淺析黑體輻射能量密度與維恩位移定律公式的推導(dǎo)黑體是一種吸收所有入射光而不反射任何光的物體，因此在室溫下呈黑色（因此稱為黑體）。然而，黑體吸收的所有能量必須以某種方式釋放。當它與環(huán)境處于熱平衡狀態(tài)，即沒有熱能被釋放時，所吸收的能量必須以電磁波的形式發(fā)射出去。請注意，現(xiàn)實中并不存在完美的黑體。但是有可能構(gòu)建一個近乎完美的黑體。例如，一個由導(dǎo)熱材料（如金屬）制成的完全封閉的盒子，在墻上某處有一個小孔，可以被視為黑體。通過孔進入盒子的光將在盒子內(nèi)反彈并最終完全吸收，幾乎沒有機會從孔中逸出。當加熱時，從這個孔中發(fā)出的電磁波幾乎與盒子內(nèi)空氣溫度下的理想黑體發(fā)出的電磁波非常相似。此外，許多普通物體自發(fā)發(fā)射的熱輻射可以近似為黑體輻射。煉鋼中的輻射現(xiàn)象令人驚訝的是，科學(xué)家觀察到所有黑體的輻射光譜僅取決于黑體所處的溫度，而不管其成分或吸收的能量如何。該光譜具有一個隨溫度升高而向更高頻率移動的峰值，并且在室溫下，大部分發(fā)射位于電磁光譜的紅外區(qū)域。隨著溫度升高到約500oC，黑體開始發(fā)射大量可見光。人眼在黑暗中觀察時，第一道微弱的光芒顯示為“幽靈般的”灰色（可見光實際上是紅色，但低強度的光只激活眼睛的灰度傳感器）。隨著溫度的升高，輝光變得可見：首先是暗紅色，然后是黃色，最后在非常高的溫度下變成“令人眼花繚亂的藍白色”。當身體呈白色時，它會以紫外線輻射的形式釋放出相當大的一部分能量。太陽的有效溫度約為5500oC，是一個近似黑體，其發(fā)射光譜在可見光譜的中心黃綠色部分達到峰值，但在紫外線中也具有顯著的功率（這就是為什么我們需要防曬）。黑體輻射的公式Stefan-Boltzmann定律Stefan-Boltzmann定律用溫度來描述黑體輻射的能量。具體來說，Stefan-Boltzmann定律指出，黑體每單位表面積在每單位時間的所有波長上輻射的總能量j?（也稱為黑體輻射率）與黑體熱力學(xué)溫度T的四次方成正比：j?=σT4比例常數(shù)σ，稱為Stefan-Boltzmann常數(shù)，是從其他已知的物理常數(shù)推導(dǎo)出來的。自2019年以來，常數(shù)的值為σ=2π5k415c2h3=5.670374?×10?8Wm?2K?4普朗克黑體輻射定律uλ(λ,T)=8πhcλ51ehcλkT?1維恩位移定律雖然威廉·維恩提出本定律的時間是在普朗克黑體輻射定律出現(xiàn)之前的1893年，且過程完全基于對實驗數(shù)據(jù)的經(jīng)驗總結(jié)，但可以證明，本定律是更為廣義的普朗克黑體輻射定律的一個直接推論。根據(jù)普朗克定律，以波長為自變量的黑體輻射能流密度譜為：u(λ)=8πhcλ5?1ehc/λkT?1為求出使得u取得最大值的λ，令u(λ)對λ的導(dǎo)數(shù)為0?u?λ=8πhc(hckTλ7ehc/λkT(ehc/λkT?1)2?1λ65ehc/λkT?1)=0hcλkTehc/λkTehc/λkT?1?5=0若定義無量綱（又稱“無因次”）變量則xexex?1?5=0方程的解無法表示成初等函數(shù)（為郎伯W函數(shù)），但能否得到精確解并不影響本推導(dǎo)過程?？梢院苋菀子脭?shù)值方法得到x

x=4.965114231744276...(無量綱)將解代入x的表達式，可得：λmax=hckx1T=2.8977721?×106nm?KT其中λ單位為納米，溫度單位為開爾文由此可得，λmax與T乘積等于常數(shù)。所以T升高λmax降低。

