第2講有理數(shù)四則運(yùn)算

【考點(diǎn)1】有理數(shù)加減法

【考點(diǎn)2】有理數(shù)的乘除法

一、有理數(shù)的加法運(yùn)算

1.有理數(shù)的加法運(yùn)算法則

(1)同號兩數(shù)相加：取相同的符號，并把絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加：絕對值相等時(shí)和為0；絕對值不等時(shí)，取絕對值較大的數(shù)的符號,

并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

(3)一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

【例】(+3)+(+5)=+(3+5)=8(-3)+(-5)=-(3+5)=-8

2+(-2)=03+(-2)=+(3-2)=1

2+(-5)=-(5-2)=-3-3+0=—3

符號數(shù)值

正數(shù)+正數(shù)正絕對值相加

負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)負(fù)絕對值相加

正數(shù)+負(fù)數(shù)取絕大絕大減絕小

【注】多個(gè)數(shù)相加時(shí)，加法交換律和加法結(jié)合律仍然成立.

2.加法運(yùn)算技巧

(1)化小數(shù)為分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時(shí)，應(yīng)先化為統(tǒng)一形式；

(2)符號相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起；

(3)若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時(shí)，可先結(jié)合相加；特別是有互為相反數(shù)的兩

個(gè)數(shù)時(shí)，可先結(jié)合相加得零；

(4)若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起.

【例】--+(-0.75)=-

4

131

-++-=-+

888

3.7+(—7)+6.3=3.7+6.3+(—7)=10+(—7)=3

-2.4+5+2.4=(-2?4+2.4)+5=0+5=5

二、有理數(shù)的減法運(yùn)算

1.有理數(shù)的減法運(yùn)算法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即：a-b=a+(-b).

【例】3-(-2)=3+2=5-8-(-7)=-8+7=-1

2.有理數(shù)的減法運(yùn)算步驟

(1)把減號變?yōu)榧犹枺褱p數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)；

(2)按照加法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.

【例】計(jì)算：-8-6

解：原式=-8-(-6)Stepl：減號變加號，減數(shù)變相反

=-(8+6)Step2：按照加法的運(yùn)算步驟計(jì)算

=一14

3.有理數(shù)加減法混合運(yùn)算技巧

(1)把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；

(2)去括號時(shí)注意符號，能省掉的“+”號要省掉；

(3)多觀察，巧妙利用運(yùn)算律簡便計(jì)算.

三、有理數(shù)的乘法運(yùn)算

1.有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘.

任何數(shù)與0相乘，積仍為0.

【例】—3x(—5)=+(3x5)=15-2x8=-(2-8)=-16

12x11=1322017x0=0

2.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律

(1)乘法交換律：ab=ba；

(2)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；

(3)乘法分配律：a(b+c)=ah+ac.

【例】-3x5=5x(-3)[(-2)X3]X；=(-2)X(3X；

-|X^10+|^)=-|X10+

3.有理數(shù)乘法運(yùn)算技巧：

(1)幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：奇負(fù)偶正；

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為0,則積為0；

(3)在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)

先化為假分?jǐn)?shù)，便于約分.簡記為：化小為分，化帶為假.

71

【例】一gx(x(_2)x(-0.75)x5的結(jié)果為負(fù)數(shù)

-8x—x(-9)*0x7的結(jié)果為。

173

-3-x0.75xl6=——x-xl6=-42

224

四、有理數(shù)的除法運(yùn)算

1.有理數(shù)除法運(yùn)算法則

一個(gè)數(shù)除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).a^b=a-,3=0).

b

2.有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：

(1)把除號變?yōu)槌颂枺?/p>

(2)把除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù);

(3)把除法轉(zhuǎn)化為乘法，按照乘法運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算.

=2x(-4)=-(2x4)=-8

+3、|2

3

一名師點(diǎn)睛

【考點(diǎn)1】有理數(shù)加減法

(2)(+7.5)+(+3]

例1.(1)(+12)+(+3)(3)(-11)+(-9)

⑷卜(6)(+53》]一嗎

(5)154-(-6)

、7

(7)一5+3(8)-+

6

(2)(+7.5)+(+3]2

解析：(1)(+12)+(+3)(3)(-11)+(-9)(4)|+

33

=+(12+3)=+(7.5+3.6)=-(11+9)=一42

=15=11.1=-20

=—8

(6)f+53-l+f-18-453

(5)15+(-6)(7)-5+3(8)

