2.1直線(xiàn)的傾斜角與斜率目錄TOC\o"13"\h\u?知識(shí)清單?1.直線(xiàn)的傾斜角 12.直線(xiàn)的斜率 23.兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率 3?典型例題?母題1：直線(xiàn)的傾斜角 3母題2：直線(xiàn)的斜率 521：直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系 522：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式斜率 823：直線(xiàn)的向量式斜率 1024：由幾何關(guān)系求傾斜角、斜率 1225：直線(xiàn)斜率的含參問(wèn)題 14母題3：傾斜角和斜率的應(yīng)用 1531：三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題 1532：兩直線(xiàn)平行問(wèn)題 1633：兩直線(xiàn)垂直問(wèn)題 182.1直線(xiàn)的傾斜角與斜率?知識(shí)清單?直線(xiàn)的傾斜角定義當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí)，以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線(xiàn)向上的方向之間所成的角叫做直線(xiàn)的傾斜角。規(guī)定當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)的傾斜角為。記法圖示范圍作用（1）表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線(xiàn)的傾斜程度；（2）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線(xiàn)位置的幾何要素是：直線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可。注：傾斜角還可以這樣定義:在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線(xiàn)，把軸所在的直線(xiàn)繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱(chēng)為這條直線(xiàn)的傾斜角。并規(guī)定:與軸平行或重合的直線(xiàn)的傾斜角為。直線(xiàn)的斜率（1）定義與表示定義（為傾斜角）一條直線(xiàn)的傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率直線(xiàn)斜率不存在記法常用小寫(xiě)字母表示，即范圍作用用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)的傾斜程度（2）斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)情況如下表所示傾斜角斜率，增大增大不存在，增大增大兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率如果直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，且，則直線(xiàn)的斜率公式為。，即直線(xiàn)不與軸垂直。，在直線(xiàn)上的位置無(wú)關(guān),在直線(xiàn)上任取兩點(diǎn),得到的斜率是相同的。3.需注意公式中橫、縱坐標(biāo)之差的順序,也可以寫(xiě)成，即下標(biāo)的順序一致。?典型例題?母題1：直線(xiàn)的傾斜角直線(xiàn)傾斜角的概念當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí),我們以軸為基準(zhǔn),軸正向與直線(xiàn)向上的方向之間所成的角叫做直線(xiàn)的傾斜角。當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0°。因此,直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為。直線(xiàn)傾斜角的注意點(diǎn)（1）求直線(xiàn)的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類(lèi)討論。（2）注意傾斜角的范圍。求直線(xiàn)傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C．D．【答案】B【詳解】直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是[0,π下列圖中表示直線(xiàn)傾斜角為（）答案:C如圖所示，直線(xiàn)的傾斜角為（）A．B．C．D．以上都不對(duì)C[根據(jù)傾斜角的定義知，直線(xiàn)l的傾斜角為30°＋90°＝120°．]已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線(xiàn)的傾斜角滿(mǎn)足的條件是（）A． B．C． D．解析(1)因?yàn)棣潦侵本€(xiàn)的傾斜角，所以0°≤α<180°，又直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)第二、四象限，所以直線(xiàn)l的傾斜角α滿(mǎn)足的條件是90°<α<180°.故選C項(xiàng)．答案(1)C已知直線(xiàn)向上的方向與軸正向所成的角為，則直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)_______。解析(1)有兩種情況：①如圖a，直線(xiàn)l向上的方向與x軸正向所成的角為60°，即直線(xiàn)l的傾斜角為60°；②如圖b，直線(xiàn)l向上的方向與x軸正向所成的角為120°，即直線(xiàn)l的傾斜角為120°.故直線(xiàn)l的傾斜角為60°或120°.答案(1)60°或120°如圖，直線(xiàn)的傾斜角為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°．故選：D母題2：直線(xiàn)的斜率21：直線(xiàn)的斜率與傾斜角的關(guān)系下列命題正確的是（

）①直線(xiàn)傾斜角的范圍是；②若直線(xiàn)的斜率為，則；③任何一條直線(xiàn)都有斜率，但不一定有傾斜角；④任何一條直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率。A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③【答案】C【詳解】直線(xiàn)傾斜角的范圍是，①正確；直線(xiàn)傾斜角為，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，值域?yàn)?，因此，②正確；因?yàn)閮A斜角為的直線(xiàn)沒(méi)有斜率，因此任何一條直線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率，③不正確，④正確，所以給定命題正確的有①②④.故選：C（多選）在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)均有傾斜角和斜率B．直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是C．若一條直線(xiàn)的斜率為，則此直線(xiàn)的傾斜角為D．若一條直線(xiàn)的傾斜角為，則此直線(xiàn)的斜率為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，傾斜角為的直線(xiàn)斜率不存在,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為,所以B正確;對(duì)于C,因?yàn)榍?，所?所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,傾斜角為的直線(xiàn)斜率不存在,所以D錯(cuò)誤.故選：ACD直線(xiàn)的傾斜角和斜率分別是（）A．， B．，C．，不存在 D．，不存在解析∵直線(xiàn)x＝1與y軸平行，∴傾斜角為90°，斜率不存在．答案C直線(xiàn)的傾斜角和斜率分別是（

