僅供學(xué)習(xí)參考僅供學(xué)習(xí)參考又因?yàn)榉e分得又因?yàn)榉e分得又由對(duì)稱性由綜上所述有dv1/一一、pu〃 、—二——(o-uo)二一 (l—x)dyy EyxE第一章彈性力學(xué)根底〔習(xí)題解答〕1-1上端懸掛、下端自由的等厚度薄板，其厚度為1,容重為P。試求在自重作用下的位移分量表達(dá)式。解：如圖1-1建立坐標(biāo)系.利用。沿y方向均勻分布及x方向的力平衡條件Zx=0可得，xo=p(l—x)

xla=0yT=0xyTOC\o"1-5"\h\zsu 1/ 、p、—=一(o—uo)= (l—x)sx ExyEu=p(lx—1X2)+f(y)

E2 1puv=— (l—x)y+f(x)E2dudv 1TxF+菽=°nf/> 2Epuwp1 1u= (lx——x2)———puy2E2 2E_ pun 、v=一(l一x)yE〔方法二：只分析出o，再求應(yīng)力函數(shù)，然后求其他。〕x1-2寫(xiě)出圖1-2所示平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件。解：上外表為力邊界，X=0,y=— q,l=0,m=1。代入llo+m=X

x xyIt +mo =Yxy y中得到上外表的邊界條件為下外表為自由邊，o=0；oxy邊界條件為l—x~TT=0

xyo=0；

yT側(cè)面為位移邊界。xyA1-3矩形板厚為1。試用應(yīng)力函數(shù)中=Axy2求解。［并畫(huà)出面力分布圖〕A解：應(yīng)力函數(shù)中=-xy2滿足應(yīng)力函數(shù)表示的變形協(xié)調(diào)方程，可以作為解。在無(wú)體力的情況下，矩形板的應(yīng)力為=Axd.x2TOC\o"1-5"\h\z一e州 ,T=- 二-Ayxyexey根據(jù)應(yīng)力邊界條件公式lo+mT=X

x xyIt+mo=Y

xy y各邊的應(yīng)力邊界為「一 AX=-Ay=-Ahad邊：l=0,m=1 \ 2^Y=0「一 AX=Ay=—hcb邊：l=0,m=-1\ 2^Y=0r X=0ab邊：l=-1,m=0<_〔Y=AyTOC\o"1-5"\h\zL， 1X=Ax=Alcd邊：l=1,m=0 <_[Y=-Ay根據(jù)以上各邊的應(yīng)力邊界條件可畫(huà)出矩形板的面力分布圖如圖 1-3a。1-4如圖1-4設(shè)三角形懸臂梁只受重力作用，梁容重為p。試用完全三次多項(xiàng)式的應(yīng)力函數(shù)求解其應(yīng)力分量。解：設(shè)完全三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)為中二Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3 ⑴顯然應(yīng)力函數(shù)滿足變形協(xié)調(diào)方程V4”0那么應(yīng)力分量：o二處-Xx=2Cx+6Dy ⑵xey2e沖o= Yy=6Ax+2By-py 〔3〕yex2

xy d.xxy d.xdy=—2Bx—2Cy利用邊界條件來(lái)確定應(yīng)力函數(shù)中的系數(shù)根據(jù)上外表的邊界條件，當(dāng)y=0時(shí)9) =0,(T) =0yy=0 xyy=0代入〔3〕、⑷得A=0；B=0根據(jù)斜邊的邊界條件，當(dāng)y=x-tana時(shí)，面力反=Y=0，即1g+m=X=0<xxy_ 〔5〕1t+mG=Y=0Ixyy其中：l=cos(N,x)=cos(90°+a)=—sinam=cos(N,y)=cosa代入〔5〕得—sina(2Cx+6Dxtana)+cosa(—2Cxtana)=0 〔6〕cosa(—pxtana)—sina(—2Cxtana)=0 〔7〕聯(lián)立〔6〕、〔7〕得到「P.一

