第2章數(shù)據(jù)表示、運(yùn)算與校驗(yàn)主要介紹：①數(shù)字型數(shù)據(jù)的計(jì)數(shù)制、符號數(shù)的表示、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)；②基本的運(yùn)算方法；③字符的表示；④常用的數(shù)據(jù)校驗(yàn)方法；1/322.1.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制※數(shù)制的基與權(quán)在任一數(shù)制中，每一個數(shù)位上允許使用的記數(shù)符號的個數(shù)被稱為該數(shù)制的基數(shù)。每1位都對應(yīng)1個表示該位在數(shù)碼中的位置的值，這個值就稱為數(shù)位的權(quán)值w。[例]

12810，110122.1數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示方法

W=102W=232/32（1）2進(jìn)制：0、1（2）8進(jìn)制：0、1、2、…、7（3）16進(jìn)制：0、…、9、A、B、C、D、E、F1.常用的幾種進(jìn)位制2.進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換（1）整數(shù)

10

2(除2取余法)（2）小數(shù)10

2(乘2取整法)（3）整數(shù)

2

10(按權(quán)相加)（4）小數(shù)2

10(按權(quán)相加)（5）16進(jìn)制?2進(jìn)制(逐位轉(zhuǎn)換/分組轉(zhuǎn)換)3/3229(1)2910→X22141270231211201高位低位(2)0.687510→X2除2取余乘2取整0.6875×2=1.37510.375×2=0.7500.75×2=1.510.5×2=1.01低位高位X2=111012X2=0.10112(3)1101.112→X10X10=1×23=13.7510按權(quán)相加+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-24/32(4)1111012→X16X16=111101=00111101(5)28AF16→X2X2=28AF(6)28AF16→X10X10=28AF==1041510=0010=0011

1101=3D161000101011112×163+8×162+10×161+15×160按權(quán)相加逐位轉(zhuǎn)換4位分組、按組轉(zhuǎn)換5/322.1.2帶符號數(shù)的表示數(shù)的符號表示規(guī)則：“0”表示正號“+”，“1”表示負(fù)號“-”01001010+1001010-100101011001010一個二進(jìn)制數(shù)，用0-1代碼表示符號，數(shù)值位不變就得到與該二進(jìn)制數(shù)真值對應(yīng)的原碼真值原碼1、原碼二進(jìn)制數(shù)的碼制：原碼、反碼、補(bǔ)碼和移碼6/32字長為8位的原碼表示范圍為：-127～+127

[+127]原

=01111111

[–127]原

=11111111數(shù)值“0”有兩種原碼形式：

[+0]原=00000000

[-0]原=100000007/322、反碼②負(fù)數(shù)情況符號位保持為“1”，數(shù)值位分別“按位取反”①

正數(shù)情況X反=X原（X≥0）[例]

X=

-1101001

(真值-105)X原=1

1101001X反=1

0010110[例]

X=

+1101001(真值+105)

X反=X原=0

11010018/32字長8位的反碼表示范圍為：-127～+127

[+127]反=01111111

[-127]反=10000000數(shù)值“0”也有兩反碼形式:[+0]反=00000000[-0]反=1111111119/32※補(bǔ)碼的編碼規(guī)則：3、補(bǔ)碼(a)對于正數(shù)(字長8位)

[X]補(bǔ)=[X]原

(即X≥0時)(b)對于負(fù)數(shù)(字長8位)符號位仍保持為“1”其余各數(shù)值位“按位取反,末位再加1”

[X]補(bǔ)=[X]反+…1

(即X<0時)10/32編碼定義：[X]補(bǔ)=X+2n(模2n)，n為編碼位數(shù)字長8位的補(bǔ)碼表示范圍為：-128～+127

[+127]補(bǔ)=01111111；

[-128]補(bǔ)=1

0000000※注意補(bǔ)碼比原碼和反碼多表示1個負(fù)值，即-128數(shù)值“0”只有1種補(bǔ)碼形式：

[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=

0000000011/32二進(jìn)制代碼無符號數(shù)值原碼值反碼值補(bǔ)碼值0000000000000001┆0111111001111111100000001000000110000010┆11111101111111101111111101┆126127128129130┆253254255+0+1┆+126+127-0-1-2┆-125-126-127+0+1┆+126+127-127-126-125┆-2-1-0+0+1┆+126+127-128-127-126┆-3-2-112/324、原碼和補(bǔ)碼之間的轉(zhuǎn)換(1)已知[X]原，求[X]補(bǔ)[例]已知[X]原=10011010，求[X]補(bǔ)

