??#?要么p，要么q，要么r具有n個選言支的不相容的選言命題的形式可表示為：要么P1要么p2要么…要么pn不相容的選言命題的聯(lián)結詞可用符號“▽”表示。這樣，上述形式也可分別表示為：pgpVqVrPiVp2S?7pn這里的“?”可稱為不相容析取詞，pVq稱為不相容析取式，可讀作“p不相容析取q”。區(qū)別相容的選言命題和不相容的選言命題，可根據(jù)其聯(lián)結詞。從邏輯含義上說，不相容的選言命題比相容的選言命題多了一層含義，即選言支不同真?！盎蛘摺睕]有表示這層含義（“或者”本身并未表明選言支表示的事物情況事實上能否同真），而“要么”則表明了這層含義。在日常語言中，“或者……或者……，二者不可得兼”的含義相當于“要么……要么……”，前者表達的命題與后者表達的命題是邏輯等值的。2．不相容的選言命題的真假值不相容的選言命題斷定的是若干事物情況中只有一種情況存在，其真假取決于其各個選言支所表示的事物情況事實上是不是只有一種存在，即其各個選言支中是否只有一個是真的。如果一個不相容的選言命題只有一個選言支為真，那么，這個不相容的選言命題就是真的；如果有不止一個選言支為真，或者全部選言支都是假的，那么，這個不相容的選言命題就是假的。不相容選言命題與其選言支之間的真假值關系可概括為：一個不相容選言命題是真的，當且僅當其有一個選言支為真，而其他選言支都是假的。對于只有兩個選言支的不相容選言命題就是：pVq真，當且僅當p和q—真一假。與相容的選言命題一樣，不相容的選言命題的真假值也僅是就其邏輯含義而言的，它同樣忽略了選言命題在語言表達上的特點。這些特點前面已說過，不再重復。（四）運用選言命題時需注意的問題1.關于兩種選言命題的區(qū)分問題關于如何區(qū)分兩種不同的選言命題，目前在邏輯界有兩種不同意見：一是完全按照聯(lián)結詞來區(qū)分，聯(lián)結詞為“或者”的是相容的選言命題，聯(lián)結詞為“要么……要么……”的是不相容的選言命題。二是部分地按照聯(lián)結詞但不完全按照聯(lián)結詞來區(qū)分，聯(lián)結詞為“要么……要么……”的是不相容的選言命題，但聯(lián)結詞為“或者”的是哪一種選言命題要根據(jù)選言支的內容決定（選言支從內容上看可能同真的為相容的選言命題，選言支從內容上看不可能同真的為不相容的選言命題）。以上兩種意見分歧的焦點是：聯(lián)結詞為“或者”時，能否按照選言支的內容來確定選言命題的種類。我認為，按照選言支的內容來確定選言命題的種類的做法是不可取的。主要理由是：第一，這種做法從理論上說是沒有根據(jù)的。一個命題的邏輯含義并不決定于該命題的具體內容，而只取決于該命題中相當于邏輯常項的部分。因此，我們只能根據(jù)聯(lián)結詞“或者”本身的含義，來確定選言命題的種類。“或者”本身并不具有選言支不同真的意思，因而并不能表達出不相容的選言命題的邏輯含義。至于選言支事實上能否同真，與命題的邏輯含義并無關系。第二，這種做法從實踐上說也會造成種種困難。相容的選言命題按其含義，并不要求選言支一定能夠同真。但這種做法卻把選言支不能同真的選言命題一概排斥在相容的選言命題之外，這不符合人們運用選言命題的實際情況，而且可能引起不必要的麻煩。另外，對于那些人們無法或難以判斷其選言支能否同真的命題，這種做法也不具有可操作性。2.關于選言支的窮盡問題人們運用選言命題，往往是針對有關某一問題的若干可能情況做出斷定的。一個選言命題，如果其各個選言支反映了有關某一問題的全部可能情況，那么其選言支就是窮盡的，反之就是不窮盡的。在恰當?shù)厥褂寐?lián)結詞的情況下，一個選言支窮盡的選言命題一定是真實的，因為其選言支反映了有關某一問題的全部可能情況，在這全部可能情況中一定包含著（至少包含著或只包含著）一個真的情況。當然，一個選言支不窮盡的選言命題并不一定就是假的，因為其選言支雖然只反映了有關某一問題的一部分可能情況，但在這一部分情況中也可能包含著一個真的情況。一般說來，我們是在不知道哪個選言支為真的情況下運用選言命題的。因此，為了保證選言命題的真實性，我們必須充分考慮到各種可能，力求或盡可能使選言支窮盡，以免因遺漏了唯一真實的選言支而造成選言命題的虛假。分析與思考】下面是從《北京晚報》上摘錄的兩段話，其中包含的聯(lián)言命題是真實的嗎？