.WORD.WORD版本.微積分在經(jīng)濟學的應用畢業(yè)論文目錄標題 1中文摘要 1引言 1微積分在經(jīng)濟學的應用 1邊際分析 1彈性分析 3彈性的概念 3需求彈性 3需求彈性與總收入的關(guān)系 4多元函數(shù)偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用 5邊際經(jīng)濟量 5偏彈性 6偏導數(shù)求極值 8積分在經(jīng)濟分析中的應用 9邊際函數(shù)求原函數(shù) 9消費者剩余與生產(chǎn)者剩余 9收益流的現(xiàn)值與未來值 10實際問題探索 12經(jīng)濟批量問題 12凈資產(chǎn)分析 13核廢料的處理 14結(jié)束語 16參考文獻 17致謝 18外文頁 19微積分在經(jīng)濟學的應用武亞南摘要關(guān)鍵詞微積分邊際分析彈性分析實際問題引言（公元263年）總結(jié)了前人的成果，提出了“割圓術(shù)頓（Newton，1642-1727）和德國數(shù)學家萊布尼茨微積分在經(jīng)濟學的應用邊際分析在經(jīng)濟問題中，常常會使用變化率的概念.變化率一般分為平均變化率和即時或瞬時率，平均變化率就是函數(shù)的增量與自變量的增量之比，瞬時變化率就是函數(shù)對自變量的導數(shù)，在經(jīng)濟學中也將瞬時變化率即導函數(shù)稱為邊際函數(shù).一般，稱

y f

xf0

y

在

的平均變化率，它表示函數(shù)x x 0 0yf在x0 0

xyfxx處的導數(shù)0 y

fxff'x lim lim 0 00 x0x x0 xyfxfxxxf在點0 0xx0在經(jīng)濟學中邊際函數(shù)定義如下1yfxffxfx處函數(shù)值0f'x為邊際函數(shù)值.簡稱為邊際.0根據(jù)邊際函數(shù)的定義，可知邊際成本、邊際收入、邊際收益、邊際需求，是成本函數(shù)、收入函數(shù)、需求函數(shù)的導函數(shù).1罐頭廠生產(chǎn)的草莓罐頭每瓶售價5.4（單位：千瓶）Q成本為2400100Q2(元).設(shè)價格不變，求可以獲得利潤的銷售量圍；每周銷售量為多少瓶時，可以獲得最大利潤解 總收益總利潤LQRQCQ100Q21400Q2400100Q2142412當2Q12時，0，即當銷售量在2000瓶至12000 瓶之間可以獲得利令L'Q200Q14000，得Q7L"(Q)2000故Q7時，取得極大值，因極值唯一，即為最大值，所以當銷售量7000 瓶時，可獲得大利.上述結(jié)果表明銷售量為每周7000 瓶時此時獲得最大利潤，當銷售量為每周2000Q7000瓶時，再增加一瓶，利潤將增加，當銷售量為每7000Q12000瓶時，再增加一瓶，利潤將少.由此亦說明并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多利潤越高通過對邊際利潤的分析可以減少工廠投資的盲目性，減少投資損失.彈性分析51200降價1元，結(jié)果，甲商品的需求量變化較大，這是為什么呢？原因是甲降價幅度即相對增量20%比乙降價的幅度0.5%大.為此我們有必要研究一下函數(shù)的相對改變率.彈性的概念

y f

xfx2y

x在點x處可導，函數(shù)的相對改變量 0 y0

0 f0

0 與自變yy量的相對改變量 之比0，稱為函數(shù)

x

到xx

x兩點間的平均相對變化率，x x 0 00x0y或稱兩點間的彈性.當x0時，

y0的極限稱為fx在xx

處的相對變化率，也就是相對導x 0x0數(shù)，或稱彈性.記作即

xxEyExEyEx

,或EEx

fx0EyExxEyEx0

f'x00 fx00fxxx的變化幅度fx

的大小x y影響，根據(jù)彈性函數(shù)公式推導可知，兩點之間的彈性有正負之分.需求彈性在定義2中已介紹過彈性函數(shù)，由此可知需求彈性反映了當商品價格變動時需求變動的強度，由于需求函數(shù)Qf

為遞減函數(shù)，所以f

'

0，從而f

'P0

P0 P0正數(shù)表示需求彈性，因此采用需求函數(shù)相對變化率的相反數(shù)來定義需求彈性.定義3設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q

,P0

P

QP 0 為該商品從PQPP0

到PP0

P

'