556

=+(15-6)=-(5-3)46

=+|52+--18--

=955=-26

=3W23

T

一|+g+(一2)

例2.(1)23-17-(-7)+(-16)(2)

30

(2)解：原式=-!-

(1)解:原式=23+(-17)+7+(-16)+(-2)

30

11/c\

<23+7)+[(-17)+(-16)J=---1----F(-2)

3015

q+(—2)=4i

=30+(-33)=-3

例3.(1)-+(-0.75)+0.375+[-2-1

(2)4—++6

8k412H

(3)_0.5_卜3；1卜一2.75)_(7；(4),2：

+3：(+1.25)-

4

(1)原式=2++"32」哈+

(2)原式=

84+6看

￡4』+61

41212

1/r、5

=T+(-3)=--

22

(3)J^^=--+3-+2-+f-7->|

244I

=(—8)+6=—2

【變式1】(—23)+(+58)+(-17)

【答案】18

【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】解：(-23)+(58)+(-17)

=-23+58-17

=—(23+17)+58

=T0+58

=18.

【點(diǎn)睛】本題考杳了有理數(shù)加法運(yùn)算，靈活運(yùn)用加法運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2].(-2.8)+(-3.6)+3.6

【答案】-2.8

【分析】利用加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(-2.8)+(-3.6)+3.6

=(-2.8)+[(-3.6)+3.6]

=-2.8+0

=-2.8.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加法運(yùn)算，靈活運(yùn)用加法結(jié)合律進(jìn)行簡便運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3】計(jì)算：

(1)(-6)+(-13)(2)+

【答案】(1)79；(2)------

20

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；

(2)根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算；

【詳解】解：⑴(-6)+(-13)

=-6-13

=-19；

3_4

4-5

1516

20-20

20

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是注意運(yùn)算過程中的符號問題.

【變式5】計(jì)算:

(1)(-51)+(+76)+(叫+(-21)；

652

(2)—++

74

(+7)+(-12)+8.3+(-5.4)+(+9.7)+2.5)；

551

(4)-4-|4-37.5+|-1-|+|-3-|+(-20—|.

64610

79Q

【難度】【答案】(1)-37；(2)；(3)5.1；(4)7—.

2160

【解析】(1)(-51)+(+76)+(-41)+(-21)=-(51+41+21)+76=—113+76二一37；

65216251422

(2)—+十+—+—I——+

76767-7667321

(3)(+7)+(/2)+8.3+(-5.4)+(+9.7)+(-2.5)二(7+8.3+9.7)+[-(12+5.4+2.5)]

=25+(-19.9)-5.1;

卜|)+37.5+￡)+(-3￡|+(-20￡|二卜得/咕卷

(4)374-4:=7

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，注意法則的熟練運(yùn)用.

【變式6】用簡便方法計(jì)算:

(1)(+23)+(—27)+(+9)+(-5)；

(2)(-5.4)+(+0.2)+(-0.6)+(+0.35)+(-0.25)；

讓1+-3口1+-5A4+-3g6.

(3)

47477

【難度】★★【答案】(1)0；(2)-5.7；(3)2.

【解析】(1)原式=23-27+9-5=23+9-27-5=0；

(2)原式=-(5.4+0.6)+(0.35-0.25)+0.2=-6+0.3=-5.7；

(3)J^^=8--3-+f6--5--3->|=5-3=2.

44I777；

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的簡便運(yùn)算，注意方法的選擇.

【變式7】(1),8g[-(+12)-170：)-18：；

(2)[相3|-[(-O.13)-O.33]l.

【難度】★★【答案】(1)58-；(2)-8.36.

2

【解析】(1)^^=-8--12+70-+8-=-12+70-=58-；

32322

(2)原式=-4；-3|-(-0.13-0.33)=^^-^|+0.46^=

—3.86=—8.36.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

【變式8】計(jì)算：

3I

(1)(―1.5)—(―5.25)+(+3—)—(+6—)

42

213

(2)49-+(-78.25)+27-4-(-21-)

334

【答案】(1)1;(2)-23.

【分析】(1)先去括號，再利用加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算；

(2)先去括號，再利用加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】(1)(―1.5)—(―5.25)+(+3/—(+6/)

=-1.5+5.25+3.75-6.5

=-(1.5+6.5)+(5.25+3.75)

=-8+9

=1

213

(2)49-+(-78.25)+27-+(-21-)

334

213

-49一+27——78.25-21-

334

二77-100

=-23

【點(diǎn)睛】考查的是有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利用了加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算,

并在運(yùn)算中處理好符號是重點(diǎn)和正確運(yùn)用運(yùn)算法則.

