第20講函數(shù)的單調(diào)性9種常見題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：函數(shù)單調(diào)性的定義如果函數(shù)對區(qū)間內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)都有，則在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)都有，則在內(nèi)時(shí)減函數(shù)。考點(diǎn)二：單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)，那么在是增函數(shù)；在是減函數(shù)；在是減函數(shù)。在是增函數(shù)?？键c(diǎn)三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用即若在區(qū)間上遞增（遞減）且()；若在區(qū)間上遞遞減且.().考點(diǎn)四：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)在公共定義域內(nèi)，則①增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；②減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；③增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；④減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。考點(diǎn)五：雙勾函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)叫做雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減?？键c(diǎn)六：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（同增異減）討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：①若，在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù);②若，在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下:增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．題型一：用定義法證明函數(shù)單調(diào)性證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:①取值:設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形:作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào):判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．【精選例題】【例1】已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義給出證明；(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】(1)在區(qū)間上遞增，證明見解析(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）設(shè)，且，然后作差變形，再判斷符號(hào)可得結(jié)論；（2）由（1）可知在上遞增，從而可求出其最值.【詳解】（1），函數(shù)在區(qū)間上遞增，證明如下：任取，且，則因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，即，所以在區(qū)間上遞增，（2）由（1）可知在上遞增，所以的最大值為，最小值為.【例2】已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析(2)最大值為15，最小值為0【分析】（1）根據(jù)已知，利用函數(shù)單調(diào)性的定義作差求解.（2）根據(jù)已知，利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算求解即可.【詳解】（1）任取，，且，∴，∵，∴，，∴，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）由（1）得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，則函數(shù)在上的最大值為15，最小值為0.【例3】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)用定義法證明：在上單調(diào)遞增；(3)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)，【分析】（1）由分母不等于零可求得函數(shù)定義域；（2）設(shè)，由可證得結(jié)論；（3）由單調(diào)性可確定最值點(diǎn)，結(jié)合解析式可得最值.【詳解】（1）由得：，的定義域?yàn)?（2）設(shè)，，，，，在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知：在上單調(diào)遞增，，.【例4】已知函數(shù)（，），當(dāng)時(shí)，用單調(diào)性的定義證明在上是增函數(shù).【答案】證明見解析【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，任取，且，則.因?yàn)?，所以，，，所以，?所以在上是增函數(shù).【跟蹤訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義法加以證明.【答案】(1)，(2)單調(diào)遞增，證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，所以，因?yàn)?，所以所以，即，所以在上單調(diào)遞增.2.判斷在的單調(diào)性.【答案】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．【詳解】設(shè)，則（1）假如，則，又，所以故函數(shù)單調(diào)遞減；（2）假如，則，又所以故函數(shù)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】在上單調(diào)遞增，證明見解析【詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，；，，，，，是在上單調(diào)遞增.4.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，并用定義證明.(2)若時(shí)函數(shù)的最大值與最小值的差為，求的值.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(2)【詳解】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最大值為，最小值為，所以，即，解得.5.已知函數(shù)的表達(dá)式為．(1)當(dāng)，，時(shí)，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；(2)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)證明見解析；(2)時(shí)，函數(shù)最大值為；時(shí)，函數(shù)最大值為0.【詳解】（1）證明：當(dāng)，，時(shí)，，設(shè)，且，則，因?yàn)椋?，即，所以函?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，該函數(shù)圖象的對稱軸為，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為0.題型二：抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷證明解題思路：此類題目一般用定義法證明類型一：型【精選例題】【例1】已知定義在上的函數(shù)對任意，恒有，且當(dāng)時(shí)，.試判斷在的單調(diào)性，并證明；解析：設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍遥?，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減【跟蹤訓(xùn)練】1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且，試判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性?！驹斀狻吭O(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增2．定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；【答案】(1),，(2)證明見解析【詳解】(1)得，則，而，且，則；(2)取定義域中的任意的，，且，，當(dāng)時(shí)，，，，在上為減函數(shù)．