Pf0

00'P00 fP0

為該商品在PP0

處的需求彈性.在經(jīng)濟學上，當1時，稱為單位彈性，即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等.當11需求彈性與總收入的關(guān)系在經(jīng)濟學上總收入 RPQPf邊際總收入 R

fPPf

'PfP

Pf

'PfffP1若1數(shù)為遞增函數(shù)，也就是當價格上漲，總收入增加，價格下跌時，總收入減少；若1此時取得最大值；若1時，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，此時邊際總收入小于零，即總收入函數(shù)為遞減函數(shù)，也就是當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.通過分析上述需求彈性與總收入的關(guān)系，可推導出漲價未必增收，降價未必減收，從而能夠在市場經(jīng)濟中為企業(yè)或經(jīng)營者提供有利的條件，為他們的決策提供了有利的分析方法和新思路.2P15，當商品價格處于哪種價格時，廠商可以用適當降價或漲價的辦法提高總收入.解 由P15

，解出

QfP15P25設(shè)需求彈性為

，邊際需求

Q'f'P125由需求彈性定義可知

f'P f P 25 PP25P15P再由需求彈性與總收入的關(guān)系可知P 15當15P1P2，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即當價格上漲時，總收入增加，價格下跌，總收入減少.P 15當15P1P2P 15當15P1P2，需求變動的幅度大于價格變動的幅度，即當價格上漲，總收入減少，價格下跌，總收入增加.

0P15時，通過由上述分析可知，若企業(yè)對該商品進行價格調(diào)整時，參照以上分析法，當 215提升價格來提高總收入，當時P2潤，不會因為盲目的降低價格而使企業(yè)的總收入降低.多元函數(shù)偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用在上述的分析中，我們只是對一元函數(shù)進行了探討，但是在市場經(jīng)濟中，并不是由一種元決定商品的銷售策略，有時由多種元素來決定，這就要我們對其多元函數(shù)來進行分析.邊際經(jīng)濟量設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量Q取決于投資的資本K和勞動力L，一般滿足生產(chǎn)函數(shù)QcKL,其中c,,是正常數(shù)，且01,01由偏導數(shù)的定義可知，

Q Q K表示在勞動力投入保持不變的情況下，資本投入變化時，產(chǎn)量的變化率稱為資本的邊際產(chǎn)量.Q Q cKL表示在資本投入保持不變的情況下，勞動力投入變化時，產(chǎn)量的變化率稱為勞動力的邊際產(chǎn)量.偏彈性由一元函數(shù)的彈性概念可知，f

'x

x0 x

的彈性，由此可以推知在多元函數(shù)中的0 f 00彈性.

Ez

z x

z xx

fx,

，則函數(shù)對x的偏彈性Ex xfy fy，表示若y保持不zfyyEz

y

zy

，表示若x保持不變，yEy fy fy的相對變化率.ABPPA B

Q和QA B

，因此，它們的需求函數(shù)可表示為Q f,P

gP,PA A B⑴需求的自身價格彈性，即

B A BAAEQAEP QAA

EQ PBBBEP QBBBA⑵需求的交叉價格彈性，即EQ

A AP

B B BBEQ PBA A BEP Q

B AEP QB B A⑶兩種商品的相互關(guān)系

A A BEQA0

0時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其一個需求量增EP EPB A

EQ EQ加，另一個需求量減少，此時這兩種商品就是替代商品，當 EPB

0或 EPA

0時，則表示當兩種商品中任意一個價格降低，都將使其需求量Q 和Q 增加，則這兩種商品為互補商品，當A BEQ EQ A 0或 EP EPB A

0時，則稱這兩種商品相互獨立.例3某一種數(shù)碼相機的的銷售量QA

，除了與它自身的價格PA

相關(guān)外，還與彩色噴墨打印機的PB

有關(guān)，具體相關(guān)函數(shù)為

Q 120A

250PA

10PB

P2BPPA

5時QAQA

P的彈性；APB解 （1）QA

P的彈性為AEQ Q PA A AEP P QA A A250P2

PA250A120 10PP2P B BA 250 PPA

5時，

120P 250P 10P P2A A B B EQA 250 1 EP 12050250505025 10A（2）Q PA

的交叉彈性為ABEQAQ EP P QABB B A102PB

PB12025010P

P2PPA

5時，EQ

P B BA5A20 2EP 12055025B偏導數(shù)求極值假設(shè)某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品有許多種，那么如何進行生產(chǎn)，才能使公司獲得最大利潤以及成本最低，這就需要用到偏導數(shù)求極值與最值.