解：[X]原=

10011010

↓↓↓↓↓↓↓↓11100101+

1[X]補(bǔ)=11100110符號位不變，其余各位變反原碼為負(fù)數(shù)末位加113/32+1

(2)已知[X]補(bǔ)，求[X]原

[[X]補(bǔ)]補(bǔ)=[X]原[例]已知[X]補(bǔ)=11101100，求[X]原解：[X]補(bǔ)=

11101100

↓↓↓↓↓↓↓↓

10010011[X]原=10010100符號位不變，其余各位變反補(bǔ)碼為負(fù)數(shù)末位加114/32+1(3)求補(bǔ)(變補(bǔ))，即已知[X]補(bǔ)，求[-X]補(bǔ)[X]補(bǔ)的代碼連同符號位一起變反，末位再加1，即得到[-X]補(bǔ)[例]已知[X]補(bǔ)=01010110，求[-X]補(bǔ)解：[X]補(bǔ)=01010110

↓↓↓↓↓↓↓↓10101001

[-X]補(bǔ)=10101010不區(qū)分正負(fù)數(shù)連同符號位一起變反末位加115/325、移(增)碼上述規(guī)則等價于將x正向平移或者增加2n-1

，因此稱之為移碼或增碼。移碼通常用于表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。階碼一般為整數(shù)，故移碼通常只用于表示整數(shù)對定點(diǎn)整數(shù)x，它的移碼是：

[x]移＝2n-1＋x，其中-2n-1<x<2n-1這里的n為X原位數(shù)16/32[例]階碼的為6位，X表示其真值

X移＝25＋X（-25＜X＜25）[例]當(dāng)正數(shù)X＝+10101時,

X移＝25+X=110101

當(dāng)負(fù)數(shù)X＝-10101時,

X移＝25+X＝25-10101

＝001011移碼表示范圍與補(bǔ)碼一致，0也只有1個移碼。正數(shù)：將原碼符號位變反，即得到移碼。負(fù)數(shù)：將原碼連同符號位一起變反，末位再加1，即得到移碼(與變補(bǔ)等效)。補(bǔ)碼和移碼:

符號相反、數(shù)值位相同17/321、定點(diǎn)數(shù)的表示2.1.3定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)．01011101數(shù)值部分符號位小數(shù)點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)固定在同一位置不變。①帶符號的定點(diǎn)小數(shù)約定所有數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的位置，固定在符號位之后。字長n+1位，則表示范圍為：-(1-2-n)

～1-2-n18/32②帶符號的定點(diǎn)整數(shù)

0101110

．1數(shù)值部分符號位小數(shù)點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)的位置固定在最低數(shù)值位之后字長n+1位，則數(shù)的表示范圍為：-(2n-1)～2n-119/32③無符號定點(diǎn)整數(shù)若代碼序列為XnXn-1…X1X0，共n+1位，則有：典型值真值代碼序列最大正數(shù)2n+1-111…1111最小非零正數(shù)100….001表示范圍為:小數(shù)點(diǎn)的位置固定在最低數(shù)值位之后

0~（2n+1-1）分辨率為:

120/3210000000補(bǔ)～01111111補(bǔ)無符號數(shù)：定點(diǎn)整數(shù):定點(diǎn)小數(shù):00000000～11111111025511111111原～01111111原-127127-1281271.1111111原～0.1111111原-(1-2-7)(1-2-7)1.0000000補(bǔ)～0.1111111補(bǔ)-1(1-2-7)※字長8位的定點(diǎn)數(shù)的表示范圍21/322、浮點(diǎn)數(shù)的表示原理①浮點(diǎn)表示中，小數(shù)點(diǎn)的位置可按需浮動格式模型：階符階碼位

．?dāng)?shù)符．尾數(shù)位階碼（帶符號的定點(diǎn)整數(shù)）尾數(shù)（帶符號的定點(diǎn)小數(shù)）隱含小數(shù)點(diǎn)隱含小數(shù)點(diǎn)22/32②引入浮點(diǎn)數(shù)表示的意義[例]某字長為8位的原碼二進(jìn)制數(shù)定點(diǎn)數(shù)：11111111~01111111-127

127-(1-2-7)

1-2-7精度：1精度：2-7浮點(diǎn)數(shù)：5位階碼+3位尾數(shù)215×(-0.75)