）A．， B．， C．，不存在 D．不存在，不存在【答案】B【詳解】由題意可知，直線(xiàn)的傾斜角為，斜率分別為.故選B.如圖，直線(xiàn)的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，直線(xiàn)l的傾斜角為30°，tan30°，所以直線(xiàn)l的斜率為.故選：B.直線(xiàn)的斜率分別為，傾斜角分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于k=tan由正切函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，當(dāng)x∈0,π2時(shí)，k由2>1，可知π2當(dāng)x∈π2,π時(shí)，?2<0，所以γ>π所以γ>α>β，選項(xiàng)B正確.故選：B三條直線(xiàn)的位置如圖所示，它們的斜率分別為，則的大小關(guān)系為（

）A．B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)三條直線(xiàn)l1，l2，l3由圖可知0<θ所以k2故選：B.22：直線(xiàn)的兩點(diǎn)式斜率點(diǎn)，在直線(xiàn)上，且，則的斜率。求直線(xiàn)的斜率的注意點(diǎn)：（1）運(yùn)用公式的前提條件是“”，當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，斜率是不存在的；（2）斜率公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)；（3）若直線(xiàn)的斜率為，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則。經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。（1），；（2），；（3），，其中?！窘馕觥?1)存在．直線(xiàn)AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1.(2)存在．直線(xiàn)CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1.(3)當(dāng)a＝b時(shí)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，直線(xiàn)AB⊥x軸，斜率不存在；當(dāng)a≠b時(shí)，斜率存在，由斜率公式知k＝eq\f(c－b,b－a).判斷滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)斜率是否存在，若存在，試求出斜率。（1）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為（2）過(guò)點(diǎn)、（3）過(guò)點(diǎn)、（4）過(guò)點(diǎn)、【答案】（1）不存在；（2）存在1；（3）不存在；（4）存在0已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線(xiàn)的斜率為，傾斜角為.根據(jù)斜率的定義可得，由可得，，又，所以.故選：D.已知點(diǎn)，，則直線(xiàn)的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】k=tanα=2?13?2=1故選：B.已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，直線(xiàn)的傾斜角是?！敬鸢浮喀?/【解析】因?yàn)檫^(guò)A(3,3)、B(3,1)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為：k=3?13?3=過(guò)兩點(diǎn)，的直線(xiàn)的傾斜角是，則等于?！敬鸢浮浚?【解析】因?yàn)樾甭蔾＝tan135°＝－1，所以k=y+15?3=?123：直線(xiàn)的向量式斜率（1）一般地，如果表示非零向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行或重合，則稱(chēng)向量為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，記作。（2）如果為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，向量都是的一個(gè)方向向量，而且直線(xiàn)的任意兩個(gè)方向向量一定共線(xiàn)。（3）如果，是直線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量。（4）一般地，如果已知是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，則：①當(dāng)時(shí)，顯然直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為；②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率存在，且與都是直線(xiàn)的方向向量，由直線(xiàn)的任意兩個(gè)方向向量共線(xiàn)可知，從而，。若直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則它的斜率為，傾斜角為?！敬鸢浮?，【分析】由題意，求出直線(xiàn)的斜率，從而得出結(jié)果．【詳解】依題意，是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的傾斜角為．已知直線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)、，求直線(xiàn)的一個(gè)方向向量和法向量，并確定直線(xiàn)的斜率與傾斜角。[解]eq\o(AB,\s\up7(→))＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量．由法向量與方向向量垂直，∴法向量可以為(－1,1)．因此直線(xiàn)的斜率k＝1，直線(xiàn)的傾斜角θ滿(mǎn)足tanθ＝1，從而可知θ＝45°．“向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量”是“直線(xiàn)傾斜角為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄渴侵本€(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以直線(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)傾斜角為，故“向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量”是“直線(xiàn)傾斜角為”的充分條件；若直線(xiàn)傾斜角為，則直線(xiàn)的斜率為，所以向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，故向量也是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，所以“向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量”是“直線(xiàn)傾斜角為”的必要條件；所以“向量是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量”是“直線(xiàn)傾斜角為”的充分必要條件；故選：C.24：由幾何關(guān)系求傾斜角、斜率若正方形的一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，則該正方形的兩條鄰邊所在直線(xiàn)的斜率分別為。【答案】和【詳解】如圖，在正方形OABC中，對(duì)角線(xiàn)OB所在直線(xiàn)的斜率為3，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線(xiàn)OB所在直線(xiàn)的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線(xiàn)的傾斜角為，直線(xiàn)的傾斜角為，故.