例如取a=0：1/15例如取a=0：1/15：1，即a取16個(gè)不同的值，求解出對(duì)應(yīng)a值下的解xmin{,J(x),J(x)}12s.t.g<g(x)<g⑴h(x)=0用加權(quán)和法將該2目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化模型變?yōu)椋簃inaJ(x)+(1—a)J(x)12s.t.g<g(x)<g ⑵h(x)二0即權(quán)重值，為得到一系列帕累托前沿上的點(diǎn)，對(duì)a取一系列的值計(jì)算。x*再計(jì)算出解x下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)單目標(biāo)值J](x*)、J2(x*)，以J](x*)為橫坐標(biāo)，J(x*)為縱坐標(biāo)繪制出2維坐標(biāo)圖，圖上的點(diǎn)即加權(quán)和法求解出來(lái)的帕累托前沿2解:圖1圖1權(quán)重和法求解出的帕累托前沿從圖1可以看出，用加權(quán)和法求解出來(lái)的帕累托前沿分布很不均勻，所以需要對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)以得到相對(duì)均勻分布的帕累托前沿解，即自適應(yīng)加權(quán)和法。步驟如下：1、去掉密集分布的點(diǎn)，只留下部分相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)。2、在剩下的點(diǎn)中再繼續(xù)新增加帕累托解，最終得到分布相對(duì)均勻的帕累托前沿。具體方法如下：J<Py2P2PPP1PJ<Py2P2PPP1P4P3實(shí)際帕累托前沿(未知)I新的求解區(qū)域J<Px1圖2自適應(yīng)加權(quán)和法求解帕累托前沿如圖2所示，二、P2、P3、P4為步驟1中剩下的點(diǎn)，在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間新增加取點(diǎn)，以相鄰點(diǎn)P、P2為例，連接點(diǎn)卩］、P2，實(shí)際帕累托前沿在該P(yáng)1和P2連線(xiàn)下方(圖中虛線(xiàn)所示)，取P1和P2連線(xiàn)的中點(diǎn)P，以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)Px和P的縱坐標(biāo)Py為界形成新的求解區(qū)域，即J<Px，J2<Py，在該區(qū)域中求解模型(2)，即minaJ(x)+(1_a)J(x)12s.t. g<g(x)<g< h(x)=0J<Px ⑶1J<Py2取權(quán)重a=1/2；求解模型(3)得到點(diǎn)P*，即新增加的帕累托前沿解，如圖2所示。同樣，可以求得P2和P3及P3和佇中間新增加的帕累托解。以新增加的點(diǎn)和原

來(lái)的點(diǎn)為基礎(chǔ)點(diǎn)，在這些點(diǎn)的相鄰點(diǎn)中間再繼續(xù)求解新的帕累托點(diǎn)。重復(fù)上述步驟，直到相鄰兩點(diǎn)距離小于某一設(shè)定值終止求解，最終得到分布相對(duì)均勻的帕累托前沿。例子：TOC\o"1-5"\h\zr 廠\o"CurrentDocument"J(x)=x2+x2+x2+x2+x2min<1 12345J(x)=3x+2x-x/3+0.01(x-x)2k2 1 2 3 4 5vS.t.x2+x2+x2+x2+x2<101 2 3 4 5x+2x—x—0.5x+x—21 2 3 4 54x—2x+0.8x+0.6x+0.5x2—21 2 3 4 51)用權(quán)重法求解x)2min a(x2+x2+x2+x2+x2)+(1—a)3x+2x—x/3+0.01(xx)2\o"CurrentDocument"1 2 3 4 5 1 2 3 4S.t.x2+x2+x2+x2+x2<10v 1 2 3 4 5x+2x—x—0.5x+x—21 2 3 4 54x—2x+0.8x+0.6x+0.5x2—21 2 3 4 5a依次取0、1/15、2/15、……14/15、1求解出來(lái)的帕累托前沿如圖1所示。去掉分布密集的點(diǎn)，只剩下四個(gè)分布距離比較遠(yuǎn)的點(diǎn)，如圖3所示：024J61求解出來(lái)的帕累托前沿如圖1所示。去掉分布密集的點(diǎn)，只剩下四個(gè)分布距離比較遠(yuǎn)的點(diǎn)，如圖3所示：024J6181012圖3剩余帕累托點(diǎn)以這四個(gè)點(diǎn)為基礎(chǔ)點(diǎn)，用自適應(yīng)加權(quán)和法得到新增加的帕累托點(diǎn)，最終一共得到19個(gè)帕累托點(diǎn)。如圖4所示圖4自適應(yīng)加權(quán)和法求解出的帕累托解相鄰兩點(diǎn)距離如下：

1O.&4912O.&3B43O.523B4O.&1V35O.&O51&0.59-4&70.57&7SO.56&590.87441.-0O.S22711