類型二：型【精選例題】【例1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意的均有，且對任意的，都?（1）試說明：函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)；解析：設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減【跟蹤訓(xùn)練】1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且對任意的均有，且對任意的，都有，試判斷函?shù)在定義域上的單調(diào)性。解析：設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增類型三：型【精選例題】【例1】已知定義域?yàn)?，對任意都有，且?dāng)時(shí)，.(1)試判斷的單調(diào)性，并證明；解析：設(shè)是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減【跟蹤訓(xùn)練】1.已知定義域?yàn)?，對任意都有，且?dāng)時(shí)，.(1)試判斷的單調(diào)性，并證明；解析：設(shè)，則，所以，即，任取，且，則，所以即，所以在上單調(diào)遞增題型三：函數(shù)單調(diào)性定義的理解（注意對于任意字樣）如果函數(shù)對區(qū)間內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)都有，則在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)都有，則在內(nèi)時(shí)減函數(shù)。注意單調(diào)區(qū)間不能用“”，只能用“和”或者“，”【精選例題】【例1】（多選題）下列命題正確的是（）A．若對于，，，都有，則函數(shù)在R上是增函數(shù)B．若對于，，，都有，則函數(shù)在R上是增函數(shù)C．若對于，都有成立，則函數(shù)在R上是增函數(shù)D．若對于，都有，為增函數(shù)，則函數(shù)在R上也是增函數(shù)【答案】AB【詳解】A選項(xiàng)中，化簡為，故函數(shù)在R上是增函數(shù)；B選項(xiàng)中，故函數(shù)在R上是增函數(shù)；C選項(xiàng)中，令，表示不超過x的最大的整數(shù)，滿足，但在R上不是增函數(shù)；D選項(xiàng)中，令，但函數(shù)在R上不單調(diào)．【例2】（多選題）下列命題中為真命題的是（

）A．定義在上的函數(shù)，如果有無窮多個(gè)，當(dāng)時(shí)，有，那么在上單調(diào)遞增B．如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上也單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上就一定單調(diào)遞減C．，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D．，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【答案】CD【分析】根據(jù)單調(diào)性定義可判斷ACD；舉反例可判斷B.【詳解】對于A，“無窮多個(gè)”不能代表“所有”“任意”，所以A是假命題；對于B，，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，而在不具備單調(diào)性，故B是假命題；對于C，，∵等價(jià)于，而此式又等價(jià)于或，即或，∴在上單調(diào)遞減，故C是真命題；對于D，，且，由得，或，即或，∴在上單調(diào)遞增，故D是真命題.故選：CD.【跟蹤訓(xùn)練】1.（多選題）下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．已知區(qū)間，若對任意的，當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)B．函數(shù)在上是增函數(shù)C．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)D．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是和【答案】AD【分析】單調(diào)性定義判斷A；由二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷B、C、D即可.【詳解】A：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義知：對任意，當(dāng)時(shí)，則在上是增函數(shù)，正確；B：在上單調(diào)遞增，但R上不單調(diào)，錯(cuò)誤；C：在和為單調(diào)遞增，但不能說在定義域內(nèi)遞增，故錯(cuò)誤；D：的單調(diào)區(qū)間為和，正確；故選：AD2.（多選題）給出下列命題，其中是錯(cuò)誤命題的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，4].B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是C．若定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，則在R上是單調(diào)增函數(shù).D．是在定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，若，則減函數(shù).【答案】ABC【詳解】解：對于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)中的，，所以的定義域?yàn)椋訟錯(cuò)誤；對于B，反比例函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，所以B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間上也是單調(diào)增函數(shù)，而在R上不一定是單調(diào)增函數(shù)，如下圖，顯然，所以C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可得該選項(xiàng)是正確的，故選：ABC題型四：基本初等函數(shù)的單調(diào)性①一次函數(shù)：①當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)②當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)②反比例函數(shù)：①當(dāng)時(shí)，在和上為減函數(shù)②當(dāng)時(shí)，在和上為增函數(shù)，注意：不能說反比例函數(shù)在定義域?yàn)樵龊瘮?shù)或者減函數(shù)，不連續(xù)的函數(shù)一定要注意，不能寫成，只能用“和”或者“，”③二次函數(shù)：，看開口方向和對稱軸【精選例題】【例1】（多選題）下列函數(shù)中滿足“對任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)閷θ我鈞1，x2∈（0，+∞），都有，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，A：根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意；B：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不符合題意；C：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意；D：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意．故選：ACD【例2】下列四個(gè)函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷各項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，在區(qū)間為減函數(shù)，故A不符合題意；對于B，的對稱軸為直線，且開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B不符合題意；對于C，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C符合題意；對于D，在區(qū)間為減函數(shù)，故D不符合題意.故選：C【例3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】先求出定義域，然后由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得答案【詳解】的定義域?yàn)椋煞幢壤瘮?shù)的性質(zhì)可知的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故選：D【例4】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，【答案】D【分析】由對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)為對勾函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.不能選C，因?yàn)椴粷M足減函數(shù)的定義.故選：D.【例3】函數(shù)在（

