離散數(shù)學(xué)

余力82500907理工配樓303Abuaayuli@2代數(shù)結(jié)構(gòu)部分第5章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)第6章幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)3第5章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)5.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)45.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)

二元運(yùn)算定義及其實(shí)例一元運(yùn)算定義及其實(shí)例運(yùn)算的表示二元運(yùn)算的性質(zhì)交換律、結(jié)合律、冪等律、消去律分配律、吸收律二元運(yùn)算的特異元素單位元\零元可逆元素及其逆元5二元運(yùn)算的定義及其實(shí)例定義設(shè)S為集合,函數(shù)f：S×S→S稱為S上的二元運(yùn)算,簡(jiǎn)稱為二元運(yùn)算.也稱S對(duì)f

封閉.例1(1)N上的二元運(yùn)算：加法、乘法.(2)Z上的二元運(yùn)算：加法、減法、乘法.

(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的二元運(yùn)算:乘法、除法.(4)設(shè)S={a1,a2,…,an},ai

?aj

=ai，

?為S上二元運(yùn)算.

6二元運(yùn)算的實(shí)例（續(xù)）

(5)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實(shí)矩陣的集合，即

矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運(yùn)算.(6)冪集P(S)上的二元運(yùn)算：∪,∩,－,

.(7)SS

為S上的所有函數(shù)的集合：合成運(yùn)算?.7一元運(yùn)算的定義與實(shí)例定義設(shè)S為集合，函數(shù)f：S→S稱為S上的一元運(yùn)算，簡(jiǎn)稱為一元運(yùn)算.例2(1)Z,Q和R上的一元運(yùn)算:求相反數(shù)

(2)非零有理數(shù)集Q*，非零實(shí)數(shù)集R*上的一元運(yùn)算:

求倒數(shù)

(3)復(fù)數(shù)集合C上的一元運(yùn)算:

求共軛復(fù)數(shù)

(4)冪集P(S)上,全集為S:求絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算~

(5)A為S上所有雙射函數(shù)的集合，A

SS:求反函數(shù)

(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求轉(zhuǎn)置矩陣8二元與一元運(yùn)算的表示算符：?,?,·,

,

等符號(hào)表示二元或一元運(yùn)算對(duì)二元運(yùn)算?

，如果x與y運(yùn)算得到z，記做

x?

y=z；對(duì)一元運(yùn)算?,x的運(yùn)算結(jié)果記作?

x

表示二元或一元運(yùn)算的方法：公式、

運(yùn)算表注意：在同一問題中不同的運(yùn)算使用不同的算符9公式表示

例3設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算?：

x,y∈R,x?y=x.那么3?4=30.5?(-3)=0.5

二元與一元運(yùn)算的表示（續(xù)）10運(yùn)算表的形式

?a1

a2

…

an

?aia1a2...ana1?

a1

a1?a2

…

a1?ana2?a1

a2?a2

…

a2?an.........an?a1

an?a2

…

an?an

a1a2...an?a1?a2

...?an11運(yùn)算表的實(shí)例例4A=P({a,b}),

,～分別為對(duì)稱差和絕對(duì)補(bǔ)運(yùn)算（{a,b}為全集）

的運(yùn)算表～的運(yùn)算表

{a}{a,b}

X

～X

{a}{a,b}

{a}{a,b}{a}

{a.b}{a,b}

{a}{a,b}{a}

{a}{a,b}{a,b}{a}

12運(yùn)算表的實(shí)例（續(xù)）例5Z5={0,1,2,3,4},

,

分別為模5加法與乘法

的運(yùn)算表

的運(yùn)算表

01234

01234012340123412340234013401240123

01234000000123402413031420432113二元運(yùn)算的性質(zhì)

定義設(shè)?

為S上的二元運(yùn)算,(1)如果對(duì)于任意的x,y

S有

x?

y=y?

x,

則稱運(yùn)算在S上滿足交換律.(2)如果對(duì)于任意的x,y,z∈S有

(x?

y)?

z=x?

(y

?

z),

則稱運(yùn)算在S上滿足結(jié)合律.

(3)如果對(duì)于任意的x∈S有

x

?

x=x,

則稱運(yùn)算在S上滿足冪等律.14實(shí)例分析Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n

2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|

2.集合運(yùn)算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+有有無普通乘法

有有無Mn(R)矩陣加法+有有無矩陣乘法

無有無P(B)并

有有有交有有有相對(duì)補(bǔ)無無無對(duì)稱差有有無AA函數(shù)復(fù)合

無有無15二元運(yùn)算的性質(zhì)（續(xù)）定義設(shè)?

和?為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x?y)?

z=(x?

z)?(y?

z)

z?(x?y)=(z?

x)?(z?

y)

則稱?

運(yùn)算對(duì)?運(yùn)算滿足分配律.(2)如果?

和?都可交換,并且

x,y∈S有

x?

(x?y)=xx?(x?

y)=x

則稱?

和?運(yùn)算滿足吸收律.16實(shí)例分析

集合運(yùn)算分配律吸收律

Z,Q,R普通加法+與乘法

對(duì)+可分配無+對(duì)不分配

Mn(R)矩陣加法+與乘法

對(duì)+可分配無+對(duì)不分配

P(B)并

與交

對(duì)

可分配有

對(duì)

可分配交

與對(duì)稱差

對(duì)可分配無

對(duì)不分配Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)集；Mn(R)為n階實(shí)矩陣集合,n

2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|

2.17二元運(yùn)算的特異元素—單位元定義設(shè)?為S上的二元運(yùn)算,如果存在el（或er）

S，使得對(duì)任意x∈S都有

el

?

x=x(或x

?

er=x)則稱el

(或er)是S中關(guān)于?

運(yùn)算的左(或右)單位元.若e∈S關(guān)于?

運(yùn)算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關(guān)于?

運(yùn)算的單位元.單位元也叫做幺元.18二元運(yùn)算的特異元素—零元設(shè)

?

為S上的二元運(yùn)算,

如果存在θl（或θr）∈S，使得對(duì)任意x∈S都有

θl?

x=θl

(或x?θr=θr)，則稱θl(或θr

)是S中關(guān)于?

運(yùn)算的左(或右)零元.若θ∈S關(guān)于?運(yùn)算既是左零元又是右零元，則稱θ為S上關(guān)于運(yùn)算?

的零元.19二元運(yùn)算的特異元素—逆元令e為S中關(guān)于運(yùn)算?