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[修改版]由一道解析幾何題談學生的思維發(fā)散（完整版）(文檔可以直接使用，也可根據(jù)實際需要修改使用,可編輯歡迎下載）由一道解析幾何題談學生的思維發(fā)散洪江市黔陽一中賀玖平解析幾何顧名思義是由解析（代數(shù)）和幾何兩個部分組成，它的實質(zhì)就是把抽象的數(shù)和具體的形整合在一起，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。幾何問題比較直觀，代數(shù)問題比較抽象，抽象的代數(shù)問題一旦與幾何圖形結(jié)合就往往使問題簡便，易猜測結(jié)果。而且一些純代數(shù)問題結(jié)合圖形來解，顯得特別容易，“腦中有圖象，直觀又形象”。這樣在解解析幾何題目時，我們可以從代數(shù)和幾何兩個角度去思考問題。在學習和教學中培養(yǎng)發(fā)散性思維,有助于開拓人的視野,從而激發(fā)創(chuàng)新能力。多視角對同一個解析幾何問題進行分析和解決,對類似問題的解決富有啟發(fā)性。高中數(shù)學由于語言表達抽象，邏輯嚴密，思維嚴謹，知識的連貫性和系統(tǒng)性強，致使數(shù)學這門學科成為學習的瓶頸，究其原因主要是因為這些學生沒有掌握好常用的數(shù)學思想和數(shù)學。方法下面我以一道例題的解法談談我在教學中對數(shù)學思想和方法的具體運用。xyAOxyAOBCM解：方法一：（參數(shù)法）設過點A的直線交圓O于B，C，當弦垂直于x軸時，易知M點即為A點（1，0）當弦垂直于y軸時，易知M點即為O點（0，0）當弦BC不垂直于坐標軸時，設M點的坐標為設直線AB的方程為y=k(x-1)設BC。聯(lián)立圓0：消去y得：由韋達定理可得：又因為M是弦BC的中點，由中點公式可得：消去參數(shù)k可得到：即經(jīng)檢驗當M點位于A點和O點時也滿足于上述方程。所以所求M點軌跡方程為這種解法的優(yōu)點是思路比較自然，缺點是代數(shù)變換的繁瑣、冗長，需要較強的運算能力。解題過程中，許多學生都是因為不能順利進行代數(shù)變換而導致失敗。所以作為老師，為了使學生把握解析幾何的基本思想，在教學中一定要注意控制代數(shù)變換的難度和技巧。同學們在用這種方法解完題目時終于有一種如釋重負的感覺，因為它的計算量實在是比較大，完成它是一件不容易的事，并因此對它此產(chǎn)生了敬畏之心。似乎就覺得眼前有一座不可逾越的大山，總認為自己力不從心，技不如人，沒有攻克堡壘的能力和信心。我就馬上予以引導：解這道題還有沒有其他的思路和方法？把注意力集中到直線OM與直線AM的斜率的關系上，看當M運動時會不會影響這種關系？方法二：代數(shù)法設過點A的直線交圓O于B，C，當弦垂直于x軸時，易知M點即為A點（1，0）當弦垂直于y軸時，易知M點即為O點（0，0）當弦BC不垂直于坐標軸時，設M點的坐標為由題意可知：xyAOBCxyAOBCM即即經(jīng)檢驗當M點位于A點和O點時也滿足于上述方程。所以所求M點軌跡方程為方法一是從整體來思考中點M的軌跡，方法二是由整體轉(zhuǎn)化到局部，揪住直線OM與直線AM的斜率之間的內(nèi)在聯(lián)系，形中覓數(shù)，體現(xiàn)了解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想。但需要敏銳的觀察力，不少學生一旦思維受阻，破題無門，就會煩躁不安，心慌意亂，做為老師要善于發(fā)現(xiàn)，并予以引導。學生做到這里已經(jīng)有了驚嘆和喜悅，與方法一對比起來，原來它是可以這么容易的，與前面沉重的心情相比，現(xiàn)在是輕松而舒暢的，覺得自己有無限的熱情和巨大的干勁。也初步激發(fā)了學生探究數(shù)學的興趣。正在同學們高興和感嘆的時候，我又說：請同學們仔細觀察不論M怎樣運動△OAM都是什么三角形？有了前面的經(jīng)驗，學生能夠馬上回答出是直角三角形。我又問：直角三角形有什么樣的性質(zhì)？在本題中又如何表示？方法三：（幾何法）設過點A的直線交圓O于B，C，當弦垂直于x軸時，易知M點即為A點（1，0）當弦垂直于y軸時，易知M點即為O點（0，0）當弦BC不垂直于坐標軸時，設M點的坐標為xyxyAOBCM直線OM垂直直線BC，所以△ABC是直角三角形，所以就有：即即即經(jīng)檢驗當M點位于A點和O點時也滿足于上述方程。