黑體輻射公式的多種推導(dǎo)及其在近代物理構(gòu)建中的意義(Ⅱ)完美發(fā)光體的發(fā)光能力與溫度的關(guān)系，在近代的物理教科書中由Stefan—Boltzmann公式給出，J

=

σT4，其中J是自發(fā)射體出射的能量密度(densityoffluxofenergy)，單位為單位面積瓦(W·m-2)，反映的是熱發(fā)射能力，系數(shù)的近代物理表示為，其數(shù)值為σ=5.67×10?8

W·m?2·K?4。由此得出，在室溫(300K)下黑體輻射的強度約為每平方米460瓦，或者說一平方米的黑體輻射其功率為460瓦。隨著溫度的升高，譜線整體向高頻方向移動，這個現(xiàn)象由維恩(WilhelmWien，1864—1928)位移公式描述，，即峰值所在頻率與絕對溫度T成正比，其中的系數(shù)α

=

W(-5e-5)+5，W是所謂的LambertW函數(shù)。如果只關(guān)注數(shù)值，可寫為νmax=5.879×1010THz或者。但是，請注意，這兒有些地方不對勁兒。在這兩個公式里，都出現(xiàn)了玻爾茲曼常數(shù)kB和普朗克常數(shù)h，但是普朗克常數(shù)h是普朗克1900年底才引入的，玻爾茲曼常數(shù)kB是普朗克1901年引入的，在Stefan—Boltzmann公式和維恩位移公式面世很久之后。也就是說，知道用普朗克常數(shù)h和玻爾茲曼常數(shù)kB表示的Stefan—Boltzmann公式與維恩位移公式卻未加思索的人，肯定錯過了這兩個公式之所以被發(fā)現(xiàn)的研究過程，而那才是一個物理學(xué)家該學(xué)會的。先補個插曲。為了從熱力學(xué)的角度研究黑體輻射，有必要引入輻射壓的概念。輻射壓的概念一開始由開普勒(JohannesKepler，1571—1630)于1619年提出，用以解釋彗星尾總遠離太陽的現(xiàn)象。1862年，麥克斯韋(JamesClerkMaxwell，1831—1879)從自己的電磁理論出發(fā)推測有輻射壓的存在(另有文獻說是1874年，待考)。意大利人巴托利(AdolfoBartoli，1851—1896)在1876年從熱力學(xué)原理導(dǎo)出了輻射壓的存在[AdolfoGiuseppeBartoli，Sopraimovimentiprodottidallaluceedalcalore：esoprailradiometrodiCrookes(論光與熱產(chǎn)生的運動以及克魯克斯的輻射計)，CoitipideisuccessorileMonnier，1876]，巴托利于1874年畢業(yè)于比薩大學(xué)，于1876年在25歲上即已是實驗物理教授。巴托利指出，如果從一個移動的鏡子反射光，就能提升輻射溫度，這樣就能把能量從低溫物體傳輸?shù)礁邷匚矬w，但這違反熱力學(xué)第二定律[A.Bartoli，Ilcaloricoraggianteeilsecondoprincipioditermodynamica(輻射壓與熱力學(xué)第二定律)，NuovoCimento15，196-202(1875)]。若光對鏡子也施加了壓力，就解決了這個困局。其實，之所以有這個插曲是因為那個時候還沒建立起光有動量的概念。光有能量容易被感知，在墻角曬曬太陽就明白，但光有動量的認識需要認識到它存在的物理語境。愛因斯坦在質(zhì)能關(guān)系和光電效應(yīng)的工作中都用到了輻射壓的概念。圖4斯特藩奧匈帝國的物理學(xué)家斯特藩(Jo?efStefan或者JosefStefan，1835—1893)是玻爾茲曼(LudwigBoltzmann，1844—1906)的導(dǎo)師，其于1858年在奧地利維也納大學(xué)獲得數(shù)學(xué)物理博士學(xué)位(圖4)。按維基百科Stefan—Boltzmann條目，斯特藩在1879年基于丁達爾(JohnTyndall，1820—1893)1864年用白金燈絲獲得的發(fā)射能量測量結(jié)果得到了公式J