故答案為：和．若正方形的一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的傾斜角為，則該正方形的兩條鄰邊所在直線(xiàn)的斜率分別為。【答案】0或不存在【詳解】如圖，在正方形OABC中，對(duì)角線(xiàn)OB所在直線(xiàn)的傾斜角為，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線(xiàn)OB所在直線(xiàn)的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線(xiàn)的傾斜角為，直線(xiàn)的傾斜角為，故.，不存在在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則。【答案】2【分析】根據(jù)直線(xiàn)傾斜角的概念，結(jié)合正切函數(shù)的和角公式，可得答案.【詳解】由O0,0，P1,5，則直線(xiàn)OP的方程為y=5x，設(shè)其傾斜角為α，即由tanα=5，則tanθ+π4=5故答案為：2325：直線(xiàn)斜率的含參問(wèn)題直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，且斜率為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______?！敬鸢浮?【解析】根據(jù)題意，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(3，m)，則其斜率k＝eq\f(m－－1,3－1)＝2，解得m＝3.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以該直線(xiàn)的斜率為.所以，解得.已知兩點(diǎn)、，且直線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】因直線(xiàn)AB的傾斜角為，則直線(xiàn)AB的斜率不存在，則A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，故.經(jīng)過(guò)點(diǎn)、的直線(xiàn)的斜率，求該直線(xiàn)的傾斜角。解析由m＝eq\f(m－3,1－m)，得m2＝3，所以m＝eq\r(3)或m＝－eq\r(3)，又傾斜角的范圍是0°≤α＜180°，tan60°＝eq\r(3)，tan120°＝－eq\r(3)，所以直線(xiàn)的傾斜角為60°或120°.已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的直線(xiàn)的斜率大于，則的取值范圍是()A．B．C． D．解析由題意知eq\f(8－m,m－5)＞1，得eq\f(8－m,m－5)－1＞0，即eq\f(2m－13,m－5)＜0，所以5＜m＜eq\f(13,2).答案D已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)、，試求直線(xiàn)的傾斜角為銳角時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m－1－1,m＋1－2m)＞0，,m－1≠1，))解得1＜m＜2．母題3：傾斜角和斜率的應(yīng)用31：三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題：實(shí)際就是任意兩點(diǎn)確定的直線(xiàn)斜率相等，或者都不存在．解決這類(lèi)問(wèn)題需要利用條件建立斜率相等的關(guān)系。已知，，三點(diǎn)，判斷這三點(diǎn)是否在同一條直線(xiàn)上，并說(shuō)明理由。解析由題意可得經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率kAB＝eq\f(0－－4,2－－2)＝1，經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率kAC＝eq\f(1－－4,3－－2)＝1，所以kAB＝kAC．又因?yàn)锳是公共點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．若，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．答案：解析：因?yàn)?，直線(xiàn)斜率存在，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，解得．故選：已知，，，四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，求直線(xiàn)的斜率及的值。答案：解析：由題意可知kAB＝eq\f(5－1,3－1)＝2，kAC＝eq\f(7－1,a－1)＝eq\f(6,a－1)，kAD＝eq\f(b－1,－1－1)＝eq\f(b－1,－2)，所以k＝2＝eq\f(6,a－1)＝eq\f(b－1,－2)，解得a＝4，b＝－3，所以直線(xiàn)的斜率k＝2，a＝4，b＝－3．32：兩直線(xiàn)平行問(wèn)題兩條直線(xiàn)(不重合)平行的判定：傾斜角斜率兩直線(xiàn)的斜率都不存在圖示或判斷下列各題中直線(xiàn)與是否平行。（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，?！敬鸢浮?1)不平行(2)平行【詳解】（1）因?yàn)閘1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?1,?2)，B(2,1)，所以k又l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,4)，N(?1,?1)，所以k因?yàn)閗l1≠kl（2）直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?3,2)，B(?3,10)的方程為x=?3直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(5,?2)，N(5,5)的方程為x=5故直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l判斷下列各組直線(xiàn)是否平行，并說(shuō)明理由．（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（2）的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，。【答案】(1)不平行，理由見(jiàn)解析(2)不平行，理由見(jiàn)解析【分析】（1）分別計(jì)算出l1和l（2）求出l2的斜率，再與l【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)l1，l2的斜率分別為k1因?yàn)閘1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),B(?4,0)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以k1=3?0所以k1所以l1與l（2）設(shè)直線(xiàn)l1，l2的斜率分別為k1，k因?yàn)閘2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10,2),B(20,3)所以k2所以k1所以l1與l33：兩直線(xiàn)垂直問(wèn)題兩條直線(xiàn)垂直的判定傾斜角斜率(兩直線(xiàn)的斜率都存在)的斜率不存在，的斜率為圖示或判斷下列各組直線(xiàn)是否垂直，并說(shuō)明理由。（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，。【答案】(1)不垂直，理由見(jiàn)解析(2)垂直，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由題知直線(xiàn)l1，l2的斜率存在，分別設(shè)為k1=3??41??3=74（2）由題意知l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸；由題知直線(xiàn)l2的斜率存在，設(shè)為k3，k