【變式9】計(jì)算:

(1)(+0.125)-

34

(2)61+244-(-18)+4--16+18-6.8+(-32).

1O

【難度】★★【答案】(1)10上；(2)-I9-.

65

【解析】(1)原式=口+33-3工+102-14=104；

848346

34432

(2)原式=62+4——6—+24+18-18-16-32=43-24=-19一.

55555

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的簡便組合運(yùn)算.

例4.已知a=_3l,Z>=-8-,c=-21，求下列各式的值:

442

(1)a-b-cx(2)b-^a-c)；(3)|a|-|fe|-|c|；(4).

【難度】★★【答案】見解析.

原式=-31-1-84131c101o13

【解析】(1)2-=—3—F8—F2—=7-；

4424422

(2)原式=-823-2-$鴻修出

442

r1c1c1J

(3)原式=-3-8-3一—8一—2一=一7一

444422

(4)原式=-31--21-8i|=-+8-=9.

42444

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

例5.已知兩個(gè)數(shù)+3和-5，試求下列各種情況的值：

(1)求這兩個(gè)數(shù)的相反數(shù)的和；(2)求這兩個(gè)數(shù)的和的相反數(shù);

(3)求這兩個(gè)數(shù)和的絕對值；(4)求這兩個(gè)數(shù)絕對值的和.

【難度】★★【答案】(1)2；(2)2：(3)2；(4)8.

【解析】(1)3的相反數(shù)是-3,-5的相反數(shù)是5,-3+5=2；

(2)3+(-5)=-2,-2的相反數(shù)是2；

(3)3+(-5)=-2,-2絕對值是2；

(4)|3|=3,|-5|=5,3+5=8.

【總結(jié)】本題考查了相反數(shù)和絕對值的應(yīng)用.

【變式1】下列說法正確的是()

A.兩個(gè)數(shù)之差一定小于被減數(shù)

B.減去一個(gè)負(fù)數(shù)，差一定大于被減數(shù)

C.減去一個(gè)正數(shù)，差不一定小于被減數(shù)

D.0減去任何數(shù)，差都是負(fù)數(shù)

【難度】★【答案】B

【解析】學(xué)會(huì)舉反例來判斷正誤.【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)減法運(yùn)算法則.

【變式2］如果兩個(gè)數(shù)的和是正數(shù)，那么()

A.這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)

B.這兩個(gè)數(shù)一正一負(fù)

C.這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是正數(shù)

D.以上說法都不對

【難度】★【答案】C

【解析】由于兩個(gè)數(shù)的和是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)可以都為正數(shù)(或一個(gè)為0),也可以一正

一負(fù)，但正數(shù)的絕對值要大.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的加法運(yùn)算的應(yīng)用，需要熟練掌握法則.

例6.2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠為滿

足市場需求計(jì)劃每天生產(chǎn)5000個(gè)，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃相比有出入，下表

是二月份某一周的生產(chǎn)情況：(超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)，單位：個(gè))

星期一二三四五六日

增減+100-200+400-100-100+350+150

(1)這一周共生產(chǎn)多少個(gè)口罩？

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少個(gè)？

(3)該口罩加工廠實(shí)行計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩0.15元，本周口罩加工廠應(yīng)支付工人

的工資總額是多少元？

【答案】(1)35600個(gè)口罩;(2)600個(gè)；(3)5340元.

【分析】(1)利用七天的計(jì)劃生產(chǎn)量+實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃相比的出入量列算式，計(jì)算可

求解；(2)利用最多的產(chǎn)量-最少的產(chǎn)量可求解；

(3)利用總口罩量X生產(chǎn)一個(gè)口罩的工資可求解.

