廣義行列式及其應用

譚宜家（福州大學）廈門，集美，2013.11福建省《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》課程建設第十五次研討會

廣義行列式及其應用

譚宜家廈門，集美，2013.11福1一、引言對于數(shù)域上一個給定的n階方陣，

的行列式是

其中是集合中所有置換組成的集合。表示置換的逆序數(shù)。矩陣的行列式在線性代數(shù)中起著重要的作用，它有很多有趣的性質(zhì)。

一、引言其中是集合中2實際上，行列式、矩陣和線性方程組的解是緊密地聯(lián)系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩陣的逆矩陣的計算公式。Cramer法則是利用行列式解線性方程組。我們說，以上事實對于交換環(huán)上矩陣的行列式都是成立的，不同的是數(shù)域上的一個方陣可逆當且僅當它的行列式不等于0，而交換環(huán)上矩陣可逆當且僅當它的行列式在環(huán)中可逆（參看[10]）。實際上，行列式、矩陣和線性方程組的解是緊密地聯(lián)系在一起3矩陣的積和式類似于矩陣的行列式。對于數(shù)域上一個給定的n階矩陣，的積和式是

其中是集合中所有置換組成的集合。由于矩陣積和式不涉及到負號，所以矩陣積和式在一般交換半環(huán)上也可以定義。

矩陣的積和式類似于矩陣的行列式。對于數(shù)域上一個給定的4矩陣積和式的概念首先由Binet[1]和Cauchy[3]引入。自那以后，出版了大量關于積和式理論的研究工作。1978年,H.Minc[11]給出了關于積和式理論和應用的一些論述。自1980年以來，許多數(shù)學工作者研究了一些特殊半環(huán)上矩陣的積和式(例如，參看[5,7,8,9,13,16,18]).這些特殊半環(huán)包括了模糊代數(shù)，分配格和坡代數(shù)。矩陣積和式的概念首先由Binet[1]和5由上述可以看出，矩陣的行列式只能在交換環(huán)上定義，而積和式可以在一般交換半環(huán)上定義。那么，是否有一個方法可以將行列式與積和式統(tǒng)一起來呢？本文將引入一般交換半環(huán)上矩陣的行列式（或稱廣義行列式），并討論它的一些基本性質(zhì)。同時利用行列式給出半環(huán)上矩陣的可逆條件，并在半環(huán)上建立Cramer法則．所得的主要結論推廣了交換環(huán)上矩陣的行列式[10]（特別是數(shù)域上矩陣的行列式），模糊矩陣的積和式[9,13],格矩陣的積和式[18]以及坡矩陣的積和式[8]中相應的結果。由上述可以看出，矩陣的行列式只能在交換環(huán)上定義，而積和式6二、基本概念與記號

定義1[6].一個代數(shù)系統(tǒng)稱為一個半環(huán)。如果是一個交換幺半群（其恒等元為0），是另一個幺半群（其恒等元為1）；同時,均有,并且.

設是一個半環(huán)。稱為交換的，如果,均有；

二、基本概念與記號設是一個半環(huán)。7稱為一個零和自由半環(huán)[6]，如果,由可推出.零和自由半環(huán)又稱為反環(huán)[14，17]。

一個半環(huán)稱為加法冪,均有任何加法冪等半環(huán)是零和自由半環(huán)。等的[6]，如果。顯然，

半環(huán)的例子是相當豐富的。例如，任何帶有單位元的環(huán)都是半環(huán)，它不是零和自由的。特別地，我們所熟知的整數(shù)環(huán)，有理數(shù)域，實數(shù)域與復數(shù)域都是半環(huán)（實際上，它們都是特殊的環(huán)）。

稱為一個零和自由半環(huán)[6]，如果8又如，每一個布爾代數(shù)，模糊代數(shù)，每一個有界分配格以及任何坡代數(shù)都是半環(huán)[2]（實際上，它們均為加法冪等半環(huán)，但它們不是環(huán)）。再如，max-plus代數(shù)和min-plus代數(shù)都是交換半環(huán)，它們均為加法冪等半環(huán)[4,19]，但它們不是環(huán)。另外，所有非負實數(shù)組成之集對于普通的加法與乘法構成一個半環(huán)稱為非負實數(shù)半環(huán)。顯然，非負實數(shù)半環(huán)既不是加法冪等半環(huán)也不是環(huán)。

