第第頁2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（含解析）2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江市威遠(yuǎn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.命題“，”的否定為()

A.B.

C.D.

2.雙曲線的漸近線方程是()

A.B.C.D.

3.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則的值為()

A.B.C.D.

4.若，則等于()

A.B.C.D.

5.焦點在軸上，右焦點到短軸端點的距離為，到左頂點的距離為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.B.C.D.

6.是方程表示橢圓的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若雙曲線：與：的漸近線相同，且雙曲線的焦距為，則()

A.B.C.D.

8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，點在雙曲線的右支上，且，則的面積為()

A.B.C.D.

9.“米”是象形字，數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線：，：構(gòu)造了一個類似“米“字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點分別為，，點在拋物線上，過點作軸的平行線交拋物線于點，若，則()

A.B.C.D.

10.已知，是橢圓的兩個焦點，若存在點為橢圓上一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍是()

A.B.C.D.

11.已知是雙曲線：的右焦點，是的左支上一點，，則的最小值為()

A.B.C.D.

12.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓已知橢圓的蒙日圓方程為，現(xiàn)有橢圓的蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，若面積的最大值為，則橢圓的長軸長為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.“”是“”的充分不必要條件，若，則取值可以是______滿足條件即可．

14.已知直線與橢圓交于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是______．

15.已知是拋物線：的焦點，為坐標(biāo)原點，點是拋物線上的點，且，則的面積為______．

16.已知橢圓，過點的直線與橢圓相交于，兩點，且弦被點平分，則直線的方程為______．

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

分別求適合下列條件的方程：

長軸長為，焦距為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

18.本小題分

設(shè)集合，，命題：，命題：

若是的充要條件，求正實數(shù)的取值范圍；

若是的充分不必要條件，求正實數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

已知，命題：，；命題：，使得．

若是真命題，求的最大值；

若，一個為真命題，一個為假命題，求的取值范圍；

20.本小題分

已知曲線上的每一個點到的距離減去它到軸的距離的差都是．

求曲線的方程；

過作傾斜角為的直線交曲線于、兩點，點，求的面積．

21.本小題分

已知對稱軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓過點與點，過點的直線與橢圓交于，兩點，直線，分別交直線于，兩點．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

22.本小題分

以橢圓：的中心為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”設(shè)橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，且滿足，．

Ⅰ求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程；

Ⅱ若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一個弦不與坐標(biāo)軸垂直與橢圓交于、兩點，試證明：當(dāng)時，試問弦的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因為，是全稱量詞命題，

所以其否定為存在量詞命題，即．

故選：．

利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解．

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．

2.【答案】

【解析】解：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，把換成，

即得的漸近線方程為，

化簡可得，

故選：．

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，把換成，即得此雙曲線的漸近線方程．

本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】【分析】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題．

首先把拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求解．

【解答】

解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

則其準(zhǔn)線方程為，

所以．

故選：．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，

則，

故選：．

利用導(dǎo)數(shù)的定義求解，

本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，要求橢圓的焦點在軸上，設(shè)其方程為，

若右焦點到短軸的上端點的距離為，則，即，則，

又右焦點到左頂點的距離為，則，即，

則；

故橢圓的方程為：；

故選：．

根據(jù)題意，設(shè)要求橢圓的方程為，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得、的值，即可得答案．

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：若表示橢圓，

則，得，即且，

則是方程表示橢圓的必要不充分條件，

故選：．

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合橢圓的方程進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合橢圓的方程是解決本題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的漸近線方程和基本量的關(guān)系，屬于簡單題．

