線性代數(shù)第五章線性變換矩陣特征根2

§5.3特征值與特征向量一特征值與特征向量的概念定義6.1設(shè)

T

是數(shù)域

P

上線性空間

V

中的一個線性變換，對于數(shù)域

P

上一個數(shù)

0

，如果存在一個非零向量

使得則稱

0

為T

的一個特征值，非零向量

稱為T

的屬于

0

的一個特征向量

.一些基本性質(zhì):(1)一個特征向量只能屬于一個特征值矩陣特征根3

§5.3特征值與特征向量(2)如果

1

、

2都是

T

的屬于特征值

0

的特征向量，則當

1+

2

0時，

1+

2也是

T

的屬于特征值

0

的特征向量(3)如果

是

T

的屬于特征值

0

的特征向量，則

的任何一個非零倍數(shù)

k

也是

T

的屬于特征值

0

的特征向量屬于特征值

0

的全部特征向量

+零向量構(gòu)成一個線性子空間矩陣特征根4

§5.3特征值與特征向量記定義5.6稱為線性變換

T

的屬于特征值

0

的特征子空間.二特征值與特征向量的求法設(shè)

1,

2,…,

n

是數(shù)域

P

上

n維線性空間

V

的一個基，線性變換

T在該基下的矩陣為A

，

0為

T的一個特征值，屬于特征值

0

的特征向量

在該基下的坐標為因為矩陣特征根5

§5.3特征值與特征向量也即求特征向量的問題轉(zhuǎn)變成求齊次線性方程組非零解問題，存在的充要條件是：矩陣特征根6

§5.3特征值與特征向量定義5.7設(shè)

A

是數(shù)域

P

上一個n

階方陣，

為一個未知量，矩陣

E-A

的行列式稱為

A

的特征多項式，記為的根稱為

A

的特征根（或特征值）矩陣特征根7

§5.3特征值與特征向量的非零解稱為

A

的特征向量顯然：

當線性變換

T

對應(yīng)于

n

階方陣

A時

T的特征值

對應(yīng)于

A的特征值

T的特征向量坐標

對應(yīng)于

A的特征向量當

0為

A的一個特征值時，方程（稱為特征方程組）矩陣特征根8

§5.3特征值與特征向量求矩陣的特征值與特征向量的步驟：

(1)計算矩陣

A的特征多項式

(2)由得所有根

即為矩陣A的特征值

(3)對

A的不同特征值

i,分別求解方程組

得基礎(chǔ)解系

其線性組合

即為

i

的全部特征向量。不全部為零）（矩陣特征根9

§5.3特征值與特征向量例

求矩陣特征值與特征向量.解:A特征值矩陣特征根10

§5.3特征值與特征向量將特征值代入特征方程組,得即得基礎(chǔ)解系屬于特征值的全部特征向量矩陣特征根11

§5.3特征值與特征向量將特征值代入特征方程組,得得基礎(chǔ)解系屬于特征值的全部特征向量矩陣特征根12

§5.3特征值與特征向量例

設(shè)

1,

2,

3是數(shù)域

P

上

3

維線性空間

V

的一個基，線性變換T

在該基下的矩陣為求線性變換

T

的特征值與特征向量.解:A特征值矩陣特征根13

§5.3特征值與特征向量將特征值代入特征方程組得線性無關(guān)的特征向量將特征值代入特征方程組得特征向量矩陣特征根14

§5.3特征值與特征向量T

的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量T

的屬于特征值的全部特征向量不全部為零）（矩陣特征根15

§5.3特征值與特征向量T

的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量T

的屬于特征值的全部特征向量不為零）（矩陣特征根16

例

R2

上旋轉(zhuǎn)變換T

在單位向量組成的基

e1,e2下的矩陣§5.2線性變換的矩陣它的特征多項式

如果無解矩陣特征根17

§5.3特征值與特征向量定理5.6相似的矩陣有相同的特征多項式證明:設(shè)

A

B,存在可逆陣

P

使得

P-1AP=B

線性變換的特征值與基的選取無關(guān)矩陣特征根18

§5.3特征值與特征向量線性變換的特征值與基的選取無關(guān).當

A,B

表示同一個線性變換在兩個基(過渡矩陣為可逆陣

P)下的矩陣時:A,B

有相同的特征多項式矩陣特征根19

§5.3特征值與特征向量考察特征向量:設(shè)X

為A

的特征向量:

PX

為B

的特征向量,而

X

和PX

為同一個向量在兩個基(過渡矩陣為可逆陣

P)下的坐標

線性變換的特征向量與基的選取無關(guān).矩陣特征根20

§5.3特征值與特征向量三特征多項式的基本性質(zhì)觀察特征多項式：

只有主對角線項可能包含

n

和

n-1

項

n

和

n-1

項必定來自于矩陣特征根21

§5.3特征值與特征向量(1)

特征多項式f(

)

是關(guān)于

項的n

次多項式

(2)

n

次項(

n項)的系數(shù)為1

(3)

n-1

次項(

n-1

項)的系數(shù)為–(a11+a22+…+ann)