例4x單位104m

，電力y單位：kW的總成本函數(shù)為

Cx,y1x2

3y

7xy134x12y2502 4xyy4x36，試求煤氣和電力的銷售量各為多少時，總成本最低？解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

Fy,yy4x361 x23y27xy134x12y2504x361解方程組

2 4Fx7y13440 ①xF3y7x120 ②y 2由①②可知

Fy4x360 ③再由③④可知 29x13y860 ④x4.72,y17.12依題意Cx,y4.72104m311kW可使總成本最低，且最低成本為C4.72,17.12753.2.積分在經(jīng)濟分析中的應用邊際函數(shù)求原函數(shù)積分是微分的逆運算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出原函數(shù).設(shè)某個經(jīng)濟應用函數(shù)x的邊際函數(shù)為'x，則有x'xdxx00則消費者剩余與生產(chǎn)者剩余

x0x'xdx0.WORD.WORD版本.在經(jīng)濟管理中，一般來說，商品的價格越低，需求量越大；反之，商品的價格越高，需求量就QfP此供給函數(shù)QgPP的單調(diào)遞增函數(shù).由于Qf和QgP兩者都是單調(diào)函數(shù)，故兩者都存在反函數(shù)，需求函數(shù)QfPf1也是需求函數(shù)，供給函數(shù)QgPPg1稱為平衡點，在此點表示生產(chǎn)需求函數(shù)Pf1Q和供給函數(shù)Pg1Q的交點Q*,P*稱為平衡點，在此點表示生產(chǎn).WORD.WORD版本.剩余.假設(shè)所有消費者都是以他們打算支付的最終價格購買某種商品，其中包括所有打算以比P*高的價格支付商品的消費者確實支付了他們所情愿支付的，那么，* 1現(xiàn)考慮區(qū)間Q ，如上圖，選

Q,Q

，消費者的消費量f

QQ.消費者消費總量Q0

f0到Q*現(xiàn)在，如果所有商品都以平衡價格出售，那么消費者實際上的消費額為P*Q*，為兩條坐標軸及直線QQ*PP*消費者剩余

Q*fP*Q*需求曲線以下直線PP*0同理P*Q*是生產(chǎn)者實際售出商品的收入總額，Q*g1QdQ 是生產(chǎn)者愿意售出商品的收入0總額，因此，生產(chǎn)者剩余如下：P*Q*

Q*g1QdQ供給函數(shù)與直線PP*05已知某蔬菜市場的需求函數(shù)為P10QP70.5Q，求消費者剩余與解先求出市場的均衡價格P*和均衡產(chǎn)量Q*：P10Q70.5Q得Q*

P*8由消費者剩余和生產(chǎn)者剩余公式可知消費者剩余210QdQ2820生產(chǎn)者剩余2827QdQ10收益流的現(xiàn)值與未來值復利計息方式的基本思想：利息收入自動計入下一期的本金，就像常說的“利滾利”.4A0

（元，銀行年利率為r，第一年末的利息為A0

r，本利和為AA1 0

ArA0

rA0

1rr，本利和為A A2 0

1rA0

1rrA0

1r2以此類推，可知，第n年末的本利和為

A An

1rn這就是以年為期的復利計算公式.定義5由于資金周轉(zhuǎn)過程是不斷連續(xù)進行的，若一年中分n期計算，年利率仍為r，則一年后的本利和為

AA1rn則由此可知t年后的本利和為

1 0 nAA

1

rntt 0 n如果計息期數(shù)n時，即每時每刻計算復利（稱為連續(xù)復利，則t年后的本利和為 nrt 1 r 1AlimA

r nt1 lim

1 t n

0 n

n

0 n r 這就是連續(xù)復利公式.

Aert0rA元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行，則年0后的價值（將來值）

BA0

ert若有一筆收益流的收益流量為Pt（元/年，考慮從現(xiàn)在開始（t0）到T年后這一段時間dt，在近似看做常數(shù)，則所應（元）.從現(xiàn)在（t0）這一金額是在年后的將來而獲得，因此在收益流的現(xiàn)值PtdtertPtertdt從而總現(xiàn)值

TPtertdt0在計算將來值時，收入Ptdt在以后的Tt年期間獲息，故在t,tdt，收益流的將來值tdterTtterTtdt將來值TPterTtdt06一位城鎮(zhèn)居民想要購買一棟別墅，現(xiàn)在價值為30021萬元，并且還必須在20年付清，并且銀行的存款年利率為4%，若按照連續(xù)復利的方式計息，請你幫這位購房者提供一個決策：是采用一次付款合算還是分期付款合算？解2021萬元，所以收益流的變化率21，于是分期付款的現(xiàn)值為200