所以所求M點軌跡方程為題目做到這里，很多學生正在下面懊悔的反問自己：為什么我當時沒有想到？這句話表明了很多同學認為自己是可以想到這個突破口的。真是山重水復疑無路，柳暗花明又一村。從方法二到方法三是由代數(shù)法向幾何法的轉(zhuǎn)變，而學生的心理則是從興趣的激發(fā)到信心的建立！方法三與方法二相比較，方法三更加簡潔直白，可以直接得出M的軌跡方程，如水到渠成，一切都是那么的自然。體現(xiàn)了幾何法的優(yōu)勢，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。也從數(shù)中構(gòu)形和形中覓數(shù)中嘗到了甜頭。至此學生心理已經(jīng)是豁然開朗：開始相互討論，還有沒有其他的解題方法？漸漸的就發(fā)現(xiàn)，不管M如何運動，∠OMA始終是直角，而點O和點A是定點，那么動點M的軌跡會是什么呢？聯(lián)系圓的定義，可知M在以AO為直徑的圓上運動，從而得出方程。方法四：（定義法）設過點A的直線交圓O于B，C，當弦垂直于x軸時，易知M點即為A點（1，0）當弦垂直于y軸時，易知M點即為O點（0，0）xyAxyAOBCM如圖，由垂徑定理可知：直線OM垂直直線BC，所以動角始終是直角，聯(lián)系定義：直徑所對的圓周角是直角可知：M在以OA為直徑的圓周上運動，可以直接寫出M的軌跡方程：經(jīng)檢驗當M點位于A點和O點時也滿足于上述方程。所以所求M點軌跡方程為通過一題多解，學生的思維如泉涌動，特別是這四種方法，一種比一種優(yōu)越，一種比一種簡潔明了，一種比一種直觀形象。解這樣的題目學生已經(jīng)不再覺得是在做作業(yè)了，而是覺得這是一種精神需要和心理需求，學生學習數(shù)學的興趣已經(jīng)充分調(diào)動，學生學好數(shù)學的信心已經(jīng)完全建立，學生的思維已經(jīng)得到全面發(fā)散。通過一題多解，我覺得在解析幾何部分，要強調(diào)“先行組織者”的使用。認知心理學認為，“先行組織者”有助于學生形成有意義學習的心向，能夠為學生的學習建立一個“導游圖”，避免學習的盲目性，同時也為新舊知識間搭建了一座橋梁。解析幾何具有“方法論”的學科特征，在解決具體問題之前明確其結(jié)構(gòu)、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強項”。所以，在解題時，我們賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重從代數(shù)和幾何多角度思路的引導。實際上，這既是解析幾何思想的教學，又是一種思維策略的教學。解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但教學中要注意代數(shù)與幾何的相互為用。實際上，首先應該明確面臨的幾何問題是什么，然后才能用代數(shù)方法研究之。所以，教學中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán)。實際上就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關系。如果過多地把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達到細致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì)。所以，教學中適當?shù)剡M行“代數(shù)關系的幾何意義”的訓練也是很有必要的。比如以下兩作業(yè)。1如果實數(shù)x,y滿足，則的最大值為（）BCD2.已知x,y滿足，求y-3x的最大值和最小值。學生在第一題中可以發(fā)現(xiàn)：等式有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓。圓心為（2，0），半徑（如圖）而則表示圓上的點（x,y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率，如此以來，該問題就可轉(zhuǎn)化為如下問題：動點A在以（2，0）為圓心，以為直徑的圓上運動，求直線OA的斜率的最大值，由圖可知，最大值為tan=而第二題：對于二元函數(shù)y-3x在限定條件下求最值問題，常用構(gòu)造直線的截距的方法來求，令y-3x=b則y=3x+b,則b表示直線在y軸上的截距最大或最小。由圖形可知，當直線