第47講洛必達法則解高考導(dǎo)數(shù)壓軸題我們在前面的學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)該能體會到參變分離對于解決不等式恒成立問題的重要性和快捷性,但有時候我們明明知道了函數(shù)的單調(diào)性,知道了函數(shù)會大于或者小于某一個值(這個值被稱為確界),但就是取不到,這個時候就需要用到極限來計算,在求函數(shù)的極限時,常會遇到兩個函數(shù)都是無窮小或都是無窮大時,求它們比值的極限,此時極限可能存在,也可能不存在.通常把這種極限叫作未定式,并分別簡稱為型或型.

例如,就是型的未定式而極限就是型的未定式,對于未定式的極限,我們該如何求呢?

計算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化成可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算.這種變形沒有一般方法,需視具體問題而定,屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具,給出計算未定式極限的一般方法,即洛必達法則,在此之前我們需要明白“確界”的概念.

確界

如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值,為了能夠利用分離參數(shù)思想【解析】決含參不等式恒成立的問題,我們利用如下的函數(shù)確界的概念:

函數(shù)的上確界為,記作的下確界為,記作.于是,有如下結(jié)論:

(1)若無最大值,而有上確界,這時要使恒成立,只需.

(2)若無最小值,而有下確界,這時要使恒成立,只需.

確界通俗地說就是,知道函數(shù)不會超過某個值(這個值其實就是確界),但就是在定義域內(nèi)取不到這個值,舉個【例】子:

在恒成立,求的取值范圍.取不到1,但為單調(diào)遞增,,即2就是的下確界,于是我們可以得到.

可以簡單地理解為確界就是函數(shù)取不到的最值,需要用極限來逼近,下面舉例子來說明.

【例1】設(shè)函數(shù),時,,求的取值范圍.

分析:由對所有的成立,可得

(1)當時,.

(2)當時,.

設(shè),把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值或下確界.

則.

又的二階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù),是增函數(shù)..增函數(shù)..是增函數(shù).,從而,于是在上單調(diào)遞增,故無最小值.

此時,由于無意義,分析可知是有下確界的,運用極限表述為:,關(guān)鍵是這個極限值或者說確界如何求出呢?這就是本章的重點:洛必達法則.

由洛必達法則即可得.

故時,,因而,綜上知的取值范圍為.

那什么是洛必達法則呢?

洛必達法則

(一)型不定式

定理1設(shè)函數(shù)滿足下列條件:

(1).

(2)與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且.

(3)存在(或為無窮大),則.

【例1】計算極限.

【解析】該極限屬于型不定式,于是由洛必達法則得

(二)型不定式

定理2設(shè)函數(shù)滿足下列條件：

(1).

(2)與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且.

(3)存在(或為無窮大),

則.

【例2】計算極限【解析】所求問題是型不定式,連續(xù)次實行洛必達法則,有.

使用洛必達法則時必須注意以下幾點:

(1)洛必達法則只能適用于型和型的不定式,其他的不定式須先化簡變形成型或型才能運用該法則.對于型與型的未定式,可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式.對于型,型與型的未定式,可通過取對數(shù)等手段化為型或型未定式.

(2)只要條件具備,就可以連續(xù)應(yīng)用洛必達法則.

(3)洛必達法則的條件是充分的,但不必要,因此,在該法則失效時并不能斷定原極限不存在.

洛必達法則求參數(shù)取值范圍

洛必達法則求參數(shù)取值范圍的一般步驟和前面參變分離的解題步驟一致,只不過是最后無法直接求解最值,只能用洛必達法則求解確界.

【例1】已知函數(shù),當時,,求的取值范圍.【解析】證明第一步:分類討論,參變分離.當時,,即.

①當時,.

②當時,等價于,即.

第二步:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),并把分子提出,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并研究出原函數(shù)單調(diào)性.

記,則.

記,

則,

因此在上單調(diào)遞增,且,，在上單調(diào)遞增.

第三步:利用洛必達法則求出函數(shù)下

確界.

即當時,.,即有.

綜上所述,當時,成立.

【例2】設(shè)函數(shù),設(shè)當時,,求的取值范圍.

【解析】證明第一步:必要性討論,縮小參數(shù)范圍.

由題設(shè),此時.

①當.時,若,則,不成立.

②當時,當時,,即..若,則.

第二步:不等式等價變化并參變分離.

若,則等價于,即.

第三步:構(gòu)造函數(shù),并因式分解,把部分因式提出,單獨構(gòu)造函數(shù),并多次求導(dǎo),結(jié)合特殊值最終確定原函數(shù)的單調(diào)性.

記,則記,則.因此,在上單調(diào)遞增,且,即在上單調(diào)遞增,且.因此,∴在上單調(diào)遞增.第四步:利用洛必達法則求出函數(shù)下確界.,即當時,,即有,綜上所述,的取值范圍是.【例3】若不等式對于恒成立,求的取值范圍。【解析】第一步:參變分離.當時,原不等式等價于第二步:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),并提取分子單獨構(gòu)造,多次求導(dǎo)結(jié)合特殊值得出原函數(shù)單調(diào)性.記,則記,則,,,∴在上單調(diào)遞減,且∴在上單調(diào)遞減,且.因此在上單調(diào)遞減,且故,因此在上單調(diào)遞減.第三步:利用洛必達法則可得函數(shù)上確界.,即當時,,即有.故時,不等式對于恒成,立.【例4】已知