【詳解】(1)5000X7+100-200+400-100-100+350+150=35600(個(gè)),

答：這一周共生產(chǎn)35600個(gè)口罩；

(2)400-(-200)=600(個(gè))，

答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)600個(gè)；

(3)35600X0.15=5340(元)，

答：本周口罩加工廠應(yīng)支付工人的工資總額是5340元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正數(shù)與負(fù)數(shù)，有理數(shù)的加法，理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式1】.（2021?全國七年級）足球比賽中，根據(jù)場上攻守形勢，守門員會(huì)在門前來回

跑動(dòng)，如果乙球門線為基準(zhǔn)，向前跑記作正數(shù)，返回則記作負(fù)數(shù)，一段時(shí)間內(nèi)，某守門員的

跑動(dòng)情況記錄如下（單位：m）：+10,-2,+5,+12,-6,-9,+4,-14.（假定開始

計(jì)時(shí)時(shí)，守門員正好在球門線上）

（1）守門員最后是否回到球門線上？

（2）守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)多少米？

（3）如果守門員離開球門線的距離超過10m（不包括10m）,則對方球員挑射極可能造成破

門.問：在這一時(shí)間段內(nèi)，對方球員有幾次挑射破門的機(jī)會(huì)？簡述理由.

【答案】（1）能回到球門線上；（2）25米；（3）4次，理由見解析

【分析】（1）將所有數(shù)據(jù)相加即可得到答案；

（2）分別求出每次離開球門的距離即可得到答案；

（3）根據(jù)（2）守門員離開球門的距離與10比較即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：10-2+5+12-6-9+4-14=0,

則守門員最后能回到球門線上；

（2）守門員離開球門線的距離分別為：

第一次：10（米），

第二次;10-2=8（米），

第三次:8+5=13（米）,

第四次：13+12=25（米），

第五次：25-6=19（米），

第六次：19-9=10（米），

第七次：10+4=14（米），

第八次14-14=0（米）,

則守門員離開球門線的最遠(yuǎn)距離達(dá)25米；

（3）由（2）得守門員離開球門的距離分別為：10,8,13,25,19,10,14,0,

其中距離為13、25、19、14超過10m（不包括10m）,此時(shí)對方球員可挑射破門，

則對方球員有4次挑射破門的機(jī)會(huì).

【點(diǎn)睛】此題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，絕對值的意義，有理數(shù)加減法的實(shí)際應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是正確理解題意，由題意列算式計(jì)算.

【變式2】“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”刺激了經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇.今年國慶周期間，小王用2000元購進(jìn)了一批

商品，在夜市擺地?cái)偸圪u8天，全部銷售完畢.每天的收入以300元為標(biāo)準(zhǔn)，超過的錢數(shù)記

作正數(shù)，不足的錢數(shù)記作負(fù)數(shù)，8天的收入記錄如下：+62,+40,-60,-38,0,+34,+8,

-54.(單位:元)

(1)收入最多的一天比最少的一天多多少錢？

(2)小王這8天的地?cái)偸杖胧怯€是虧損？盈利或虧損多少錢？

【答案】(D收入最多的一天比最少的一天多122元；(2)盈利，盈利392元

【分析】(1)根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義列式計(jì)算即可；

(2)求出總收入和利潤即可得出答案.

【詳解】(1)+62-(-60)=122(元),

答：收入最多的一天比最少的一天多122元；

(2)62+40-60-38+0+34+8-54=-8(元)，

總收入為300X8-8=2392(元)，

2392-2000=392(元)，

答：小王這8天的地?cái)偸杖胧怯?92元.

【點(diǎn)評】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，理解正負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量是解決問題的前提.

例7.閱讀下面文字：

5231

對于(-5—)4-(-9—)+17—F(—3—),

6342

可以按如下方法計(jì)算：

5231

原式=[(-5)+(-二)]+[(-9)+(——)]+(17+-)+[(-3)+(一一)]

6342

5231

=[(—5)+(—9)+17+(-3)]+[(---)+(---)H----F(---)]

6342

=0+(―1—)

4

1

=—1-.

4

上面這種方法叫拆項(xiàng)法.

521

仿照上面的方法，請你計(jì)算：(-2018-)+(-2017-)+(-1-)+4036.

632

【答案】-2.

【分析】讀懂例題，根據(jù)例題拆項(xiàng)計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=[(-2018)+(—=5)]+[(—2017)+(-2￡)]+[(—1)+(—1；)]+4036

632

571

=[(-2018)+(-2017)+(-1)+4036]+[(--)+(--)+(----)]

632

=0+[(-=5)+(2)+(一1：)]

632

=一2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，必須熟練掌握，并且掌握此方法.

例8.計(jì)算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+■?-+66-67-68+69+70.

【難度】★★★【答案】71

【解析】原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+...+(66-67-68+69)+70=1+70=71.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的簡便運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，注意觀察數(shù)據(jù)的特征.

