【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第30講數(shù)列求和（精講）題型目錄一覽①裂項相消法②錯位相減法③分組（并項）求和法④倒序相加法⑤數(shù)列求和的其他方法一、知識點梳理一、知識點梳理一、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和（2）等比數(shù)列的前n項和（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二、幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（4）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（5）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．【常用結(jié)論】裂項技巧①等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）②根式型（1）（2）（3）③指數(shù)型（1）（2）（3）④三角型（1）（2）（3）⑤階乘（1）二、題型分類精講二、題型分類精講題型一裂項相消法策略方法（1）基本步驟（2）裂項原則一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（3）消項規(guī)律消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【典例1】正項的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列的前項和為，求證．【典例2】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前項和為，那么等于（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙粒或小石子，并將它們排列成各種形狀進行研究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列，四邊形數(shù)組成數(shù)列，記，則數(shù)列的前10項和為（

）A． B． C． D．4．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前n項和為，對一切正整數(shù)n，點在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列滿足，則的前2022項和為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠中學(xué)校校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，其前項和為若恒成立，則的最小值為．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意的，總有，，成等差數(shù)列，又記，數(shù)列的前項和．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，則的前n項和．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，且，則.三、解答題11．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.12．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.13．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列，首項，其前項和為，點在斜率為1的直線上．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若為數(shù)列的前項和，求證：．15．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．17．（2023·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.18．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列，其前項和滿足為常數(shù).(1)求及的通項公式；(2)記數(shù)列，求前項和的.19．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項和，當(dāng)時，．若對于任意，有，求的取值范圍．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：．(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，證明：．21．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，其前項和為，從①；②，；③中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.22．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．23．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．24．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.題型二錯位相減法策略方法錯位相減法求數(shù)列的前n項和（1）適用條件若是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和．（2）基本步驟（3）注意事項①在寫出與的表達式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【典例1】在數(shù)列中，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為（）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為：，，則數(shù)列的前100項之和為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn﹣2Sn﹣1﹣2＝0（n≥2），則數(shù)列{nan}的前n項和Tn＝．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前n項和為.6．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列和數(shù)列，，.設(shè)，則數(shù)列的前項和.三、解答題7．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.8．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，且是和的等差中項.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為,且滿足,數(shù)列的前項積.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.10．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獢?shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項和．11．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.12．（2023·浙江嘉興·校考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，(1)若數(shù)列是等比數(shù)列，求及的通項公式；(2)若數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，求證：.13．（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江一中?？既＃┮阎獢?shù)列是正項等比數(shù)列，且.(1)求的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和.14．（2023秋·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）正項等比數(shù)列的前項和為，，且，，成等差數(shù)列，.(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和.15．（2023春·山東臨沂·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.16．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前項和.17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)設(shè)數(shù)列滿足條件①；②，請從條件①②中選一個，求出數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．題型三分組（并項）求和法策略方法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型【典例1】已知數(shù)列的前項和，且；(1)求它的通項(2)若，求數(shù)的前項和.【典例2】在等差數(shù)列中，，．(1)求；(2)若，數(shù)列的前項和為，求．【題型訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足：，記的前項和為，求.2．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）若數(shù)列的首項為1，且．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求的前n項和．3．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┰O(shè)數(shù)列的前項和滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式與前項和.4．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．5．（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(1)記，求證：為等比數(shù)列；(2)若，求.6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和其中A，B，q為常數(shù)．(1)若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前10項和．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知首項為3的數(shù)列的前n項和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．8．（2023·廣東東莞·校考三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)求.11．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，其中，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.12．（2023·云南曲靖·?？既＃┮阎獢?shù)列滿足.記.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前20項的和.13．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列，為的前n項和，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．14．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和滿足，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．15．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求滿足的k的值．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記，求.17．（2023·四川成都·成都外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項和為，，點在直線上．(1)求及；(2)記，求數(shù)列的前20項和．18．（2023秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列為正項等差數(shù)列，數(shù)列為遞增的正項等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項的和.題型四倒序相加法策略方法將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)即用此方法）．【典例1】設(shè)是函數(shù)的圖象上任意兩點，且，已知點的橫坐標(biāo)為．(1)求證：點的縱坐標(biāo)為定值；(2)若且求；【題型訓(xùn)練】一、解答題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，函數(shù)對一切實數(shù)總有，數(shù)列滿足分別求數(shù)列、的通項公式.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若函數(shù)，令，求數(shù)列的前2020項和．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計算的值．(2)求數(shù)列的通項公式．4．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函數(shù)y＝f(x)的圖像上的兩點，且線段P1P2的中點P的橫坐標(biāo)是.（1）求證：點P的縱坐標(biāo)是定值；（2）若數(shù)列{an}的通項公式是an＝，求數(shù)列{an}的前m項和Sm.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）計算的值．（2）求數(shù)列的通項公式．（3）若，，數(shù)列的前項和為，若對一切成立，求的取值范圍．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)對任意都有求和的值；數(shù)列滿足：，數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請給予證明；8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是函數(shù)的圖像上的任意兩點.（1）當(dāng)時，求的值；（2）設(shè)，其中，求；（3）對于（2）中的，已知，其中，設(shè)為數(shù)列的前n項的和，求證.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）若，，數(shù)列的前項和為，若對一切成立，求的取值范圍．題型五數(shù)列求和的其他方法【典例1】已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前n項的和．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，，則等于（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．10112．（2023秋·山西運城·高三統(tǒng)考期末）已知為數(shù)列的前項和，且滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（

）A．30 B．31 C．32 D．334．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)