高考數(shù)學(xué)專題：導(dǎo)數(shù)大題專練(含答案)一、解答題1．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．已知曲線(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程．3．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線上的斜率為的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.4．已知函數(shù)．(1)分別求n=1和n=2的函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．5．設(shè)函數(shù)，其中.(1)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)若成立，求的取值范圍.6．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值；(2)當(dāng)在有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，總有成立，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.7．已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；8．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.(1)若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大?。?2)求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.9．已知函數(shù)．(1)若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．10．已知函數(shù)，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的最小值.【參考答案】一、解答題1．(1)(2)【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由題意可得在上恒成立，從而可求出的取值范圍，（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可(1)由，得，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以滿足題意只需，得，所以的取值范圍為(2)因?yàn)樗约丛跁r(shí)恒成立，

令，，則，所以在上遞減，所以，所以，所以的取值范圍為2．(1)(2)【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）設(shè)切線坐標(biāo)為，得出切線的方程為，根據(jù)點(diǎn)在切線上，列出方程求得的值，代入即可求解.(1)由題意，函數(shù)，可得，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以所求切線方程為，即.(2)解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為，所以切線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，可得，解得，所以所求切線的方程為，即.3．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可利用斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得切線方程；（2）令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立；①當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可證得單調(diào)遞增，由可求得范圍；②當(dāng)時(shí)，利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明存在，并得到單調(diào)性，知，由此可解得的范圍，根據(jù)可求得范圍.(1)當(dāng)時(shí)，，；令，解得：，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求切線方程為：，即；(2)令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立；，，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，；①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，解得：，；②當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；，使得，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得：，即，又，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，即；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)中的恒成立問(wèn)題的求解，解題基本思路是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而利用對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性的討論來(lái)確定最小值點(diǎn)，根據(jù)最小值得到不等式求得參數(shù)范圍.4．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；(2)1個(gè).【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得解；（2）求出，再對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論得解.(1)解：由已知，得．①當(dāng)時(shí)，，．由，得；由，得．因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，，．因?yàn)樵诤愠闪?，且只有?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．(2)解：由，得．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在恒成立，且只有當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋杂形ㄒ涣泓c(diǎn)．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得；由，得．因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以有唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．5．(1)(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(3)【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)中，得出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式即可求解；（2）根據(jù)已知條件，對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)極值的步驟及函數(shù)極值的定義即可求解；（3）根據(jù)成立，轉(zhuǎn)化為即可，再利用第（2）的結(jié)論即可求解.(1)當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)為，，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率切線方程為，即(2)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)（ii）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程兩根，此時(shí)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，設(shè)方程兩根此時(shí)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).(3)由成立等價(jià)于即可.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，由，得時(shí)，單調(diào)遞減,時(shí)，時(shí)，不合題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)，，時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，即，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是第一問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式即可，第二問(wèn)主要是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，再結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟即可，第三問(wèn)主要將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題再結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論即可求解.6．(1)最大值為，最小值為；(2)；(3).【解析】【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求其最值即可；（2）分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求其在區(qū)間上的值域即可求得參數(shù)的范圍；（3）根據(jù)是的極值點(diǎn)，求得的等量關(guān)系以及取值范圍，等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式，且構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其值域，即可求得參數(shù)范圍.(1)當(dāng)時(shí)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；又，且，故在上的最大值為，最小值為.(2)令，因?yàn)?，則，故，令，則，故當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，又，且，故的值域?yàn)?，則要滿足題意，只需.即的取值范圍為：.(3)因?yàn)?，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，故可得，也即，且.因?yàn)?，，故，則，即，因?yàn)?，故上式等價(jià)于，即，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故不滿足題意；當(dāng)時(shí)，令，若方程對(duì)應(yīng)的時(shí)，即時(shí)，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；若，即時(shí)，又的對(duì)稱軸，且開(kāi)口向下，又，不妨取，故當(dāng)，，單調(diào)遞增，又，故此時(shí)，不滿足題意，舍去；綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)值域，有解問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問(wèn)題；其中第三問(wèn)中，合理的處理以及多變量問(wèn)題，以及構(gòu)造函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，屬綜合困難題.7．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）分離變量可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍.(1)，，又，在處的切線方程為；(2)當(dāng)時(shí)，由得：，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問(wèn)題；解決恒成立問(wèn)題的基本思路是采用分離變量的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間關(guān)系，即由得；由得.8．(1)；(2)1.【解析】【分析】（1）對(duì)、求導(dǎo)，應(yīng)用曲率公式求出處的曲率，，即可比較大??；（2）由題設(shè)求出的曲率平方，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可.(1)由，，則，由，，則，所以；(2)由，，則，，令，則，故，設(shè)，則，在時(shí)，遞減，所以，最大值為1.9．(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)或【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，因?yàn)楹瘮?shù)再處取得極值，所以（1），解得，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性．（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定函數(shù)的最值情況，從而求得答案.(1)，，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，所以，所以，，故當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，所以實(shí)數(shù)的值為2，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，作出函數(shù)

的大致圖象如圖：此時(shí)在的圖象在內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，即在有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，故，作出函數(shù)的大致圖象如圖此時(shí)要使函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，需使得，即，解得，綜合上述，可知求a的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，解答時(shí)要明確函數(shù)的單調(diào)性以及極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)有一個(gè)的處理方法.10．(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）求出，分類討論，分和討論的單調(diào)性與極值；（2）利用分離參數(shù)法得到，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性與最值，根據(jù)直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)a的最小值.(1)，則.①當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.(2)由，得.令，因?yàn)殛P(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，所以直線與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)交點(diǎn).，令，則，因?yàn)?，所以或，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所