又如，每一個布爾代數(shù)，模糊代9設是一個半環(huán)，。稱為加法可逆的，如果存在，使得，稱為的負元。加法可逆元構成的集合。設表示半環(huán)中所有僅當是零和自由半環(huán)，而當且僅當是一個環(huán)。顯然，當且設是一個交換半環(huán)，表示上所有矩陣組成之集。

對于任意用表示中處的元素，

并記

的

設是一個半環(huán)，。10轉(zhuǎn)置為.

設，.定義設是一個交換半環(huán)，，表示中所有偶置換構成的集合，表示中所有奇置換構成的集合。

定義的正行列式和負行列式如下轉(zhuǎn)置為.設，.定義設是一個交換半環(huán)，，表11顯然。

當是一個交換環(huán)時，

設是一個半環(huán)，上的一個映射稱為上的一個-函數(shù)如果對于任意

均有

顯然

顯然。當是12注1：任何半環(huán)至少有一個-函數(shù)，因為上的恒等映射：是上的一個-函數(shù)。如果是一個交換環(huán)，那么映射：是上的一個-函數(shù)。定義2.設是一個交換半環(huán)，是一個-函數(shù)，。

上的定義的-行列式如下其中是集合中所有置換組成的集合，

表示置換的逆序數(shù)。

注1：任何半環(huán)至少有一個-函數(shù)，因為13定義為

是正整數(shù)。

因為，所以注2：如果是一個交換環(huán)，那么映射：是上的一個-函數(shù)。此時注3：對于任何交換半環(huán)

，恒等映射：是R上的一個-函數(shù)。此時定義為是正整數(shù)。因為，所以注2：如果是一個交14三、基本結論

1.定理1：對于任何，我們有(1)如果矩陣B是由A的某一行（或一列）乘以中的一個元素而得到，那么

(2)如果A的第i行（或第i列）是矩陣B的第i行（或第i列）與矩陣C的第i行（或第i列）的和，而它們其他的行（或列）都相同，那么三、基本結論(2)如果A的第i行（或第i列）是矩陣B的第15(3)(4)如果矩陣B是由A交換兩行（或兩列）而得到，那么(5)如果A的某兩行（或兩列）相同，那么(6)如果矩陣B是由A的第i行乘以一個元素加到A的第j行而得到，那么中的其中表示由A的第i行代替A的第j行而得到的矩陣。(3)(6)如果矩陣B是由A的第i行乘以一個元素加到162.定理2：設，那么對于任何

這里表示A中劃去第i行第j行所得到的階矩陣。3.定理3：對于任何，存在使得2.定理2：設，那么對于任何174.定理4：設是一個交換半環(huán)，是上的一個-函數(shù)，,那么對于任何當且僅當交換環(huán)并且對于任何

是一個均有

設是一個交換半環(huán)，是上的一個-函數(shù)，

定義的-伴隨矩陣如下4.定理4：設是一個交換半環(huán)，是上的185.定理5：對于任何，我們有（1）（2）6.定理6:對于任何，存在，使得這里如果是一個交換環(huán)，那么映射：是上的一個-函數(shù)。此時由定理6,我們有

5.定理5：對于任何19推論1：如果是一個交換環(huán)，那么對于任何,均有7.定理7：對于任何，我們有（1）

其中表示由A的第i列代替A的第j列而得到的矩陣。（2）存在，使得推論1：如果是一個交換環(huán)，那么對于任何20由定理7，我們有

推論2：如果是一個交換環(huán)，那么對于任何，均有（1）（2）由定理7，我們有21四、兩個應用

1.交換半環(huán)上可逆矩陣的一個等價刻畫。設是一個半環(huán)，。稱為可逆的，果存在，使得。稱為的逆元，記為

設，稱為可逆的，如果存在，使得。稱為的逆矩陣，記為。

四、兩個應用1.交換半環(huán)上可逆矩陣的一個等價刻畫。設22

定理8：設是一個交換半環(huán)，是上的一個-函數(shù)滿足對于任意，均有，那么，對于任何（1）可逆當且僅當在中可逆并且對于任何，均有在中加法可逆。（2）可逆當且僅當在中可逆并且對于任何，均有在中加法可逆。如果可逆，那么定理8：設是一個交換半環(huán)，是23由定理8，我們有推論3：如果是一個交換環(huán)，那么對于任何，可逆當且僅當在中可逆,特別地,當是一個域(數(shù)域)時,可逆當且僅當。如果可逆，那么由定理8，我們有242.交換半環(huán)上的Cramer法則

