判斷二、三次多項(xiàng)式

能否分解因式的方法小結(jié)老生常探在有理數(shù)范圍內(nèi)二次多項(xiàng)式的判斷對(duì)于一元二次多項(xiàng)式，可以根據(jù)多項(xiàng)式的形式，應(yīng)用下述方法判斷。二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，選擇下列方法中的一種：1、判別式法：與一元二次方程的判別式相同，求出Δ值，如果＞0，并且是一個(gè)完全平方數(shù)；或者＝0；則可以分解。如果＞0但不是一個(gè)完全平方數(shù)，則不能分解（為整系數(shù)因式）；如果＜0，也不能分解。2、試根法：把常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)都找出來【包括其相反數(shù)】把每一個(gè)因數(shù)值代入原多項(xiàng)式，如果沒有一個(gè)能夠使得多項(xiàng)式的值等于0，則不能分解；如果有一個(gè)能夠使得多項(xiàng)式的值等于0，則能分解，并且其中一個(gè)因式是字母減去這個(gè)因數(shù)；例如：a2－2a－351、判別式法：Δ＝4＋140＝144＝122

能夠分解；【看不出因式】2、試根法：常數(shù)項(xiàng)35的因數(shù)有±1、±35，±5、±7；把其中的－5、＋7代入a2－2a－35時(shí)，其值＝0；能夠分解且因式分別為：a＋5和a－7；a2－2a＋71、判別式法：Δ＝4－28＜0，不能夠分解；2、試根法：常數(shù)項(xiàng)7的因數(shù)有±1、±7；把其中的任意一個(gè)

代入a2－2a＋7時(shí)，其值都≠0；不能夠分解二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，優(yōu)先使用判別式法：與一元二次方程的判別式相同，求出Δ值，如果＞0，并且是一個(gè)完全平方數(shù)，或者＝0，則可以分解；如果＞0但不是一個(gè)完全平方數(shù)，則不能分解（為整系數(shù)因式）；如果＜0也不能分解。例如：2x2＋x＋3判別式法：Δ＝1－24＜0，不能分解；2x2＋7x＋3判別式法：Δ＝49－24＝25＝52，能分解；2x2＋7x＋3＝(2x＋1)(x＋3)

對(duì)于二元二次多項(xiàng)式，可以把第二個(gè)字母看做1，使其變形為一元二次多項(xiàng)式，再按照上述方法判斷。x2＋3xy＋2y2把y看做1，變形為x2＋3x＋2，1、判別式法：Δ＝9－8＝1＝12，能分解；2、試根法：常數(shù)項(xiàng)2的因數(shù)有±1、±2；把其中的－1、－2代入x2＋3x＋2時(shí)，其值＝0；能夠分解且x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)

；所以：x2＋3xy＋2y2＝(x＋y)(x＋2y)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，也可以應(yīng)用試根法判斷：第一步：寫出二次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)【包括其相反數(shù)】；第二步：寫出常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)【包括其相反數(shù)】；第三步：用任意一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的任意一個(gè)因數(shù)，并試其結(jié)果的相反數(shù)能不能使得多項(xiàng)式的值為0如果能【會(huì)有一對(duì)數(shù)能】則該多項(xiàng)式可以分解因式；并且其中兩個(gè)因式分別是字母減去這兩個(gè)因數(shù)【如果是分?jǐn)?shù)因數(shù)，則(x－b/a)變形為(ax－b)】；例如：2x2＋x＋3二次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)：±1，±2；常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)：±1，±3；用±1，±1/2,±3，±3/2代入2x2＋x＋3，都≠0；所以原多項(xiàng)式不能分解。例如：2x2＋7x＋3二次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)：±1，±2；常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)：±1，±3；用－1/2和－3代入2x2＋7x＋3，都＝0；所以原多項(xiàng)式能分解；且2x2＋7x＋3＝(2x＋1)(x＋3)

