第=page11頁，共=sectionpages11頁2022年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃筆試高三數(shù)學(xué)試題1.已知2n+1與3n+1均為完全平方數(shù)且n不超過2022，則正整數(shù)2.已知凸四邊形ABCD滿足∠ABD=3.已知正整數(shù)y不超過2022且滿足100整除2y+y，則這樣的y的個(gè)數(shù)為___________4.已知x表示不超過x的整數(shù)，如1.2=1,?1.2=?A.321 B.322 C.323 D.以上都不對(duì)5.已知六位數(shù)y1y2f3f4d5d6.已知整數(shù)a,b,c,d滿足a+7.已知凸四邊形ABCD滿足：AB=8.已知a,b∈R,z1=9.已知復(fù)數(shù)z，滿足z2與2z的實(shí)部和虛部均屬于?1,1，則z10.在?ABC中，S?ABC=c211.在梯形ABCD中，AD//BC,M在邊12.已知1?x2=13.若A為十進(jìn)制數(shù)，A=a0a1…an，記DA=a014.已知數(shù)列an滿足a1=12,an15.已知fx是二次函數(shù)，f?2=0，且2x16.已知數(shù)列ak1≤k≤5各項(xiàng)均為正整數(shù)，且ak17.將不大于12的正整數(shù)分為6個(gè)兩兩交集為空的二元集合，且每個(gè)集合中兩個(gè)元素互質(zhì)，則不同的分法有___________種．18.已知y,f,d為正整數(shù)，fx=(1+x)19.若?ABC三邊長(zhǎng)為等差數(shù)列，則cosA+20.內(nèi)接于橢圓x24+y2A.413 B.1413

C.110答案和解析1.【答案】1

【解析】【分析】根據(jù)題意整理可得：(3a)2?6b2=解：設(shè)2化簡(jiǎn)得到3a2?由于3,1為佩爾方程對(duì)其任意一組解xk,yk，由于xk則a=xk由于1≤n≤2022，知5,2為佩爾方程由佩爾方程的通解知xk由特征方程知其所對(duì)應(yīng)的遞推公式為xk+2因此僅x2=27所以這樣的n為1個(gè)．故答案為：1．2.【答案】2

【解析】【分析】先說明凸四邊形ABCD是平行四邊形，然后設(shè)對(duì)角線AC中點(diǎn)為O，固定對(duì)角線AC，則點(diǎn)D在固定的射線AD上，只需求出該射線上滿足解：對(duì)凸四邊形ABCD，由由∠ABD=∠如圖，設(shè)對(duì)角線AC中點(diǎn)為O，下面固定對(duì)角線AC，則點(diǎn)D在固定的射線只需求出該射線上滿足∠CDO

記過C,O且與射線AD相切的圓為ω(這樣的圓存在且唯一由圓冪定理知AD′2首先說明∠C該結(jié)論等價(jià)于180°?設(shè)∠AD′O=由正弦定理，AOsinθ注意到2=sin140故θ<則射線AD上在D′的左右兩側(cè)各有一個(gè)滿足∠C故滿足條件的形狀不同的凸四邊形有兩個(gè)，故答案為：2．3.【答案】20

【解析】【分析】由題意可得4∣2y，進(jìn)而得到4∣y，所以設(shè)y=4f1解：由于100∣2y顯然y≠1，所以y≥2，所以設(shè)y=則5∣24f+4f設(shè)f=5d則220d由歐拉定理，φ25=20進(jìn)而得到0≡所以2520d+因此這樣的y有20個(gè)．故答案為：204.【答案】A

【解析】【分析】記an=1+解：記an則由其所對(duì)應(yīng)的特征根方程知數(shù)列an滿足an+依次可得a2a而1?5所以a12所以α12故選：A5.【答案】2065020

【解析】【分析】假設(shè)y1y2f3=m,f4d解：假設(shè)y1y2由此可得原命題等價(jià)于1000mn+由于102≤2+m≤所以n=1,2,4,5,這樣的六位數(shù)之和為2065020．故答案為：2065020．6.【答案】10