括弧中主對角線元素之和稱為矩陣

A

的跡，記為另外，在多項式

f(

)中令未知量

為0，應(yīng)得到常數(shù)項，(4)

常數(shù)項的系數(shù)為矩陣特征根22

§5.3特征值與特征向量另一方面，在復(fù)數(shù)域，特征多項式f(

)

必定有n

個根，因此可以分解為：

特征多項式f(

)在復(fù)數(shù)域的

n

個根（特征值）：矩陣特征根23

§5.3特征值與特征向量定理5.7(Hamilton-Cayley定理)設(shè)

A

是數(shù)域

P

上一個

n階方陣，f(

)=

E-A

是A的特征多項式，則矩陣多項式

證明：設(shè)B(

)

是(

E-A)的伴隨矩陣，即(

E-A)*

，由行列式性質(zhì),設(shè)矩陣特征根24

§5.3特征值與特征向量矩陣特征根25

§5.3特征值與特征向量Hamilton-Cayley定理的意義:

對于數(shù)域

P

上任意一個

n階方陣，提供一種方法使得我們能找到一個

n次多項式，使得將該矩陣代入這個多項式

等于零矩陣,由此我們在計算高階矩陣多項式時能通過多項式除法先把次數(shù)降低,然后再計算,由于多項式運算的復(fù)雜度一般大大低于矩陣運算,由此降低整個運算的復(fù)雜度.例

設(shè)計算矩陣特征根26

§5.3特征值與特征向量解:令矩陣特征根27

§5.3特征值與特征向量四特征向量的線性無關(guān)性定理5.8屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān).證明:設(shè)

1,

2,…,

k

是矩陣

A

的

k個不同的特征值,X1,X2,…,Xk

是分別屬于它們的特征向量對向量個數(shù)用數(shù)學歸納法,k=1時自然成立.設(shè)向量個數(shù)為k-1時成立,設(shè)一方面,兩邊同時乘矩陣

A:矩陣特征根28

§5.3特征值與特征向量另一方面,兩邊同時乘

k

:兩個等式相減

:矩陣特征根29

§5.3特征值與特征向量根據(jù)歸納法假設(shè):矩陣特征根30

§5.3特征值與特征向量定理5.9如果

1,

2,…,

k

是矩陣

A

的

k個不同的特征值,而是屬于特征值

i

的ri

個線性無關(guān)特征向量,則線性無關(guān).

矩陣特征根31

§5.4矩陣的對角化定理

5.10n

階矩陣

A

相似于對角矩陣的充要條件是

A

具有n

個線性無關(guān)的特征向量.證明:必要性,設(shè)矩陣特征根32

§5.4矩陣的對角化令得因

Xi

線性無關(guān),Xi

不等于

0,為特征向量.矩陣特征根33

§5.4矩陣的對角化充分性,設(shè)

A

有n

個線性無關(guān)的特征向量令則矩陣特征根34

§5.4矩陣的對角化由于P由

n

個線性無關(guān)的向量構(gòu)成

P可逆,兩邊同乘

P-1:推論

如果

n

階矩陣

A

有n

個不同的特征值,則

A相似于對角矩陣.

矩陣特征根35

§5.4矩陣的對角化例

判別

A能否相似于對角矩陣？若能相似于對角矩陣，求可逆陣

P使得

P-1AP為對角矩陣.解:得矩陣特征根36

§5.4矩陣的對角化對應(yīng)的特征向量

令得矩陣特征根37

§5.4矩陣的對角化例

判別

A能否相似于對角矩陣？若能相似于對角矩陣，求可逆陣

P使得

P-1AP為對角矩陣.解:得矩陣特征根38

§5.4矩陣的對角化對對

只有兩個線性無關(guān)的特征向量，不能相似于對角矩陣．矩陣特征根39

§5.5化實對稱矩陣為對角陣定理5.11實對稱矩陣的特征多項式的根（特征值）全部是實數(shù).

證明：設(shè)

A

為實對稱矩陣,

是

A

的特征值,X為對應(yīng)的特征向量，則兩邊取共軛得兩邊轉(zhuǎn)置兩邊同時乘以

X矩陣特征根40

§5.5化實對稱矩陣為對角陣因為是實對稱矩陣

所以即矩陣特征根41

§5.5化實對稱矩陣為對角陣

設(shè)因

X

0進一步：由于特征值全部是實數(shù)

特征方程系數(shù)全部是實數(shù)

特征方程的解（特征向量）為實向量矩陣特征根42

§5.5化實對稱矩陣為對角陣定理5.12實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交.證明：設(shè)

A

為實對稱矩陣,

1

、

2

是

A

的特征值,X1

、X2

為對應(yīng)的特征向量，則因

1

2

矩陣特征根43

§5.5化實對稱矩陣為對角陣定理5.13設(shè)

A

為

n

階實對稱矩陣，總能找到一個

n

階正交陣

P使得

P-1AP為對角矩陣.證明：對實對稱矩陣的階數(shù)用歸納法，階數(shù)為

1時顯然成立，設(shè)階數(shù)為

n-1時成立，考慮階數(shù)為

n

時情況，設(shè)

