)。則計(jì)算兩點(diǎn)P和P0的電勢差可以不出現(xiàn)無窮大。設(shè)P0點(diǎn)與導(dǎo)線的垂直距離為R0，則P點(diǎn)和P0點(diǎn)的電勢差為蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程則若選P0點(diǎn)為參考點(diǎn)，規(guī)定，蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程取的負(fù)梯度得：所以蘭州大學(xué)姜孟瑞電動力學(xué)2-1標(biāo)勢及其方程例3求帶電量Q、半徑為a的導(dǎo)體球的靜電場總能量。整個導(dǎo)體為等勢體,導(dǎo)體球的電荷分布于球面上，由書中（1.14）式最方便。球面上的電勢為解：因此靜電場總能量為蘭州