=

σT4的結(jié)論[JosefStefan，überdieBeziehungzwischenderW?rmestrahlungundderTemperatur(熱輻射與溫度之間的關(guān)系)，SitzungsberichtederKaiserlichenAkademiederWissenschaften：Mathematisch-NaturwissenschaftlicheClasse79：391-428(1879)]。但是，細讀這篇文章，筆者卻發(fā)現(xiàn)其是用杜隆—珀替(Dulong—Petit)關(guān)于發(fā)射體冷卻速度得到物體發(fā)射的熱量同其絕對溫度四次方成正比(dievoneinemK?rperausgestrahlteW?rmemengederviertenPotenzseinerabsolutenTemperaturproportionalist)的結(jié)論的。法國物理學(xué)家杜隆(PierreLouisDulong，1785—1838)和珀替(AlexisThérèsPetit，1791—1820)的這個實驗非常巧妙，用沸騰金屬作為發(fā)熱體(保持溫度恒定)，測量不同半徑的同心金屬球殼上平衡時的溫度。筆者讀到此處時擊節(jié)叫好。提起杜隆—珀替，按說應(yīng)該是如雷貫耳才對。后來愛因斯坦于1907年創(chuàng)立固體量子論時，又是基于杜隆—珀替的比熱測量數(shù)據(jù)。熱力學(xué)中有所謂的杜隆—珀替定律，是他們倆于1819年提出的，比卡諾(SadiCarnot，1796—1832)的第一篇熱力學(xué)論文還早五年。圖5玻爾茲曼玻爾茲曼非同尋常，是統(tǒng)計物理和原子論的奠基人(圖5)。玻爾茲曼的博士論文導(dǎo)師是斯特藩，但他還有其他導(dǎo)師，包括本生(RobertBunsen，1811—1899)、基爾霍夫和亥爾姆霍茲(HermannvonHelmholtz，1821—1894)，未來他會有個博士生叫艾倫菲斯特(PaulEhrenfest，1880—1933)，這構(gòu)成了一個黑體輻射研究的學(xué)術(shù)鏈條。1884年，玻爾茲曼考察用光(氣)作為工作介質(zhì)的熱機，又得到了這個關(guān)于輻射能力的公式[LudwigBoltzmann，übereinevonHrn.BartolientdeckteBeziehungderW?rmestrahlungzumzweitenHauptsatze(論巴托利先生發(fā)現(xiàn)的熱輻射同第二定律之間的關(guān)系)，AnnalenderPhysik22，31-39(1884)；LudwigBoltzmann，AbleitungdesStefan'schenGesetzes，betreffenddieAbh?ngigkeitderW?rmestrahlungvonderTemperaturausderelectromagnetischenLichttheorie(關(guān)于由電磁的光理論出發(fā)得到的熱輻射對溫度依賴關(guān)系的斯特藩公式的推導(dǎo))，AnnalenderPhysik22，291-294(1884)]。玻爾茲曼的熱力學(xué)推導(dǎo)從熱力學(xué)主方程dU

=

TdS-pdV出發(fā)，得，也即，利用定義，以及對于輻射氣體的輻射壓關(guān)系p

=u/3，得到，故得解u

∝

T4，進而有J

=uc

=

σT4，其中c是光速。{我都想說，不包含這個內(nèi)容的熱力學(xué)教科書都是不合格的}

在這篇文章中，玻爾茲曼指出，所謂空腔里的輻射處于平衡態(tài)即為穿過其中任意體積的閉合表面的流為零的狀態(tài)，這其實是關(guān)于平衡態(tài)的一般判據(jù)。對于空腔輻射，由此得出4πK

=

uc，其中K是強度，而u是能量密度。因為黑體輻射的平衡對所有的波長或者頻率是成立的，故有4πKλ

=

uλc，或者。玻爾茲曼的公式是來自熱力學(xué)的結(jié)果，它是對可能的譜分布函數(shù)之形式的強約束。斯特藩的公式是關(guān)于發(fā)射流的，J