求出雙曲線的漸近線方程，可得，再由焦距，可得，即可求解．

【解答】

解：雙曲線：的漸近線方程為，

由題意可得：的漸近線方程為

，即有，

記的焦距為，則，即，即有，

解得，，

故選：．

8.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可得，，

解得，又，，

設(shè)，，

則根據(jù)題意及雙曲線的幾何性質(zhì)可得：

，

，

，

，

的面積為，

故選：．

先求出，從而可得，，再設(shè)，，從而根據(jù)題意及雙曲線的幾何性質(zhì)可建立方程組，從而可求出，最后代入代入三角形面積公式，即可得解．

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

9.【答案】

【解析】解：過點作于點，

，，

則，

又點在拋物線：上，

，則，

在中，，

，

，

．

故選：．

過點作于點，根據(jù)題意得到，代入拋物線：，得到，利用勾股定理即可求解．

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)橢圓方程為，

在中，由余弦定理可知，，

，，，

即，

又當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

，即，

的取值范圍是．

故選：．

設(shè)橢圓方程為，利用余弦定理得到，再根據(jù)均值不等式得到答案．

本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：由雙曲線方程可知，，，

故右焦點，左焦點，

當(dāng)點在雙曲線左支上運動時，

由雙曲線定義知，

所以，

從而，

又為定值，

所以，

此時點在線段與雙曲線的交點處三點共線距離最短．

故選：．

根據(jù)雙曲線的定義得，利用平面幾何的知識：兩點間線段最短求解即可．

本題考查了雙曲線的定義，重點考查了兩點間線段最短的平面幾何知識，屬中檔題．

12.【答案】

【解析】解：橢圓的蒙日圓的半徑為．

因為，所以為蒙日圓的直徑，

所以，所以．

因為，

當(dāng)時，等號成立，

所以面積的最大值為：．

由面積的最大值為，得，得，

故橢圓的長軸長為．

故選：．

由題意可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式即可求解．

本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：因為“”是“”的充分不必要條件，且，

所以且，故可取．

故答案為：答案不唯一，滿足且均可．

利用充分不必要條件的定義求解．

本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：由橢圓可得，，

，，

橢圓的右焦點坐標(biāo)為，

直線過橢圓的右焦點，

的周長為．

故答案為：．

由題意可得直線過橢圓的右焦點，可求的周長．

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)，由拋物線方程得：，

所以，

由拋物線的定義得：，解得：，

又，解得：，

所以的面積為：．

故答案為：．

設(shè)，由拋物線的方程求得，再由拋物線定義列方程求得，從而求得，利用三角形面積公式求解即可．

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：已知橢圓：，過點的直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)，

則：，兩式相減：，

是、的中點，

由中點坐標(biāo)公式可知：

，

則直線的方程為：

整理得：，

故答案為：．

由，在橢圓上，則，兩式相減：，由中點坐標(biāo)公式可知：，即可求得直線的斜率，利用點斜式方程，即可求得直線的方程．

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓錐曲線的中點弦公式，直線的點斜式公式，考查“點差法”的應(yīng)用，屬于中檔題．

17.【答案】解：設(shè)橢圓的長軸長為，焦距為，

由條件可得，，

所以，，

所以，

當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為；

當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為．

當(dāng)拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，

此時，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

當(dāng)拋物線的焦點在軸上時，可設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，解得，

此時，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．

【解析】根據(jù)長軸和焦距的定義求出、，進(jìn)而求出，即可求解；

設(shè)拋物線方程為或，將點坐標(biāo)代入，即可求解．

本題主要考查橢圓、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：由條件，是的充要條件，

得，即，解得，

所以實數(shù)的取值范圍是．

由是的充分不必要條件，得真包含于，

所以，或，解得，

綜上實數(shù)的取值范圍是．

【解析】根據(jù)是的充要條件轉(zhuǎn)化為求解即可；

根據(jù)是的充分不必要條件，得真包含于，列出不等式求解即可．

本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：根據(jù)題意，若是真命題，即恒成立，

當(dāng)時，的最小值為，

所以，即的最大值為；

若是真命題，，解得或，

由已知、一真一假，

若真假，則，

若假真，則，

綜上，或，

故的取值范圍為或．

【解析】先求出的范圍，利用全稱命題為真命題即可求得；

先求出命題為真時的取值范圍，進(jìn)而分類討論，分別求出對應(yīng)的取值范圍，綜合即可求解．

本題考查命題真假的判斷，涉及復(fù)合命題真假的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．

20.【答案】解：設(shè)曲線上動點坐標(biāo)為，

由題設(shè)得，

整理得；

設(shè)：，

聯(lián)立，得，設(shè)，，

，直線經(jīng)過拋物線的焦點，

，

又點到的距離，

．

【解析】利用“五步求曲“法，即可直接求解；

先設(shè)：，與拋物線方程聯(lián)立，求得弦長，再求得點到直線的距離，利用三角形的面積公式求解．

本題考查軌跡方程的求解，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

21.【答案】解：設(shè)橢圓的方程為，，，，

將，的坐標(biāo)代入可得，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

聯(lián)立，整理可得：，可得，，

直線的方程為，令，可得，

即，同理可得，

所以

，當(dāng)時，最小，且為，

所以存在有最小值，且最小值為．

【解析】設(shè)橢圓的一般方程，將，兩點的坐標(biāo)代入可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

由題意可得直線的斜率不為，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，求出直線，的方程，將代入可得，的坐標(biāo)，求出數(shù)量積的表達(dá)式，由參數(shù)的范圍，可得數(shù)量積的最小值．

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，數(shù)量積的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

22.【答案】解：設(shè)橢圓的左焦點，

由得，化為．

由可得，

聯(lián)立，解得，，．

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的“準(zhǔn)圓”的方程為．

設(shè)直線的方程為，與橢圓的交點為，，

聯(lián)立，化為，

，，可得，

由，得，即，

，此時滿足成立．

則點到弦的距離