C=—"ctana2pD=——?ctan2a3將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式中，得到應(yīng)力各分量為g=px?ctana—2py-ctan2axG=—pyyT=—py-ctanaxy1-5對(duì)圖1-5所示簡(jiǎn)支梁，試驗(yàn)證應(yīng)力函數(shù)①=Ax3戶+Bxy5+Cx3y+Dxy3+Ex3+Fxy成立，并求解各系數(shù)和應(yīng)力分量。解：由中=Ax3y3+Bxy5+Cx3y+Dxy3+Ex3+Fxy可知:(1)V4中=-24+a二0n3A+5B=0(1)dx4 dx2dy2 dy4應(yīng)力分量:d24Sy2d2中Sx2=6Ax3y+20Bxy3+6Dxy=6Axy3+6Cxy+6Ex(*)(2)(2)Txy'4=—9Ax2y2—5By4—3Cx2—3Dy2—TxySxSy利用邊界條件來(lái)確定待定系數(shù)上外表TOC\o"1-5"\h\z八9,, 52 … 3?一t=0=——Ah2x2——Bh4—3Cx2——Dh2—Fxy4 16 49， c八-h2A+3C=04(4)5,- 3,一一八(4)[16—h4B+-h2D+F=[16下外表(5)(5)… 3， …=0n--h3A—3hC+6E=04彎矩:M\x=1h一=(J2°ydy)hx2=0n212A+h2B+2D=0(6)聯(lián)立〔1〕〔6〕可解得A=-qo-；B=--qo3lh35lh3qql―0———0-10lh3h3E——0;；F—12lq_-qh

4h80l代入〔*〕式可得各應(yīng)力分量2qxy——2——lh3qx( 、a、 -3h2y-h3；2lh3Txy二(h2-4y213x2-y2-12+生

4lh3 i Txy1-6圖1-6所示懸臂梁受自重作用,試用應(yīng)力函數(shù)①=Ax2y+Bx2y3+Cy3+Dy5求解。并將所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)的結(jié)果進(jìn)行比擬。解：應(yīng)力函數(shù)必須滿足變形協(xié)調(diào)條件，滿足V4中=0即-24+“0d.x4 d.x281y2dy4將應(yīng)力函數(shù)代入上式，得B+5D=0 ⑴應(yīng)力分量82Qo= =6Bx2y+6Cy+20Dy3x8y2o= Yy=2Ay+2By3-pyy8x2t=- =_2Ax—6Bxy2xy 8x8y利用邊界條件確定待定系數(shù).h,當(dāng)y=+—時(shí)，2

得到?)Xy-0,hy-±2-0,hy得到?)Xy-0,hy-±2-0,hy-±232A+-Bh2=02A+-Bh2=P〔2〕〔3〕聯(lián)立方程〔1〕、〔2〕、〔3〕可解得A-P4B-—h2在待定系數(shù)中，C還沒(méi)有求出?，F(xiàn)根據(jù)X=0截面上的條件來(lái)求C值；因?yàn)?o)牛0，應(yīng)用圣維南原理得XX-0hxx-02因?yàn)楸环e函數(shù)是y的奇次函數(shù)，積分必恒等于零，此積分等式一定成立。此外，尚需滿足12(°)ydy-0hxx-0(6Cy+20Dy3)ydy=0得到2Cy3+42Cy3h2C--C--h2D-P

—^10將各個(gè)系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得x2y+-Py1-(1-茅1TXy

材料力學(xué)的解答:設(shè)載荷q=Ph，故在某一截面上的彎矩為剪力為Q=phx由此得。=01假設(shè)纖維間不存在擠壓〕yTxyQS

7TxyQS

7-4-y2

i^h33 (=2Px1-T=T=當(dāng)〔與材料力學(xué)解一致〕xyJb12現(xiàn)將彈性力學(xué)的解答化為以下形式以便于材料力學(xué)解答進(jìn)行比擬:°=My+°y一號(hào)l1-興卜與材料力學(xué)解不同〕Py°y一號(hào)l1-興卜與材料力學(xué)解不同〕xJ5I3h2J1-7用圖1-7所示45。應(yīng)變花測(cè)得s=500x10-6，￡=800x10-6，x ys=300x10-6試求：