例9.分別求出數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離：

(1)表示數(shù)-8的點(diǎn)與表示數(shù)-3的點(diǎn)；

(2)表示數(shù)-2的點(diǎn)與表示數(shù)-5」的點(diǎn)；

3

(3)表示數(shù)9的點(diǎn)與表示數(shù)-5的點(diǎn).

【難度】★★★【答案】(1)5;(2)31；(3)14.

3

【解析】數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離等于兩數(shù)差的絕對值；

(1)卜8-(-3)=5；(2)-2-1-5g)=3g；(3)|9-(-5)|=14.

【總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離的運(yùn)算，注意對公式的準(zhǔn)確理解.

例10.黃浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分米,

第四天上升了5之厘米，問第四天黃浦江的水位比剛開始時(shí)的水位高多少米？

4

【難度】★★★【答案】0.1118米.

【解析】將上升記為'+下降記為

5.7毫米=0.57厘米,0.9分米=9厘米,

貝IJ：6.9+(-0.57)+(-9)+5^=6.9-0.57-9+5-=3.08(厘米)，

3.08厘米=0.0308米.

即第四天黃浦江的水位比剛開始時(shí)的水位高0.0308米.

【總結(jié)】本題考查了正、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及運(yùn)算，注意單位的統(tǒng)一.

例11.在學(xué)習(xí)了同為數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之后，愛思考和探究的小明想知道

數(shù)軸上分別表示數(shù)a和數(shù)b的兩個(gè)點(diǎn)A,8之間的距離該如何表示.

小明采取了數(shù)學(xué)上常用的從特殊到一般的歸納法，請聰明的你和小明一起完成如下問題：

(1)選取特例

①當(dāng)。=2力=4時(shí)，A,6之間的距離A8=2;

②當(dāng)。=-21=4時(shí)，A,8之間的距離AB=；

③當(dāng)。=-21=-4時(shí)，A,6之間的距離AB=;

(2)歸納總結(jié)

數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,6的兩點(diǎn)力，6之間的距離表示為AB=;

(3)應(yīng)用

請結(jié)合數(shù)軸,直接寫出|x+l|+|x-l|+|x—3|的最小值.

【答案】(1)②6,③2；(2)\a-b\(或I。一川)；(3)最小值為4.

【分析】(1)①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式求解即可；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式求

解即可；

(2)根據(jù)(1)歸納可得AB兩點(diǎn)之間的距離：

(3)要求|x+l|+|x—1|+上一3|的最小值，即表示數(shù)軸上一點(diǎn)到-1,1,3三點(diǎn)的距離，可

知該點(diǎn)在-1到3之間，當(dāng)x=l時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離為0,此時(shí)最小，求解即可；

【詳解】(1)①當(dāng)a=-2,b=4時(shí)，

AB之間的距離為：卜2-4|=6,

②當(dāng)a=-2,b=-4時(shí)，|-2+4|=2,

AB之間的距離為：|-2+4|=2,

(2),:A、B之間的距離公式為兩數(shù)之差的絕對值，

AB-\a-b\或=

(3)?求|x++|x—+|x—3|的最小值，

...X應(yīng)在T到3之間，

V當(dāng)x=l時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離為0,

當(dāng)x=l時(shí)，卜+1|+|九-1|+卜-3|有最小值，

|x+1|+|x-1|+|x—3|=4>

最小值為4

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，以及絕對值的性質(zhì)，正確

理解知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；

例12.我們知道，在數(shù)軸上，時(shí)表示數(shù)”到原點(diǎn)的距離.進(jìn)一步地，點(diǎn)A，8在數(shù)軸上分

別表示有理數(shù)a,b,那么A，8兩點(diǎn)之間的距離就表示為卜-。|；反過來，|a-4也就表

示A,5兩點(diǎn)之間的距離.下面，我們將利用這兩種語言的互化，再輔助以圖形語言解決

問題.

例.若|x+5|=2,那么％為：

(T)|x+5|=2,Bp|x—(—5)|=2.

文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到-5的距離等于2.

②圖形語言：

22

-8-7-6-5-4-3-2-10

③答案：x為一7和一3.

請你模仿上題的①②③，完成下列各題：

(1)若|x+4|=|x-2|,求x的值.