=

σT4，玻爾茲曼的公式應(yīng)該是關(guān)于空腔里的能量密度的，u

∝

T4，兩者可當作是一回事兒，J

=

uc。玻爾茲曼的最大貢獻，是為黑體輻射研究準備了量子的概念和統(tǒng)計的方法。1872年，為了得到麥克斯韋分布，玻爾茲曼假設(shè)分子的動能是量子化的，為ε，2ε，3ε，???，注意不是從0開始的[LudwigBoltzmann，WeitereStudierenberdieW?rmegleichgewichtunterGasmoleklen(氣體分子熱平衡的深入研究)，WienerBerichte，II66，275-370(1872)]。1877年，玻爾茲曼為了得到麥克斯韋分布，他假設(shè)分子的動能是量子化的且計數(shù)從0開始?？疾煲粋€n個粒子的體系，每個粒子具有0，1，2，???p個能量單位的能量，則總能量一定的平衡態(tài)是什么樣子？這就是在約束條件下求分布數(shù)最大對應(yīng)的分布，結(jié)果得np∝e-βp，此即麥克斯韋分布。玻爾茲曼在這里對分子動能的計數(shù)從0開始，這個0能量具有特殊的地位。分子動能為0讓我覺得不好理解。下文我們會看到在艾倫菲斯特1911年的論文中，諧振子的量子化能量也是從n=0開始的，并有關(guān)于n=0之必要性的討論。這里的妙處，下文會仔細考慮。存在n=0是有費米—狄拉克統(tǒng)計的前提。圖6維恩于1911維恩這個名字因黑體輻射研究而聞名，他幾乎是唯一的黑體輻射理論與實驗雙料研究者，于1911年因熱輻射的研究獲得諾貝爾物理學(xué)獎(圖6)。維恩是我心目中大神級的物理學(xué)家。維恩是亥爾姆霍茲的博士生，1882年起念的是哥廷恩和柏林大學(xué)，1886年獲得博士學(xué)位(那時候普魯士的大學(xué)生四年獲得博士學(xué)位好像是制度，相當于如今的碩士班畢業(yè)，待考。另外，普魯士的大學(xué)生要讀兩個大學(xué)。普朗克大學(xué)讀的分別是慕尼黑大學(xué)和柏林大學(xué)。)。維恩于1883—1885年間在亥爾姆霍茲的實驗室工作，1890年到柏林帝國物理技術(shù)研究機構(gòu)(Physikalisch-TechnischenReichsanstaltinBerlin，PTR)工作(黑體輻射就是在這里被實驗+理論地研究清楚的)，1893年發(fā)現(xiàn)維恩位移定律[W.Wien，EineneueBeziehungderStrahlungschwarzerK?rperzumzweitenHauptsatzderW?rmetheorie(黑體輻射與熱學(xué)第二定律之間的一個新關(guān)系)，SitzungberichtederK?niglichPreu?ischenAkademiederWissenschaften(Berlin)1，55-62(1893)]。維恩在1894年引入了電磁輻射熵的概念[WilhelmWien，TemperaturundEntropiederStrahlung(輻射體的溫度與熵)，AnnalenderPhysik288(5)，132-165(1894)]4)，在文章中還瞎猜了黑體輻射可能的譜分布(圖7)。維恩考察處于熱平衡下內(nèi)有輻射之空腔的絕熱膨脹，空腔緩慢收縮時腔壁反射能量的變化和頻率變化一致，從而得出ν/T是絕熱不變量的結(jié)論，進一步地得到了所謂的維恩譜分布公式[WilhelmWien，überdieM?glichkeiteinerelektromagmetischenBegründungderMechanik(論力學(xué)基于電磁學(xué)的可能性)，AnnalenderPhysik，501-513(1900)]。實驗方面，維恩1895年制作了黑體輻射源，給出了建造黑體輻射源的原則[O.Lummer，W.Wien，überdieEnergievertheilungimEmissionsspectrumeinesschwarzenK?rpers(論黑體輻射譜的能量分布)，AnnalenderPhysikundChemie.NeueFolge.Band58，612-669(1896)]。更多細節(jié)見下文。在這個討論過程中，腔體內(nèi)壁不僅不是黑體，維恩甚至討論腔壁是鏡子的情形。這部分的詳細討論見于Wannier的教科書[G.H.Wannier，StatisticalPhysics，DoverPublications(1987)]。此外值得一提的是，1900年維恩假設(shè)所有的質(zhì)量都有電磁起源，并給出了等價關(guān)系。更多關(guān)于質(zhì)能關(guān)系的討論見下文及拙著《相對論—少年版》圖7維恩在1894年的文章中瞎猜的黑體輻射譜分布。這個瞎猜的譜分布和實際差不多。對于維恩這樣的既親手測量又懂物理還熟悉經(jīng)典概率函數(shù)的人來說，這個結(jié)果好理解必須承認，杜隆—珀替的實驗以及斯特藩的數(shù)值擬合都很酷，維恩的文章我一時轉(zhuǎn)不過來彎兒，其中有許多的舊概念我不熟悉，推導(dǎo)也生硬，等筆者將來認真研究后再另文介紹。更重要的、也令我非常驚訝的是，維恩在1894年就用了功量子(Arbeitsquantum，就是能量量子)這個詞(圖8)。實際上，在1900年維恩還用了daselectrischeundmagnetischeQuantum(電與磁的量子)這個詞。老天，量子這個詞在普朗克師1900年研究黑體輻射之前那段時間的文獻中已經(jīng)很普遍了，更別提黎曼(BernhardRiemann，1826—1866)1859年的和玻爾茲曼1872和1877年的工作了。筆者愿意再次強調(diào)，量子的概念遠早于普朗克的工作，正如質(zhì)能關(guān)系遠早于愛因斯坦的工作。圖8維恩1894年論文中所含的Arbeitsquantum字樣。此篇文章署名為WillyWien，收錄在維恩自己的WilhelmWien，DasWienscheVerschiebungsgesetz(維恩位移定律)，Verone(1928)一書中用不透明的物體圍成一個封閉的空腔。處于熱平衡態(tài)的空腔，其中的光也會達到一個穩(wěn)衡分布。在空腔的壁上開一個小孔漏光，相當于這個位置吸收了所有從內(nèi)部加于其上的輻射，故此處是完美黑體——從空腔壁上小孔漏出的光等價于黑體輻射，這是黑體輻射實驗研究的理論基礎(chǔ)，是當年基爾霍夫提出的。用什么物理量來描述黑體輻射呢，或者說如何描述空腔輻射和黑體輻射呢？為了照應(yīng)后來的光的能量量子ε=hν