）A．上是增函數(shù) B．上是減函數(shù)C．和上是增函數(shù) D．和上是減函數(shù)【答案】C【分析】分離常數(shù)，作出函數(shù)圖象，觀察即可得出結(jié)果.【詳解】，函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象如下：由圖象可得函數(shù)在和上是增函數(shù).故選：C【例6】下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是B．函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】C【詳解】對A，函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，所以A錯(cuò)對B，所以在和上分別為減函數(shù)，但不能說定義域內(nèi)單調(diào)遞減；對C，由題意函數(shù)，圖象如圖：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，；對D，當(dāng)時(shí)，的開口向下，對稱軸為，所以的單調(diào)減區(qū)間為，又當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，但中間不能用這個(gè)符號(hào)【例7】（多選題）已知，，設(shè)，則關(guān)于的說法正確的是（

）A．最大值為3，最小值為B．最大值為，無最小值C．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和D．單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和【答案】BC【詳解】在同一坐標(biāo)系中先畫出與的圖象，當(dāng)時(shí)，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，當(dāng)時(shí)，，表示的圖象在的圖象下方就留下的圖象，然后根據(jù)定義畫出，就容易看出有最大值，無最小值，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，由，得舍或，此時(shí)的最大值為：，無最小值，故B正確，時(shí)，由，解得：（舍去），故F在，遞增，在和遞減故C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC．【例8】若函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【詳解】解:由題知,定義域?yàn)?因?yàn)?,故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤,排除;且有,因?yàn)樗?即,故在區(qū)間上單調(diào)遞減,且有,因?yàn)樗?即,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,故選項(xiàng)B正確.故選:B【跟蹤訓(xùn)練】1.下列函數(shù)中，滿足“對于任意，都有”的是【答案】C【詳解】因?yàn)椤皩τ谌我?，都有”，所以在上為增函?shù)2.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：選項(xiàng)A，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上也單調(diào)遞減，故原函數(shù)也在上單調(diào)遞減；選項(xiàng)B，函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為y軸，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；選項(xiàng)C，函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，不滿足在上單調(diào)遞減；選項(xiàng)D，由函數(shù)可得定義域?yàn)?，由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不滿足在上單調(diào)遞減，故選：A．3.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，而函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)在區(qū)間上為“緩增函數(shù)”，區(qū)間為的“緩增區(qū)間”.若函數(shù)是區(qū)間上的“緩增函數(shù)”，則的“緩增區(qū)間”為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間、且，即，，，則，，所以，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，同理可證函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).因此，的“緩增區(qū)間”為.故選：D.4.函數(shù)（

）A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】C【詳解】因?yàn)?，函?shù)的圖象可由y＝－圖象沿x軸向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度得到，如下圖所示．所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故選：C.題型五：函絕對值函數(shù)的單調(diào)性判斷①注意函數(shù)和函數(shù)圖象的畫法②當(dāng)函數(shù)中某一部有絕對值可以考慮通過討論正負(fù)去掉絕對值【例1】函數(shù)的遞增區(qū)間是______.【答案】[1，+∞）【詳解】解：函數(shù)y＝|x﹣1|的圖象如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的增區(qū)間為[1，+∞），故答案為：[1，+∞）．【例2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.【答案】【詳解】由題意，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【例3】求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間________.【答案】和【詳解】，作出函數(shù)圖象如圖所示.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.故答案為:和.【例4】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________.【答案】【詳解】由，當(dāng)時(shí)，開口向上，對稱軸方程為，所以在時(shí)，開口向下，對稱軸方程為，所以此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故答案為：【例5】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，所以遞增區(qū)間是.故選:C.【例6】（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)f(x)的增區(qū)間為C．函數(shù)f(x)的值域?yàn)镈．關(guān)于a的不等式的解集為【答案】ABD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)解得，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，故正確；B.因?yàn)?，所以函?shù)f(x)的增區(qū)間為，故正確；C.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)榈葍r(jià)于，解得，故正確；故選：ABD【題型專練】1.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論：①函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)；②函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，且單調(diào)性不相同；③函數(shù)在上單調(diào)遞減；④函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【詳解】解:函數(shù)定義域?yàn)?，，定義域區(qū)間不連續(xù)，結(jié)論①、④錯(cuò)誤；在上函數(shù)單調(diào)遞遞增，結(jié)論③錯(cuò)誤；函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，結(jié)論②正確.故選:A2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．