①文字語言：

②圖形語言：

③答案：

(2)|%—3|一國=2時(shí)，求x的值：

①文字語言：

②圖形語言：

③答案：

(3)|x-l|+|x-3|>4,求x的取值范圍：

①文字語言：

②圖形語言：

③答案：

(4)求|x—l|+|x—21+|x-3|+|x—4|+|x—51的最小值.

①文字語言：

②圖形語言：

③答案：

【答案】(1)①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到T的距離等于它到2的距離

②圖形語言：畫圖見解析

③答案：x=-\.

(2)①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離減去它到0的距離等于2.

②圖形語言：畫圖見解析.

③答案：x

2

(3)①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離加上它到3的距離大于4.

②圖形語言：畫圖見解析

③答案：x>4或x<0.

(4)①文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1，2，3,4.5五個(gè)數(shù)的距離之和最小，最小值是多

少.

②圖形語言：畫圖見解析.

③答案：當(dāng)x=3時(shí).，最小值為6.

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可；

(3)根據(jù)數(shù)軸上什么數(shù)到1距離加上它到3的距離大于4,觀察數(shù)軸求解即可；

(4)根據(jù)絕對值的幾何意義，數(shù)軸上什么數(shù)到1，2.3,4.5五個(gè)數(shù)的距離之和最小，

最小值是多少求解.

【詳解】(1)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到-4的距離等于它到2的距離

圖形語言：

33

-4-3-2-101234

答案：x=-\.

(2)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到3的距離減去它到0的距離等于2.

圖形語言：

(3)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1的距離加上它到3的距離大于4.

圖形語言：

答案：x〉4或x<0.

(4)文字語言：數(shù)軸上什么數(shù)到1，2.3,415五個(gè)數(shù)的距離之和最小，最小值是多少

圖形語言：

-10123456

答案：當(dāng)x=3時(shí)，最小值為2+1+0+1+2=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合求解.

【考點(diǎn)2】有理數(shù)的乘除法

(3)原式=

(4)原式=(_1卜3*(_：卜4=5.

例2.(1)8+(-36)x[--—+1](2

)

(9126)

(-3-89)xHF-5ixH)+6-4xH)

(1)原式=8+(-36)xg+(-36)x[+(-36)x1=8+(-28)+33+(-6)=7.

(2)原式=[(-3.89)-2.51+6.4]x°xH)=o-

【變式1】.計(jì)算:

(-3)x5=_3x5=3x(_5)=(-3)x(-5)=

15,(-20.6)xl|=

【難度】★【答案】(1)-15；(2)-15;(3)-15:(4)15:(5)—；(6).

113

【解析】兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘(先定符號).

【總結(jié)】本題考查了簡單的有理數(shù)的乘法運(yùn)算，注意先確定符號，再計(jì)算.

【變式2】計(jì)算：

⑴(一力式一料方；⑵14卜卜總.

【難度】★★【答案】(1)--;(2)-5-.

83

【解析】(1)原式=-f3x，2x"=_2：(2)=—fs—X—x-1=-5—.

t654；8V3716；3

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算法則,注意先確定符號再計(jì)算.

【變式3】.計(jì)算：

(1)(-2.5)x0.49x1.25x(-4)x(-8)；(2)(-23)x213x(-3)x0x(-83)；

⑶1M-1撲卜(卜卜綱一針

【難度】★★【答案】(1)T9；(2)0；(3)

2

【解析】(1)原式=-(2.5x4)x(1.25*8)x049=-49；

(2)原式=0,。乘以任何數(shù)都為0；

/八345677

(3)原式=——X—X—X—X—=——.

234562

【總結(jié)】本題考杳了有理數(shù)乘法的簡便運(yùn)算.

【變式4】.計(jì)算：

(1)15x("-)(2)f--+---lx24；

1234；

3

(3)-1.53x0.75+0.53x——3.4x0.75；(4)-10.4x--5.2x—+—x—.

48255

【難度】★★

【解析】(1)原式=15x,-15x」=_2：

53

(2)^5^=(--|X24+-X24--X24==—14；

I2；34

,/33

(3)原式=-X(-1.53+0.53-3.4)=-3x4.4=---；

10

(4)原式=5.2x(_1-g+g)=5.2x[-21}273

---=------.

20)50

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法的簡便運(yùn)算.

【變式5】計(jì)算：（-17）+51=,-56+(-8)=,5.6+(-14)二

17

【難度】★【答案】（1）（2）7；（3）--

35

【解析】兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除.

【總結(jié)】本題考查了簡單的有理數(shù)除法運(yùn)算.