的概念，本文中堅持針對頻率ν來展開關(guān)于黑體輻射的討論。如果偏重于空腔輻射，熱平衡時空腔里有穩(wěn)定的光場分布，各向同性、均勻、無偏振，顯然能量的體積密度是一個恰當?shù)奈锢砹?，量綱應(yīng)為J·m-3。如果關(guān)切不同頻率的光對平衡時能量體積密度的貢獻，可引入能量的譜密度(spectralenergydensity)，ρν，ρνdν的量綱應(yīng)是J·m-3。等到普朗克公式出來以后，其中的項是頻率為ν的光子在溫度T

下貢獻的平均能量，則它前面的系數(shù)的量綱就該是m-3，看看普朗克公式，前面的因子之量綱還真就是體積的倒數(shù)。我總以為，物理公式的圖像要寫對。圖像清楚，公式的形式便一目了然。如這個空腔輻射的普朗克譜分布公式，正確不正確的再說，乍看起來它沒毛病，而且看起來挺舒服(圖9)。其實，普朗克公式就是一個合適的開關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不明白的同學(xué)請多學(xué)學(xué)法國的統(tǒng)計物理教材。{我負責任地說，英德法三種文本的物理教科書的風格、側(cè)重點絕對不一樣}

簡單地說，統(tǒng)計的概率累積就是一個從0單調(diào)地增加到1的開關(guān)函數(shù)，分布函數(shù)必然是這個開關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。強調(diào)一遍，分布函數(shù)的共同特征是：它們是某個開關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)！圖9許多文獻中出現(xiàn)的黑體輻射曲線。這一看就是沒有實驗感覺的人拿函數(shù)畫的圖。地球上的固體物質(zhì)，熔點最高的要數(shù)炭，但也不過4000℃左右(不好確定其熔點哦。想想為什么)。5500K下的黑體輻射曲線，肯定不是基于實驗測量值如果要描述某個黑體表面的輻射，那是個動態(tài)的圖像，發(fā)射能力(反過來是輻照度)是個合適的物理量，即從輻射體的單位面積上、在單位時間內(nèi)、向空間的單位立體角內(nèi)(或者向整個半空間內(nèi))輻射的能量，其量綱應(yīng)該是J·m-2s-1，如果關(guān)切不同頻率的光對發(fā)射能力或輻照度的貢獻，可引入譜發(fā)射強度(spectralradiance)，Bν，則Bνdν的量綱應(yīng)該是J·m-2s-1。比如，瑞利—金斯公式(Rayleigh—Jeansformula)可寫為的形式。經(jīng)典統(tǒng)計物理指出，氣體的粒子數(shù)密度ρ同其撞擊壁的流強度J

