4.5一元二次方程根的判別式

1.理解并會計算一元二次方程根的判別式.2.會用判別式判斷一元二次方程的根的情況.學(xué)習(xí)目標一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，當(dāng)b2-4ac≥0時，將a，b，c代入式子

就得到方程的根，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.知識回顧兩個不相等實數(shù)根

兩個相等實數(shù)根沒有實數(shù)根兩個實數(shù)根判別式的情況

根的情況我們把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式，通常用符號“”表示，即=

b2-4ac.

>0

=0

<0

≥0一元二次方程根的判別式新課講解按要求完成下列表格：練一練

的值04根的情況有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根3.判別根的情況，得出結(jié)論.1.化為一般式，確定a,b,c的值.要點歸納根的判別式使用方法2.計算的值，確定的符號.例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判斷正確的是()

A.該方程有兩個相等的實數(shù)根

B.該方程有兩個不相等的實數(shù)根

C.該方程無實數(shù)根

D.該方程根的情況不確定解析：原方程變形為x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選B.B方法歸納判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉(zhuǎn)化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根.b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.例2:若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是()A.k>-1B.k>-1且k≠0C.k<1D.k<1且k≠0解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數(shù)根，則b2-4ac>0，同時要求二次項系數(shù)不為0，即，k≠0.解得k>-1且k≠0，故選B.B例3:不解方程，判斷下列方程的根的情況．（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9;(3)7y=5(y2+1).解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,

∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）方程化為：4x2－12x+9=0,∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.∴方程有兩個相等的實數(shù)根．解：（3）方程化為：5y2－7y+5=0,∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程有兩個相等的實數(shù)根．1.關(guān)于x的一元二次方程有兩個實根，則m的取值范圍是

.注意：一元二次方程有實根，說明方程可能有兩個不等實根或兩個相等實根兩種情況.解：∴隨堂練習(xí)2.不解方程，判斷下列方程的根的情況．（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+=0;(3)x2-x+1=0.解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）x2-x+=0,a=1,b=-1,c=.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×=0.∴方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程無實數(shù)根．(3)x2-x+1=0.3.不解方程，判別關(guān)于x的方程的根的情況.解：所以方程有兩個實數(shù)根．能力提升：在等腰△ABC

中，三邊分別為a,b,c，其中a=5，若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，求△ABC

的周長.解：關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.所以b=-10或b=2.將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；所以△ABC

的三邊長為4，4，5，其周長為4+4+5=13.根的判別式b2-4ac務(wù)必將方程化為一般形式課堂小結(jié)應(yīng)用根的判別式時要注意：(1)要注意一元二次方程的二次項系數(shù)不為0,在運用根的判別式時,要找準a,b,c的值.(2)此判別式只適用于一元二次方程,當(dāng)無法判定方程是不是一元二次方程時,應(yīng)對方程進行分類討論.4.6一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標

了解一元二次方程

的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達定理.新課引入

的兩個根為x1，x2，則：ax2+bx+c又

ax2+bx+c=

于是.所以

即：這表明，當(dāng)時，一元二次方程根與系數(shù)之間具有如下關(guān)系：

兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.例1根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根x1，x2的和與積：(1)(2)(3)（1）（2）整理得：（3）整理得：

課堂練習(xí)1．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根x1，x2的和與積．(1)2x2－4x－3＝0；(2)x2－4x＋3＝7；(3)5x2－3＝10x＋4.2．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩實數(shù)根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一邊長為7，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．解：(1)∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4時原方程無解，∴m＝6；(2)①當(dāng)7為底邊時，此時方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m＝2.∴方程變?yōu)閤2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)7為腰時，設(shè)x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.當(dāng)m＝10時，方程變?yōu)閤2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15，不能組