~

215×0.75精度：11111001=2-15×0.2501111111~01111011整數(shù)：小數(shù)：相同字長時，浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍更大、精度更高！23/32浮點(diǎn)數(shù)真值：N=±RE×M

階碼E尾數(shù)M階符數(shù)符R：階碼的底數(shù)，隱含約定為2。E：階碼，定點(diǎn)整數(shù)，補(bǔ)碼或移碼表示，其位數(shù)決定了數(shù)值的范圍；M：尾數(shù)，為定點(diǎn)小數(shù)，原碼或補(bǔ)碼表示，其位數(shù)決定著數(shù)的精度；數(shù)符表示數(shù)的正負(fù)。③浮點(diǎn)數(shù)的機(jī)器(存儲)格式EfE1…EmMfM1…Mn24/32④尾數(shù)M的規(guī)格化表示規(guī)格化的目的→使浮點(diǎn)數(shù)的表示代碼“唯一”128=0.128×103=1.28×102=12.8×101，…科學(xué)計(jì)數(shù)法約定：1≤|M|<10則規(guī)范形式：128=1.28×102（唯一）3.2=1.6×21=0.8×22=0.4×23,…可以表示成任意多個代碼形式約定尾數(shù)M的值域，使數(shù)的表示是唯一的、確定的→計(jì)算不便→尾數(shù)M的“規(guī)格”化25/32正數(shù)，規(guī)格化后最高數(shù)值位為“1”負(fù)數(shù)，規(guī)格化后最高數(shù)值位為“0”規(guī)格化以后尾數(shù)的最高有效位為“1”對于補(bǔ)碼：對于原碼：①浮點(diǎn)數(shù)用原碼表示時0-11-1/21/2-1≤M﹤-1/2

或1/2≤M﹤1②浮點(diǎn)數(shù)用補(bǔ)碼表示時1/2≤|M|﹤1M原=0.1000，1.1010M原=0.0010,1.0110如0.1010,0.1110非規(guī)格化如1.0010,1.0000-0.875-10.6250.87526/32最小浮點(diǎn)數(shù)最大浮點(diǎn)數(shù)為最大正數(shù)：[例1]階符1位、階碼m位，數(shù)符1位、尾數(shù)n位，如果表示成規(guī)格化補(bǔ)碼，分析各真值對應(yīng)的M、E取值情況。最小浮點(diǎn)正數(shù)為最大正數(shù)：2

-1m為最小負(fù)數(shù)：-1為最大正數(shù)：2

-1m1-2-n為最小負(fù)數(shù)：-2

m為最小正數(shù)：2-1最大浮點(diǎn)負(fù)數(shù)為最小負(fù)數(shù)：-2

m為最大負(fù)數(shù)：-(1/2+2-n)N=M×2E-1≤M<-1/2或1/2≤M<1=F(M,E)-2m≤E≤2m-1E→M→

E→M→

E→M→

E→M→

27/32[思考]某十六進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)A368000016，將其表示成補(bǔ)碼，字長32位，階碼8位（含1位階符），尾數(shù)24位（含1位數(shù)符），求該浮點(diǎn)數(shù)十進(jìn)制的真值。表示范圍：231

×(-1)[例2]某個用規(guī)格化補(bǔ)碼表示的浮點(diǎn)數(shù)，其中階碼6位(含1位階符),尾數(shù)10位(含1位數(shù)符)。絕對精度=2-32×0.5=2-33相對精度=2-9(即最小的非0正數(shù))：(只與尾數(shù)的數(shù)值位數(shù)有關(guān))：011111

100…00~011111

011…11231×

(1-2-9)100000

010…00xxxxxx

000…0128/323、※IEEE754格式的浮點(diǎn)數(shù)在上述的表示格式中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)；Ｅ=階碼，8位，采用移碼表示，階符隱含；Ｍ=尾數(shù)，23位，純小數(shù)表示，且真值=1+M；階碼E采用移碼形式，但只偏移27-1

（不是27）。

有32位浮點(diǎn)數(shù)（單精度）和64位浮點(diǎn)數(shù)（雙精度）①32位短浮點(diǎn)數(shù)：SEM3130

~

2322

~

029/32在上述表示格式中：Ｓ=浮點(diǎn)數(shù)的符號位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)；Ｅ=階碼，11位，采用移碼方式，階符隱含；Ｍ=尾數(shù)，52位，用純小數(shù)表示；對階碼E編碼時，只偏移210-1

（標(biāo)準(zhǔn)移