B．和C．和D．和【答案】B【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.3.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．增區(qū)間是B．減區(qū)間是C．增區(qū)間是D．增區(qū)間是【答案】D【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)；綜合可得：在區(qū)間和上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故選：D.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．B．和C．D．和【答案】B【詳解】，作出其圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為和.故選:B5.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故答案為：題型六：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍【精選例題】【例1】若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，對稱軸方程，得到不等式，求出答案.【詳解】開口向上，對稱軸為，要想在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，則.故選：D【例2】若函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，則_________【答案】【詳解】令，可得，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)增區(qū)間是，所以，解得【例3】（多選題）已知函數(shù)，若對任意的，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】根據(jù)題意設(shè)，通過變形得到恒成立，進(jìn)而構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減進(jìn)而分類討論求解即可.【詳解】不妨設(shè)，則，根據(jù)題意，可得恒成立，即恒成立，令，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，則解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：AB【例4】（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．在上的值域?yàn)镃．若在上單調(diào)遞減，則D．若，則在定義域上單調(diào)遞增【答案】AC【分析】求得的定義域判斷選項(xiàng)A；求得在上的值域判斷選項(xiàng)B；求得a的取值范圍判斷選項(xiàng)C；求得時(shí)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：由得，則的定義域?yàn)?判斷正確；選項(xiàng)B：，由，可得，則，當(dāng)時(shí)，，則在上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，，即在上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，，即在上的值域?yàn)?綜上，當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，若在上單調(diào)遞減，則，解之得.判斷正確；選項(xiàng)D：，則時(shí)，在和上單調(diào)遞增.判斷錯(cuò)誤.故選：AC【例5】已知函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式可知，的對稱軸為，開口向下，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則，是反比例函數(shù)，若在區(qū)間是減函數(shù)，則，所以故選：C【例6】（多選題）已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性說法正確的是（

）A．函數(shù)在上不具有單調(diào)性B．當(dāng)時(shí)，在上遞減C．若的單調(diào)遞減區(qū)間是，則a的值為D．若在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是【答案】BD【詳解】當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，其單調(diào)遞減區(qū)間是，因此在上遞減，B正確；由的單調(diào)遞減區(qū)間是得，a的值不存在，C錯(cuò)誤；在D中，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，得，所以a的取值范圍是，D正確；故選:BD【例7】已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且不等式的解集為.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析：（1）由題意可設(shè)，即，由的圖象過點(diǎn)，可得，解得，所以（2），對稱軸，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)函數(shù)，所以，解得【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是有（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，開口向下，對稱軸為，依題意，解得，即，故選：D2.若函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【詳解】函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，.故答案為：.3.函數(shù)，對且，，則實(shí)數(shù)的范圍為（

）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)閷η?，，所以函?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，函數(shù)的對稱軸是，所以，得.故選：B4.若是上的嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍分別是_________________．【答案】，【詳解】，在上為增函數(shù)，，故答案為：，5．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，并且函數(shù)值不恒為負(fù)，則a的取值范圍是______.【答案】【詳解】將函數(shù)整理變形，得，因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，并且函數(shù)值不恒為負(fù)，所以，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，解得.故答案為：6.已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的范圍是____________．【答案】【詳解】令，解得或，∴當(dāng)時(shí)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)；若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，故；若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增恒成立，綜上m的范圍是．故答案為：題型七：分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍①分段函數(shù)遞減必須滿足，每一段是減函數(shù)，同時(shí)保證在分端點(diǎn)左右兩端相等或遞減，列式即可求解.②分段函數(shù)遞增必須滿足，每一段是增函數(shù)，同時(shí)保證在分端點(diǎn)左右兩端相等或遞增，列式即可求解.【精選例題】【例1】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意知，要使在上單調(diào)遞增，則，解得【例2】已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化分段函數(shù)推出不等式組，即可求出a的范圍.【詳解】對任意的實(shí)數(shù)，都有,即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0，說明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故選：C【例3】已知函數(shù)若對任意，，且，有成立，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【詳解】因?yàn)槌闪?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞減，由題意，得,所以．