21e0.04tdt

21

e0.0t2005251-e0.8289.1300所以分期付款合算.實際問題探索經(jīng)濟批量問題7Ay批采購進貨.已知每批采購費用為B元，而未售商品的庫存費用為C元／年·為最省？（ABCABC0）.解顯然，采購進貨的費用為

WyBy1A A因為銷售商品是均勻的，所以平均庫存的商品數(shù)應為每批進貨的商品數(shù)y

2y

，因而商品的庫存費用

WyAC2 2y總費用

WyW1

yW2

yBy

AC 02y令AC2B得AC2BAC2AC2B

.又AC2B AC2B

W'yBAC02y2W''yAC0y3所以W 為W y的一個最小.從而當批數(shù)y取一個接近于 的自然數(shù)時，才能使采 購與庫存費用之和最省.凈資產(chǎn)分析85%的連續(xù)復利產(chǎn)生利息而使總資產(chǎn)增加，同時，公司必須每年連續(xù)的支付200百萬元人民幣為職工的工資.1列出描述公司凈資產(chǎn)W的微分方程假設(shè)公司的初始凈資產(chǎn)為W03描述當W分別為3000,4000,5000時公司的情況.0解若存在一個初值W，使公司的凈資產(chǎn)不變，則0利息盈取的速率=工資支付的速率即0.05W0

200,W0

4000因此，如果凈資產(chǎn)為4000，那么此時的凈資產(chǎn)不變，此時達到一個平衡，則4000是一個平衡解.但是若W 4000，則利息盈取超過工資支付，凈資產(chǎn)增加，此時利息也會增長的快，從而凈0資產(chǎn)也會增長的快；W 4000，則利息盈取低于工資支付，公司的凈資產(chǎn)將減少，利息的盈取0也會減少，從而凈資產(chǎn)減少的速率越來越快，這樣一來，在不久的將來公司將面臨破產(chǎn)的危險.凈資產(chǎn)的增長速率=利息盈取的速率-工資支付的速率建立微分方程有即

dW200 ①dtdW4000 ②dt兩邊同時積分，得出

dW 0.05dt ③W4000 1W4000

dW0.05dt ④W4000Ce0.05t ⑤dW0，得出平衡解Wdt

4000.由當t0時，W0

4000，代入⑤中可得

CW 40000則W400040000.05t0若W 4000，則W4000若0若W 5000，則W40001000e0.05t若0若W 3000，W40001000e0.05t，此時凈資產(chǎn)是減少的，并且當W0t，若0這說明，該公司在28年后將破產(chǎn).核廢料的處理91.14m的的海底（圓桶的質(zhì)量m240kg,體積V0.208m3，海水的密度為1026kg/m3）.當時的一些桶的速度成正比，并且比例系數(shù)為k1.17kg/s12.2m/s，那圓桶到達海底時的速度為多少呢？這是一個我們值得探究的問題.xy軸的正向沿鉛直向下.設(shè)在時間tyvy00v00.圓桶在下沉過程中所受的重力為Gmg240圓桶所受海水的浮力為

FVg10260.208海水的阻力為

fkv1.17v圓桶在下沉過程中所受的合力為F GFf235220911.17v2611.17v合由于加速度為a

dv，根據(jù)牛頓第二定律可知F

ma，mdv

GFkv，即dt 合 dtdvGFkv又由于

dt mdvdvdyvdvdt dydt dy故vdvGFdy m分離變量得出

vdv dy兩邊同時積分可得

GFkv my00v00，可得

vGk k2

lnGBkv

yCm此時可得方程為

CGFFk2 yvGFlnGF m k k2 GF y v

261

ln2611.17v240 1.17 1.172

261 若假設(shè)此時速度為臨界速度v12.2m/s，則此時的圓桶的位置由方程可得y71m說明此時還沒有到達海底.但是問題是海水的阻力會不會使其減速呢？由于加速度advGFdt ma0GFkv0即2611.17v0，此時v/s，也就說只能在v/s時才能減速，那么當v12.2m/s時GFkv

2611.1712.2

1.03m/s2m 240也就說圓桶的速度大約每秒提升約1m/s，到海底還有約20m需要近2s，因此必定會在14m/s左右碰壁而破裂.結(jié)束語本文前面部分先給出了有關(guān)微積分的發(fā)展歷史，然后介紹了微分在經(jīng)濟學的應用的邊際分析以及彈性分析，