【解析】【分析】由于a,所以ab原命題即為求a2+b分類討論解得．解：由于a,所以ab+因此只需(a+b原命題即為求a2+b由柯西不等式知a2因此a2又因?yàn)閍2+b所以a2+b2+下證a2+b采用反證法，若否，則a2此時(shí)a,(i)a此時(shí)a′因?yàn)閍′2+所以a2+b(i由于奇數(shù)的平方模8同余于1，所以a2所以a2+b因此a2+b2+c2另一方面，設(shè)fa我們有f2,2f4因而a2+b2+c2因此ab+a故答案為：10．7.【答案】15【解析】【分析】先證明定理，根據(jù)r=Sp≤p?ap?bp?cp?dp=解：先證明一個(gè)引理：平面上四邊形ABCDS其中p為四邊形ABCD引理的證明：在?ABD和又SA于是可得a兩式平方相加，移項(xiàng)可得S整理即得．回到本題中，一方面，r另一方面，欲求r最小值，只需使得S最小，只需使得co又因?yàn)閙axA+C設(shè)AC=x易知∠A,∠C隨y增加而增加，所以只需比較x→3和此時(shí)四邊形ABCD分別趨向退化成邊長(zhǎng)為3,3,綜上，r∈故答案為：8.【答案】337【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角不等式z1解：已知z1當(dāng)且僅當(dāng)ar此時(shí)5?a=所以當(dāng)z1+z故答案為：3379.【答案】12?【解析】【分析】設(shè)滿足要求的復(fù)數(shù)z=x+yi解：設(shè)滿足要求的復(fù)數(shù)z=則原命題即為2xx2+y因此?1整理后得?2(x因此點(diǎn)z的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，此區(qū)域面積為8×故答案為：12?10.【答案】1

【解析】【分析】利用正弦定理的邊角互化結(jié)合三角恒等變換即可求解解：因?yàn)镽=所以4??因?yàn)镾?所以bc進(jìn)而有sinB于是sin=====因?yàn)?<所以sinA故答案為：111.【答案】12【解析】【分析】由∠ADM=18解：如圖所示：∠A所以A,因?yàn)椤螧AM所以∠B于是AM又因?yàn)椤螪所以BD在?BCD即2B所以2?BD所以DB故答案為：1212.【答案】12

【解析】【分析】采用三角換元，令x=θ=π8或5解：令x=cosθθ∈0,π.則1所以3θ=π2?θ或解得θ=π8或5π8或3因而其全部解為x=cosπ8或由題意知，所求值為：3故答案為：12．13.【答案】小于

【解析】【分析】根據(jù)題意，分析得若A為n+1位數(shù)，則DA<2解：由題意知若A為n+1位數(shù)，則所以b0至多為40位，所以b所以b1至多15位，進(jìn)而b所以b2至多6位，進(jìn)而b所以b3至多3位，進(jìn)而b所以b4至多2位，進(jìn)而b依此類推可得b2022其各位數(shù)字的平方和不超過81+81=故答案為：小于14.【答案】4

【解析】【分析】令bn=1+2an，將原遞推化簡(jiǎn)為bn+1?3=1解：令bn=1+原遞推即為bn整理后即為4bn+12即bn+1?3=12bn?所以bn另一方面，b10所以a10綜上所述，4<a10故答案為：415.【答案】36

【解析】【分析】法一：由f?2=0，可設(shè)fx=x+2ax+b=ax2+2法二：由2x≤fx≤x2+42?解：法一：由f?2=則由fx≥2所以a≥0且(2由fx≤x若2a?1=0所以2a?1整理后為4a與4a2+即(2a?所以fx又由于在原不等式中令x=2可得4≤f2所以fx法二：2x令gx=fx?若m≠12于是am?2>0am?2<0故m=2，令x=于是fx=g故答案為：36．16.【答案】211

【解析】【分析】由題意記bi=ai+1?ai解：記bi=a對(duì)確定的b1,b設(shè)mina1,對(duì)于給定的a,由于bi∈?1,其中不符合題設(shè)條件的數(shù)列各項(xiàng)均為1或2，這樣的數(shù)列有25綜上所述，符合要求的數(shù)列共有243?32故答案為：21117.【答案】252

【解析】【分析】依題意2,4,6,8,10,12恰好在6個(gè)不同的集合中，設(shè)依次為Y2,Y4,解：易知2,4,設(shè)依次為Y2此時(shí)剩余的正整數(shù)中1,7,11可以任意放在上述6個(gè)集合中，5不能放在Y10中，3，9①若5放入了Y6或Y12中，有兩種情況，此時(shí)3與9可在4個(gè)集合中選擇，有A42種情況，而②若5沒有放入Y6或Y12中，則5有3個(gè)集合可以選擇，進(jìn)而3與9可在3個(gè)集合中選擇，有A32種情況，而綜上所述，不同的集合拆分方法共有A21故答案為：25218.【答案】40

【解析】【分析】由題意得y+則x2

的系數(shù)為C結(jié)合柯西不等式得出Cy2+Cf2+Cd解：由題意得y+x2的系數(shù)為C由柯西不等式知y2又由于y,f,當(dāng)y=3,f=3,另一方面，若a,b為正整數(shù)，則這是因?yàn)樯鲜秸归_即為ab?a所以y2當(dāng)y=1,f=1,進(jìn)而我們有y2+f2+d2?10故答案為：40．19.【答案】1,【解析】【分析】通過余弦定理以及等差數(shù)列的性質(zhì)，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的關(guān)系是，通過公差的范圍得出結(jié)論．解：不妨