三個(gè)系數(shù)之積是奇數(shù)時(shí)，可以判定不能分解；如果是偶數(shù)，則無法判斷?！具m用范圍局限】例如：x2＋7x＋3三個(gè)系數(shù)之積是21，奇數(shù)，不能分解；用試根法驗(yàn)證：常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)有：±1，±3；x＝1時(shí)，多項(xiàng)式＝11；x＝－1時(shí)，多項(xiàng)式＝3；x＝3時(shí)，多項(xiàng)式＝33；x＝－3時(shí)，多項(xiàng)式＝－9；不能分解；判別式驗(yàn)證：Δ＝49－12＝37不是平方數(shù)。三次多項(xiàng)式的判斷試根法：三次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，把常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)都找出來【包括其相反數(shù)】把每一個(gè)因數(shù)值代入原多項(xiàng)式，如果沒有一個(gè)能夠使得多項(xiàng)式的值等于0，則不能分解；如果有一個(gè)能夠使得多項(xiàng)式的值等于0，則能分解，并且其中一個(gè)因式是字母減去這個(gè)因數(shù)；如：x3＋2x2＋3x＋5；常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)有：±1，±5；x＝1時(shí)，多項(xiàng)式＝11；x＝－1時(shí)，多項(xiàng)式＝3；x＝5時(shí)，多項(xiàng)式＝195；x＝－5時(shí)，多項(xiàng)式＝－85；x3＋2x2＋3x＋5＝0沒有整數(shù)解，原式不能分解；如：x3＋2x2＋8x＋7；常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)有：±1，±7；x＝1時(shí)，多項(xiàng)式＝18；x＝－1時(shí)，多項(xiàng)式＝0；x3＋2x2＋8x＋7＝0有整數(shù)解，原式能分解且有因式(x＋1)。三次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)：第一步：寫出三次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)【包括其相反數(shù)】；第二步：寫出常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)【包括其相反數(shù)】；第三步：用任意一個(gè)常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)除以三次項(xiàng)系數(shù)的任意一個(gè)因數(shù)，并試其結(jié)果的相反數(shù)能不能使得多項(xiàng)式的值為0如果能則該多項(xiàng)式可以分解因式；并且其中一個(gè)因式是字母減去這個(gè)因數(shù)【如果是分?jǐn)?shù)因數(shù)，則(x－b/a)變形為(ax－b)】；如：4x3－31x＋15三次項(xiàng)系數(shù)的所有因數(shù)：±1，±2，±4；常數(shù)項(xiàng)的所有因數(shù)：±1，±3，±5，±15；試驗(yàn)，把1/2、－3、5/2代入4x3－31x＋15都＝0能分解，且4x3－31x＋15＝(2x－1)(x＋3)(2x－5)下面是三次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)的另外一種判斷方法。對(duì)于三次項(xiàng)系數(shù)為1的一元三次多項(xiàng)式x3＋bx2＋cx＋d如果有bd＋cd是一個(gè)奇數(shù)，則不能分解；如果是偶數(shù)，則不能判斷。如：x3＋2x2＋3x＋5bd＋cd＝25，可以確認(rèn)不能分解；用試根法驗(yàn)證：常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)有：±1，±5；x＝1時(shí)，多項(xiàng)式＝11；x＝－1時(shí)，多項(xiàng)式＝3；x＝5時(shí)，多項(xiàng)式＝195；x＝－5時(shí)，多項(xiàng)式＝－85；不能分解；如：x3＋2x2＋3x＋4bd＋cd＝20，但是不能分解；用試根法驗(yàn)證：常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)有：±1，±2，±4；x＝1時(shí)，多項(xiàng)式＝10；x＝－1時(shí)，多項(xiàng)式＝2；x＝2時(shí)，多項(xiàng)式＝26；x＝－2時(shí)，多項(xiàng)式＝－2；x＝4時(shí)，多項(xiàng)式＝96；x＝－4時(shí)，多項(xiàng)式＝－44；不能分解；如：x3＋