〔1〕y；xy〔2〕81和82，及主方向。解：〔1〕根據(jù)材料力學(xué)公式8+8+8 8-8—X y+—X yy

cos2a- sin2a2將a將a=45。， 8,8,8的值帶入上式。xy45?？傻脃=e+y=e+￡-2e=700x10-6沖〔2〕主應(yīng)變的計(jì)算公式xy45?？傻?1f可得81f8l2J(8—8—X 8=8=1030x10-6,18=270x10-62利用公式tan20=y利用公式tan20=y xy—8-8Xy那么—arctan一得至1「1-8如圖1-8,應(yīng)力存在的可能性。0=一56.6。，1-8如圖1-8,應(yīng)力存在的可能性。0=一56.6。，1平面圓環(huán)的應(yīng)力為o并說(shuō)明其邊界條件。0=33.4。2=0,o0=0,T試檢查這組〔體力不計(jì)〕解：方法〔一〕因?yàn)閛=因?yàn)閛=0,o=0,TA1 . ，由o2兀r2 0處=0積分得:3r2, 1即1324由o- + rr3r r2302

f(0)+f"(0)=0【f2'(0)=0a1a① 1a1由T=一一( )=—f1(0)= r0 arra0 r22 2兀r2A于是可得f(0)=(asin0+bcos0)；f(0)=——0+cA-即①=(asin0+bcos0)r+——0+c；(a,b,c為任意常數(shù))2兀將中代入變形協(xié)調(diào)方程檢驗(yàn)可知中滿足變形協(xié)調(diào)條件。因此為O因此為O=0,0=0,TA1A-可以存在。邊界條件為：r=邊界條件為：r=a時(shí),。r=0，。。=0，Tr0r=b時(shí)，o=0,o=0,t

r02兀a2A11-8題方法〔二〕=0,o0=0,T1-8題方法〔二〕=0,o0=0,TA1A-代入平衡方程2兀r2'ao r-

ar1ao15t o-o+ -0-+——r ra0 r5t 2t0-+K=0r 0-+——rQ-+、ra0 ar中檢驗(yàn)中檢驗(yàn)成立；由物理方程可得，將8=成立；由物理方程可得，將8=—(o-uo)=0,8=—(orEr0 0E0代入變形協(xié)調(diào)方程一uo)=0,yr r02(1+u)

EA(1一u)1兀E r2"22a、 /"22a、 /(——+——)8+(ar2rar0r2502rar八)yara0r0中檢驗(yàn)，顯然成立，因此這組應(yīng)力可以存在。A1邊界條件為：r=a時(shí)，o=0,o=0,t= r0 r02兀a2A1r=b時(shí)，o=0,o=0,t= r0 r02兀b2右邊=(―ra2ao1a2 )(rarao1auraor+■1au―o--aru-j)r_1r3a2u赤十1r2a2u、oaoar1r3au―oao1ra 1a2u 1 c.rar rao2a2u+ or-araoau--o-]rao_1a2u赤十1a2u o-1au-o1a2u 1 77r+ ao2 r2a3u——K——1十a(chǎn)o2ar1a3u1 +——rar2aor3au1―o-r3r2aoarr3aor3aor2+0rar2aor2arao2r1a3u1a3u+2a2u o-aoar 9-ar2ao1-9試證明在極坐標(biāo)中變形協(xié)調(diào)方程為)8raror2aoa0)yaraoro證明：因?yàn)?au—o-；yao；1-9試證明在極坐標(biāo)中變形協(xié)調(diào)方程為)8raror2aoa0)yaraoro證明：因?yàn)?au—o-；yao；1au= -r+—o---o-

rao ar左邊=()(u1X)+(

aoao2u2aurar2r2ar o

r3ao 八o+r2aoar o-

ar2ao2u2au2au—o-+ao-八o+aoar rarao1a3u rarao1-10內(nèi)半徑為a、外半徑為b的厚壁圓筒。受壓力P作用。試求內(nèi)半徑和外半徑的尺寸變化以及筒壁厚度尺寸變化。解：參照課本35頁(yè)”承受均布?jí)毫Φ暮癖趫A筒〃的求解