（1）IT產品自上市的第一天起，就與摩爾法則（18個月計算機性能提高一倍，價格下降一倍）連在一起……（2）奧斯卡獎是美國電影工業(yè)的最高榮譽，也是世界范圍內最受關注的現(xiàn)場秀節(jié)目之一，在過去大明星和大片的缺席意味著電視收視率的下降，但是新面孔同樣會帶來新鮮的刺激。四、假言命題（一）什么是假言命題假言命題是斷定一事物情況是另一事物情況的條件的命題，即斷定兩種事物情況之間的條件關系的命題。假言命題由兩個支命題經“如果……那么……”或“只有……才……”等聯(lián)結詞聯(lián)結而成。這兩個支命題，一個是表示某種條件的，稱為前件，另一個是表示依某種條件而存在的情況的，稱為后件。假言命題與聯(lián)言命題和選言命題不同。聯(lián)言命題和選言命題可以由兩個支命題構成，也可以由三個或更多的支命題構成，而假言命題只由兩個支命題構成。聯(lián)言命題和選言命題注重的是支命題本身的真假，在支命題都假的情況下，無論是聯(lián)言命題還是選言命題都不可能是真的；而假言命題注重的則是支命題（前后件）之間的聯(lián)系，即使前后件都假，只要確實具有一定的條件關系，整個假言命題也可以是真的。所以，人們運用假言命題，可以針對某種假設的、事實上并不存在（或可能不存在）的事物情況來做出斷定。這對于科學探索、日常論辯等都有重要作用。這是假言命題的特殊之處。例：（1）發(fā)展旅游事業(yè)好不好（2）丘吉爾反譏女議員假言命題按照其斷定的不同的條件關系，可分為充分條件假言命題、必要條件假言命題和充分必要條件假言命題三種。（二）充分條件假言命題1．什么是充分條件假言命題充分條件假言命題是斷定一事物情況的存在是另一事物情況必然存在的條件的命題。一事物情況的存在是另一事物情況必然存在的條件，這種條件稱為充分條件。用p和q分別表示兩個事物情況，p是q的充分條件即是說，只要有p存在，必然有q存在。用《墨經》上的說法，就是“有之必然”。充分條件假言命題由“如果……那么……”等聯(lián)結兩個支命題構成。在日常語言中，與“如果……那么……”類似的關聯(lián)詞很多，如“如果……就……”、“如果……則……”、“若……則……”、“倘若……則……”、“只要……就……”、“假如……就……”、“要是……那么……”等等。這些關聯(lián)詞所表達的邏輯含義相同，在表示充分條件假言命題的形式時，我們僅以“如果……那么……”作為代表，即將其形式表示為：如果p，那么q我們也可用符號“T”代替“如果……那么……”，即將上述形式表示為：PTq這里的“T”稱為蘊涵詞，pTq稱為蘊涵式，可讀作“p蘊涵q”。在日常語言中，有時表達充分條件假言命題的聯(lián)結詞的詞語可以省略。2．充分條件假言命題的真假值充分條件假言命題斷定的是一事物情況的存在是另一事物情況必然存在的條件，其真假取決于其前、后件表示的事物情況事實上是不是具有這樣的條件關系，即是不是當其前件真時后件必真。如果當一個充分條件假言命題前件真時其后件必真，即當其前件真時其后件不可能假，那么這個充分條件假言命題就是真的；如果當一個充分條件假言命題前件真時其后件不必真，即當其前件真時其后件可能假，那么這個充分條件假言命題就是假的。（三）必要條件假言命題1．什么是必要條件假言命題必要條件假言命題是斷定一事物情況的不存在是另一事物情況必然不存在的條件的命題。一事物情況的不存在是另一事物情況必然不存在的條件，這種條件稱為必要條件。用p和q分別表示兩個事物情況，p是q的必要條件即是說，只要沒有p存在，必然沒有q存在。用《墨經》上的說法，就是“無之必不然”。必要條件假言命題由“只有……才……”等聯(lián)結兩個支命題構成。在日常語言中，與“只有……才……”類似的關聯(lián)詞還有“必須……才……”、“除非……才……”、“除非……不……”等。在表示必要條件假言命題的形式時，我們僅以“只有……才……”作為代表，即將其形式表示為：只有P,才q我們也可用符號代替“只有……才……”，即將上述形式表示為：pjq這里的稱為反蘊涵詞，pjq稱為反蘊涵式，可讀作“p反蘊涵q”。我們不難看出，蘊涵和反蘊涵是兩種相反的關系。當pTq真時，q~p必真；反之亦然。也就是說，當p是q的充分條件時，q—定是p的必要條件；反之亦然。2．