存在關(guān)系，v是速率。將光設(shè)想成由某種粒子組成的氣體，考察單一頻率的情形，粒子數(shù)和能量成正比，則輻射的能量譜密度ρν同譜發(fā)射強度Bν之間的關(guān)系為。黑體輻射研究中會經(jīng)常用到這個關(guān)系。自黑體輻射的問題被擺上桌面以來，許多人從階段性研究中就獲得了一些有意義的成果。1887年，俄國人邁克耳孫(ВладимирАлександровичМихельсон，1860—1927)結(jié)合Stefan—Boltzmann公式和一個關(guān)于輻射發(fā)射的統(tǒng)計假設(shè)，得出了輻射公式[Опыттеоретическогообъясненияраспределенияэнергиивспектретвердоготела(固體輻射譜中能量分布的理論解釋)，СПб.(1887)]。韋伯(HeinrichFriedrich

Weber,1843—1912)在1888年批評了邁克耳孫推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)，同時給出了自己的公式[HeinrichFriedrichWeber，UntersuchungenüberdieStrahlungfesterK?rper(關(guān)于固體輻射的研究)，Berl.Ber.933-957(1888)]，但這個公式因形式就失去了正確的可能性。維恩譜分布公式是1896年得到的[WilhelmWien，Onthedivisionofenergyintheemission-spectrumofablackbody，PhilosophicalMagazine，Series5，43(262)，214-220(1897)]。維恩研究的是光作為工作氣體的圓柱狀熱機，一端可以移動活塞以改變體積，被移動的活塞反射的光因為多普勒效應(yīng)而波長變長。維恩首先得到的位移定理，指的是譜線的整體位移(當然有變形)，謂ν/T是個絕熱不變量。用頻率表示，就是平衡態(tài)時能量密度譜分布為uν=ν-3?(ν/T)。這樣，從前尋找一個關(guān)于頻率和溫度兩個變量的普適函數(shù)的任務(wù)變成了尋找一個單一變量的普適函數(shù)。在維恩的原文中，譜分布公式的形式為，是空腔中能量體積密度的譜分布。維恩的黑體輻射譜發(fā)射強度，根據(jù)如今的普朗克常數(shù)，我愿意寫成如下形式，。維恩公式是基于他自己測量得到的數(shù)據(jù)，他是有感覺的。維恩公式滿足維恩位移定律和Stefan—Boltzmann定律。改寫公式成的形式，進一步地有，這樣就能看到，若ν/T是不變量(即滿足維恩位移定律)，則有關(guān)系。維恩分布和未來的普朗克分布在低溫高頻情形下重合，這一點是維恩公式的亮點，也是未來哪怕是量子論被提出來以后它依然不斷被用來做物理的基礎(chǔ)。維恩公式基于絕熱不變量(adiabaticinvariance)的概念。愚以為，這就有深意了。這里暗合時間和溫度的內(nèi)在關(guān)系，或與量子多體理論中T+it

的表達式之思想基礎(chǔ)同。維恩分布函數(shù)得自分子動力學(xué)的考慮，是建立在“輻射是如何從振動分子發(fā)射出來的”此一相當隨意的假設(shè)基礎(chǔ)上的，因此受到了瑞利爵士的強烈批判，認為其假設(shè)不過是猜測而已。后來，普朗克也不得不做了一些假設(shè)(Planckhadalsobeencompelledtomakeassumptionsthatweresomewhatarbitrary)，也招致了維恩受到的類似批評。這里有用局部實驗數(shù)據(jù)同函數(shù)的吻合來導(dǎo)出理論的湊合行為，但不是問題的全部。關(guān)于黑體輻射的理論研究，其中涉及隨意假設(shè)的內(nèi)在需求，這也是我們學(xué)習(xí)黑體輻射理論的難點，下文會格外著墨。到了1896年，黑體輻射有了基