【變式6】計(jì)算:

(2)(-3-U2-4-11-；

(1)(-3.2)+0.8+(-2)；

335

(4)f-io1

(3)(一18)+(+3.25)+-

(-49)+(_2力+(+(-3)；3

(5)(6)-3-+3.

352

【難度】★★

【解析】（1）原式=3.2+0.8+2=2；

原式=-3，+24+J=_103525

(2)x-x-=----

33537621

原式=18+3二2工=18乂巴x3=%

4413913

rs1、1c1441

(4)原式=10—x—x—X—=1；

8992

17331

(5)原式=-49+2—+—+3=-49x—x-x—=-3;

33773

原式=一，2//=一且

(6)

5773245

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算法則，注意化成乘法后先約分再化筒.

【變式7】計(jì)算:

(1)33--r（一5）;

3

4

(2)-0.lx2.4x(-100)x17-；

-2---5.5-[-4—4Lf-l—2

X

325133專

【難度】★★

【解析】（1）原式=33』+5r5八”112510028

---x7x—x5=33—+=-----x----=----

3273312515

5on

(2)原式=--—x—xx(-100)xy=-356；

105

11/10415、(55、848f55)64

（3）原式=

2(2513；V18J355<18；9

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘除法的混合運(yùn)算，注意法則的準(zhǔn)確運(yùn)用.

例3.如果a>0,b<0,那么____0；如果a<0,b<0>那么____0.

【難度】★【答案】<;>.

【解析】a>0則。為正,6<0則匕為負(fù),故“6<0；

a<0則a為負(fù)，〃<0則人為負(fù)，故aZ>>0.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)乘法的運(yùn)算法則.

【變式1】五個(gè)有理數(shù)的積是負(fù)數(shù)，則正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.1個(gè)、3個(gè)或5個(gè)D.0個(gè)、2個(gè)或4個(gè)

【難度】★【答案】D

【解析】由五個(gè)有理數(shù)的積為負(fù)數(shù)，則負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)，即為1、3、5,所以正因數(shù)有0、2、

4個(gè).【總結(jié)】

本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算法則.

【變式2】如果a+"0,岫<0,那么關(guān)于這兩個(gè)數(shù)的說法正確的是（）

A.符號相反B.符號相反且絕對值相等

C.符號相反且負(fù)數(shù)的絕對值大D.符號相反且正數(shù)的絕對值大

【難度】★★

【答案】D

【解析】由。6<0,得“、b異號,乂a+6>0,得a、b中正數(shù)的絕對值大，故選Z）.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算應(yīng)用.

【變式3】如果。+。<0,必>0,那么關(guān)于這兩個(gè)數(shù)的說法正確的是（）

A.都是正數(shù)B.都是負(fù)數(shù)

C.符號相反且負(fù)數(shù)的絕對值大D.符號相反且正數(shù)的絕對值大

【難度】★★

【答案】B

【解析】由ab>0,得a、6同號，又。+匕<0,得a、b均為負(fù)數(shù),故選B.

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算應(yīng)用.

【變式4】.填空：

(1)如果a>0,b<0,那么g___0；

h

（2）如果a<0,b<0,那么且____0；

b

(3)如果a=0,b<0,那么且____0.

b

【難度】★【答案】(1)<;(2)>；(3)=.

【解析】(1)a>0則a為正，則Z?為負(fù)，故幺<0；

b

(2)avO則a為負(fù)，。<0則人為負(fù)，?—>0；

b

(3)。=0則a為0,故@=0.

b

【總結(jié)】本題考查了有理數(shù)除法運(yùn)算法則的運(yùn)用，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕

對值相除.

【變式5】下列說法錯(cuò)誤的是()

A.任何有理數(shù)都有倒數(shù)B.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1

C.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)同號D.1和T互為負(fù)倒數(shù)

【難度】★【答案】A

【解析】。是有理數(shù)，但。沒有倒數(shù)；兩數(shù)相乘積為1，則兩數(shù)互為倒數(shù).

【總結(jié)】本題考查了倒數(shù)的定義.

.例5.若則工與■1的大小關(guān)系為.

ab

【難度】★★【答案】

ab

【解析】兩數(shù)同為正數(shù)，倒數(shù)大的反而小.

【總結(jié)】本題考查了倒數(shù)的應(yīng)用.

【變式6】若a、6為倒數(shù)，c、d為相反數(shù)，或+且x(c+d)=_____.