故選:D．【例4】已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．[4，0) B．[4，2] C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得，即故選：B【例5】已知函數(shù)（）是區(qū)間上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A．{1} B． C． D．【答案】D【詳解】∵（）是區(qū)間上的增函數(shù)，∴，∴．故選：D．【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)，若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]【答案】D【詳解】因?yàn)閷θ我?，都有成立，所以是減函數(shù)，則，解得．故選：D．2.已知為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故，解得.故選：.4.已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對任意的實(shí)數(shù)，都有,即成立，可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0，說明函數(shù)是減函數(shù)；可得：，解得，故選：C5.已知函數(shù)，對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________．【答案】【詳解】因?yàn)閷τ谌我鈨蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有，不妨設(shè)，則，故，即，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以的圖像是由的圖像，將軸下方的部分沿軸往上翻折，同時(shí)保留軸上方的部分而得，如圖所示：因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以；且在處，，解得；綜上，.故答案為：.6.已知函數(shù)則“”是“在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若在上單調(diào)遞減，則，解得.所以“”是“在上單調(diào)遞減”的必要而不充分條件.故選：B題型八：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減）解題思路：形如的復(fù)合函數(shù)，要看成外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，利用同增異減【精選例題】【例1】函數(shù)的增區(qū)間為【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，解得設(shè)，對稱軸，所以函數(shù)的增區(qū)間為【例2】已知函數(shù)對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】D【詳解】由函數(shù)對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有不等式成立，得在上單調(diào)遞增，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，必有，解得【例3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.B.C.D.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋獾迷O(shè)，對稱軸，開口向下，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是為【例4】已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間（

）單調(diào)遞增.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域，所以函數(shù)的定義域?yàn)?令，所以為增函數(shù)，為減函數(shù)，又在為增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間.故選：D【例5】（多選題）若函數(shù)均是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，則下列函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】函數(shù)均是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，所以不是常數(shù)函數(shù)，設(shè)，則，對于A，設(shè)則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確；對于B，函數(shù)均是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，但是不是單調(diào)增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則因?yàn)?，所以，，即是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，故C正確；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)均是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，故D正確.故選：ACD.【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【詳解】由題意可得，即，解得：，所以函數(shù)的定義域是，是由和復(fù)合而成，因?yàn)閷ΨQ軸為，開口向下，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.2.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C．和 D．【答案】C【詳解】由可得且，因?yàn)殚_口向下，其對稱軸為，所以的減區(qū)間為和所以的單調(diào)增區(qū)間為和故選：C3.函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，解得設(shè)，對稱軸，開口向下，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是為4.已知在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且，則下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)的是______（填序號(hào)）．①（為常數(shù)）；②（為常數(shù)）；③；④．【答案】②③【詳解】在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且，在定義域內(nèi)也是減函數(shù)，①不符合題意；函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，②符合題意；令，函數(shù)在上為減函數(shù)，故在定義域內(nèi)為增函數(shù)，③符合題意；令，則在上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知是減函數(shù)，④不符合題意．故答案為：②③.題型九：抽象函數(shù)單調(diào)性解不等式解題思路：①分邊，寫成或者的形式②利用單調(diào)性求解【精選例題】【例1】若函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且所以，即解得【例2】已知是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則的取值范圍為______.【答案】【詳解】由題意，得解得①.因?yàn)槭嵌x在區(qū)間上的增函數(shù)，且，所以，解得②.由①②得.所以滿足題設(shè)條件的的取值范圍為.故答案為：【例3】設(shè)是定義在上的單調(diào)增函數(shù)，且對定義域內(nèi)任意，都有，且，則使不等式成立的的取值范圍是______．【答案】【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的單調(diào)增函數(shù)，且，所以，且．又，所以，因此，即，所以．故答案為：．【例4】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0,4x－x2，x＜0))，若f(2－a2)＞f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：函數(shù)，由函數(shù)解析式可知，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，因f(2－a2)＞f(a)，得，即，解得【例5】設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且不等式