空間向量及其運算一、選擇題1．△ABC的頂點分別為A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則AC邊上的高BD等于()A．5B.eq\r(41)C．4D．2eq\r(5)2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，給出以下向量表達式：①(－)－；②()－；③()－2；④(＋)＋.其中能夠化簡為向量的是()A．①②B．②③C．③④D．①④3．在四面體O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則可表示為(用a，b、c表示)．()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,2)cC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)cD.eq\f(1,3)a－eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若＋，則x、y的值分別為()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)D．x＝eq\f(1,2)，y＝15．正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF是異面直線AC與A1D的公垂線，則EF與BD1所成的角是()A．90°B．60°C．30°D．0°6．已知空間四邊形ABCD中，M、G分別為BC、CD的中點，則＋eq\f(1,2)()等于()A．B．C．D.eq\f(1,2)二、填空題7．在空間四邊形ABCD中，＝________.8．已知點A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，則||的值是________．9．(2009·平頂山模擬)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM和CN所成角的余弦值為________．三、解答題10．已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算：(1)；(2).11．在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖)．求B、D間的距離．12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．空間向量及其運算(答案)A解析：設(shè)＝λ，又＝(0,4，－3)．則＝(0,4λ，－3λ)．＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由·＝0，得λ＝－eq\f(4,5)，∴＝(－4，eq\f(9,5)，eq\f(12,5))，∴||＝5.2.A解析：①；②；③；④，綜上①②符合題意．3.A解析：eq\f(1,2)×eq\f(1,2)()＝×()＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.4.C解析：如圖，＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)()．5.D解析：可求得∥，即BD1∥EF.6.A解析：如圖所示：eq\f(1,2)()＝，＋＝.7.0解析：設(shè)＝b，＝c，＝d，則＝d－c，＝d－b，＝c－b.原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c(d－b)＝0.8.eq\f(\r(77),3)解析：設(shè)P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．＝(－1－x,3－y,4－z)由＝2得點P坐標為(－eq\f(1,3)，eq\f(8,3)，3)，又D(1,1,1)，∴||＝eq\f(\r(77),3).9.解析：建系可求得cosθ=.10.解：如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[eq\f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16；(2)·＝[eq\f(1,2)(c－a)＋eq\f(1,2)b]·(eq\f(1,2)b＋a)＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(eq\f(1,2)b＋a)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.11.解：∵∠ACD=90°，∴＝0.同理＝0.∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.∵，∴＝＝3＋2×1×1×cos〈〉＝∴||＝2或eq\r(2)，即B、D間的距離為2或eq\r(2).12.解：(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋eq\f(1,2)c，＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴·＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.(2)＝－a＋c，∴||＝eq\r(2)|a|，||＝eq\f(\r(5),2)|a|.·＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c