1

是

A

的一個特征值，

X1

為對應(yīng)的特征向量（并經(jīng)過單位化），則由

X1

可擴充出

n

個兩兩正交的向量

X1

,X2

,…,Xn令

P1

為正交陣

矩陣特征根44

§5.5化實對稱矩陣為對角陣因矩陣特征根45

§5.5化實對稱矩陣為對角陣下面考察因為對稱矩陣矩陣特征根46

§5.5化實對稱矩陣為對角陣所以為對稱矩陣由歸納法假設(shè)，存在一個

n-1階正交陣

P2

使得

P2-1A1P2

為對角矩陣，即矩陣特征根47

§5.5化實對稱矩陣為對角陣構(gòu)造P3

為

n階正交陣,并且

矩陣特征根48

§5.5化實對稱矩陣為對角陣這樣或者矩陣特征根49

§5.5化實對稱矩陣為對角陣令為

n階正交陣,得到

矩陣特征根50

§5.5化實對稱矩陣為對角陣實對稱矩陣的正交相似對角化的步驟：(1)計算矩陣

A

的特征多項式(2)求出特征多項式的全部不同的根

(3)對每個不同的根，寫出特征方程組，求出基礎(chǔ)解系，

并利用施密特正交化過程使其成為單位正交向量組(4)將不同特征值的單位正交向量組合并構(gòu)成正交矩陣

P

矩陣特征根51

§5.5化實對稱矩陣為對角陣例

設(shè)

求正交矩陣

P

，使得

P-1AP

為對角矩陣.解:A的特征多項式為得矩陣特征根52

§5.5化實對稱矩陣為對角陣對應(yīng)的特征向量

單位化

對應(yīng)的特征向量

矩陣特征根53

§5.5化實對稱矩陣為對角陣單位化

矩陣特征根54

§5.5化實對稱矩陣為對角陣令正交矩陣

矩陣特征根55

§5.5化實對稱矩陣為對角陣例

已知三階實對稱矩陣

A

的特征值為6、3、3，且特征值

6對應(yīng)的一個特征向量為,試求矩陣

A.

解:設(shè)

A的特征值

3對應(yīng)的特征向量為,由實對稱陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交,故矩陣特征根56

§5.5化實對稱矩陣為對角陣解齊次方程組

得基礎(chǔ)解系為令矩陣特征根57

§5.5化實對稱矩陣為對角陣則因此矩陣特征根58

§5.5化實對稱矩陣為對角陣例

設(shè)

A為

n

階對稱的正交矩陣,且

1為A的

r

重特征值,

(1)求

A

的相似對角矩陣；

(2)求特征多項式解(1)因

A

為

n

階對稱的正交矩陣，存在正交陣

P

使得

矩陣特征根59

§5.5化實對稱矩陣為對角陣

因為

1為

A的

r

重特征值,-1為

A的

n-r

重特征值A(chǔ)的相似對角矩陣矩陣特征根60

§5.5化實對稱矩陣為對角陣(2)A的特征多項式為

例

已知三階方陣

A

的特征值為

0、1、-1，對應(yīng)的特征向量分別為

求

An矩陣特征根61

§5.5化實對稱矩陣為對角陣解：令

有

矩陣特征根62

§5.5化實對稱矩陣為對角陣矩陣特征根63

§5.6正交變換定義5.8設(shè)

T

是線性空間

V

中的線性變換，對于任意

，

V

都有則

T

是一個正交變換．正交變換的基本性質(zhì)：(1)正交變換保持向量長度不變矩陣特征根64

§5.6正交變換(2)正交變換保持向量之間夾角不變特別地，如果矩陣特征根65

§5.6正交變換定理5.14設(shè)

T

為

n

維歐氏空間

V

的一個線性變換，那么下面四個命題等價：(1)T

是正交變換(2)對任意

V

，有證明：(1)

(2)(3)如果

1,

2,…,

n是

V

的一個標準正交基，那么

T(

1),T(

2)

,…,T(

n)也是

V

的一個標準正交基(4)T

在任意一個標準正交基下的矩陣是正交矩陣．矩陣特征根66

§5.6正交變換證明：(1)

(3)如果

1,

2,…,

n是

V

的一個標準正交基矩陣特征根67

§5.6正交變換

T(

1),T(

2)

,…,T(

n)也是

V

的一個標準正交基由于是正交變換矩陣特征根68

§5.6正交變換反過來，如果

1,

2,…,

n和T(

1),T(

2)

,…,T(

n)都是

V

的標準正交基，對任意而矩陣特征根69

§5.6正交變換證明：(3)

(4)設(shè)

T

在標準正交基

1,

2,…,

n下的矩陣為

A,有矩陣特征根70

§5.6正交變換反過來，如果

1,

2,…,

n和T(

1),T(

2)

,…,T(

n)都是

V

的標準正交基，對于中的矩陣

A,正好為兩個