1一U2rAz4u u、r——[—(1+--)+2Cr(1--一)]TOC\o"1-5"\h\zEr1-u 1-ua2b2(q-q) a2b2PA= b a—=- ab2-a2b2-a2a2q－b2q a2P2C- -a b- a-b2-a2 b2-a2那么可得那么可得1-u2rab2Pu、,a3PuTOC\o"1-5"\h\zA=u= [ a—(1+ )+ a-(1— )]arr=a E b2—a2 1—ub2—a2 1—uP(1—u2)ab2+a2u、=_ ( + )Eb2—a21—u1—u2ra2bP u、 a2bP八u、、A—u [ a-(1+ )+ a-(1— )]brr—b E b2—a2 1—u b2—a2 1—uP(1—u2)2a2bP――a a-Eb2—a2A—A—AtbaP(1—u2)ab—A—A—Atba-a ( + )Eb+a1—u1-11試確定壓配合兩圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力。a=10cm,b=15cm,c=20cm，在配合前內(nèi)圓環(huán)外半徑與外圓環(huán)內(nèi)半徑相差5=0.127mm。解：內(nèi)圓環(huán)僅受外壓力，設(shè)外壓力為q解：內(nèi)圓環(huán)僅受外壓力，設(shè)外壓力為q,根據(jù)公式內(nèi)圓環(huán)的應(yīng)力及位移為b2qb2—a2rb2qb2—a2r2Jb2qb2—a2=0r0〔1〕b2qEr(b2—a2)[(r2+a2)+R(a2—r2)],u=0e〔2〕外圓環(huán)僅受內(nèi)壓力，根據(jù)公式外圓環(huán)的應(yīng)力及位移為b2qc2—b2b2qc2—b2b2qEr(c2—b2)b2qc2—b2=0r0[(r2+c2)+R(c2—r2)],u=0e〔3〕〔4〕接觸壓力使內(nèi)圓環(huán)半徑減少了5，而使外圓環(huán)半徑增大了接觸壓力使內(nèi)圓環(huán)半徑減少了5，而使外圓環(huán)半徑增大了5，12根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件有〔〔5〕將r-b分別代入〔2〕、〔4〕得到P,P12b2qb2qEb(b2一a2)[b2+a2+從(a2—b2)]b2q [b2+c2+從(c2-b2)]Eb(c2-b2)將P,P代入〔5〕得到12EP(b2-a2)(c2-b2)

q- b 2b2(c2-a2)取E=2.1x106kg/cm2，得2.1x106x0.0127(152-102)(202-152)q- 288kg/cm215x2x152(202-102)因此內(nèi)圓環(huán)內(nèi)外表的切向正應(yīng)力為巴)0r巴)0r-a2qb2 2x288x152152-102--1040kg/cm2(O,0r(O,0r-c2qb2C2-b22x288x152 740kg/cm2202-1521-12如圖1-12,矩形薄板受純剪，剪力集度為q,在板中心處有一小圓孔，試求孔邊的最大正應(yīng)力的值和位置。試求孔邊的最大正應(yīng)力的值和位置。解：在純剪切的矩形板中，與邊界成45。方向的切面矩形板的邊界上受有集度為q的拉力或壓力，如圖1-12a集度為q的拉力或壓力，如圖1-12a所示。q圖IT知q圖IT2b以X為起始軸取新的坐標(biāo)如圖1-12b所示。設(shè)小圓孔的半徑為a，并以半徑1b(b>>a)作一個(gè)同心圓，在圓周上任一點(diǎn)處，其應(yīng)力狀態(tài)與板內(nèi)無(wú)孔時(shí)相同：TOC\o"1-5"\h\zo=q,o=_q,t=0

x y xy按照應(yīng)力從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式，可得到孔邊的應(yīng)力邊界條件(o)=qcos20,(t) =一qsin20 〔1〕rr=b r0r=b(o) =0,(t) =0