定理9：設是一個交換半環(huán)，是上的一個-函數(shù)滿足對于任意，均有，，是上的維列向量。如果可逆，那么矩陣方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩陣。2.交換半環(huán)上的Cramer法則定理9：設是一25由定理9，我們有

推論4：設是一個交換環(huán)，，是上的維列向量。如果可逆，那么矩陣方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩陣。由定理9，我們有26

五、意義與價值1.理論意義：統(tǒng)一了行列式與積和式，方法需要創(chuàng)新。2.應用價值：在許多應用學科領域（例如：并行計算機系統(tǒng)、形式語言理論、最優(yōu)化理論、自動化理論、離散動力系統(tǒng)、流程圖模式分析以及開關電路分析等）涉及到的代數(shù)系統(tǒng)除了環(huán)（或域）之外，還涉及大量的其他類型的半環(huán)，如布爾代數(shù)，模糊代數(shù)，分配格，坡代數(shù)格，max-plus代數(shù)和min-plus代數(shù)以及非負實數(shù)半環(huán)等。五、意義與價值273.教學參考：對于本科生，研究生論文的選題具有一定的參考價值。六、參考文獻[1]J.P.M.Binet,Memoiresurunsystμemedeformulesanalytiques,etleurapplicationμadesconsiderationsgeometriques,J.Ec.Polyt.9(1812)280-302[2]Z.Q.Cao,K.H.Kim,F.W.Roush,InclineAlgebraandApplications,JohnWiley,NewYork,1984

3.教學參考：對于本科生，研究生論文的選題具有一定的參考價值28[3]A.L.Cauchy,Memoiresurlesfonctionsquinepeuventobtenirquedeuxvaleursegalesetdesignescontrairesparsuitedestraspositionsopereesentrelesvariablesqu'ellesrenferment,J.Ec.Polyt.10(1812)29-11220[4]R.A.Cuninghame-Green,Minimaxalgebra,LectureNotesinEconomicsandMathematicalSystems166,Springer-Verlag,Berlin,1979[5]J.S.Duan,Thetransitiveclosure,convergenceofpowersandadjointofgeneralizedfuzzymatrices.FuzzySetsandSystems145(2004)301-311[3]A.L.Cauchy,Memoiresur29[6]J.S.Golan,SemiringsandTheirApplications,KluwerAcademicPublishers,1999[7]S.C.Han,H.X.Li,InvertibleinclinematricesandCramer'sruleoverinclines,LinearAlgebraanditsApplications389(2004)121-138[8]Y.Huang,Y.J.Tan,Aproblemoninclinematrices,J.ofFuzhouUniversity37(2009)12-18(inChinese)[9]J.B.Kim,A.Baartmans,N.S.Sahadin,Determinanttheoryforfuzzymatrices,FuzzySetsandSystems29(1989)349-356.[6]J.S.Golan,Semiringsand30[10]B.R.Mcdonald,LinearAlgebraoverCommutativeRings,MarcelDekker,INC.NewYork,1984.[11]H.Minc,Permanents,Addison-WesleyPublishingCompany,Massachusetts,U.S.A.1978.[12]P.L.Poplin,R.E.Hartwig,Determinantalidentitiesovercommutativesemirings,LinearAlgebraanditsApplications387(2004)99-132[13]M.Z.Ragab,E.G.Emam,Thedeterminantandadjointofasquarefuzzymatrix,FuzzySetsandSystems61(1994)297-307[10]B.R.Mcdonald,LinearAl31[14]Y.J.Tan,Oninvertiblematrices