必要條件假言命題的真假值必要條件假言命題斷定的是一事物情況的不存在是另一事物情況必然不存在的條件，其真假取決于其前、后件表示的事物情況事實上是不是具有這樣的條件關系，即是不是當其前件假時后件必假。如果當一個必要條件假言命題前件假時其后件必假，即當其前件假時其后件不可能真，那么這個必要條件假言命題就是真的；如果當一個必要條件假言命題前件假時其后件不必假，即當其前件假時其后件可能真，那么這個必要條件假言命題就是假的。（四）充分必要條件假言命題1．什么是充分必要條件假言命題充分必要條件假言命題是斷定一事物情況的存在和不存在分別是另一事物情況必然存在和必然不存在的條件的命題。一事物情況的存在和不存在分別是另一事物情況必然存在和必然不存在的條件，這種條件稱為充分必要條件。用p和q分別表示兩個事物情況，p是q的充分必要條件即是說，只要有p存在，必然有q存在；同時，只要沒有p存在，必然沒有q存在。也就是“有之必然，無之必不然”。顯然，充分必要條件就是既充分又必要的條件。充分必要條件假言命題由“當且僅當……才……”等聯(lián)結兩個支命題構成，其形式可表示為：當且僅當p,才q我們也可用符號“㈠”代替“當且僅當……才……”，即將上述形式表示為：poq這里的“分”稱為等值詞，poq稱為等值式，可讀作“p等值于q”。在日常語言中，人們很少用“當且僅當……才……”之類的說法，而是常常用“如果……那么……，并且，只有……才……”來表達與“當且僅當……才……”相同的意思。2．充分必要條件假言命題的真假值充分必要條件假言命題斷定的是一事物情況的存在和不存在分別是另一事物情況必然存在和必然不存在的條件，其真假取決于其前、后件表示的事物情況事實上是不是具有這樣的條件關系，即是不是當其前件真時后件必真，并且當其前件假時后件必假。如果當一個充分必要條件假言命題前件真時其后件必真，并且當其前件假時其后件必假，即當其前件真時其后件不可能假，并且當其前件假時其后件不可能真，那么這個充分必要條件假言命題就是真的；如果當一個充分必要條件假言命題前件真時其后件不必真，或者當其前件假時其后件不必假，即當其前件真時其后件可能假，或者當其前件假時其后件可能真，那么這個充分必要條件假言命題就是假的。（五）在運用假言命題時需注意的問題在運用假言命題時，應注意以下問題：第一，要正確區(qū)分三種不同的假言命題。假言命題的種類是依據(jù)其斷定的不同條件關系來區(qū)分的，而一個假言命題斷定了什么樣的條件關系，是由其聯(lián)結詞的邏輯含義決定的。因此，一個假言命題是充分條件假言命題、必要條件假言命題還是充分必要條件假言命題，僅取決于它具有什么樣的聯(lián)結詞，而不取決于它具有什么樣的前后件。在運用假言命題時，聯(lián)結詞的搭配適當也是十分重要的，不能將不同的聯(lián)結詞混用。第二，要如實地斷定事物情況之間的條件關系。事物情況間的條件關系是客觀存在的，我們運用假言命題的時候，必須按照事物情況之間實際具有的條件關系做出斷定，不能強加條件關系或混淆不同的條件關系。所謂強加條件關系，就是把本來沒有條件關系的兩個事物情況主觀任意地聯(lián)系起來，錯誤地斷定它們具有條件關系。例：（1）“四人幫”橫行時期的錯誤口號（2）封建迷信中的說法所謂混淆不同的條件關系，就是把充分條件誤當成必要條件，或者把必要條件誤當成充分條件。例：（1）貪污腐化與犯大錯誤（2）熟悉農村生活與寫出反映農村生活的好作品（3）婚姻糾紛案另外，在運用假言命題時，聯(lián)結詞的搭配適當也是十分重要的，不能將不同的聯(lián)結詞混用。例：“人最重要是找到屬于自己的世界，只要找到屬于自己的世界，人生才有意義?！保ㄓ捌额^文字D》中男主角拓海的女友夏樹講的一段話）五、復合命題的較復雜的形式以上我們介紹了幾種基本的復合命題，從我們上面所舉的那些復合命題的例子看，它們的支命題都是簡單命題，因而在表示它們的形式時，每一種形式中只出現(xiàn)了一個聯(lián)結詞。但是實際上，一個復合命題的支命題不一定是簡單命題，它也可以是復合命題。例：（1）并非張工程師既去過英國也去過法國。（2）小余在上海工作，去年或前年到過北京。（3）如果他報考GRE或TOEFL，他就去“新東方”學習。（4）只有甲隊戰(zhàn)勝了乙隊或者丙隊戰(zhàn)勝了乙隊，甲隊和丙隊才能都出線。不難看出，以聯(lián)結詞和命題變項作各種組合，可以構成許許多多較復雜或相當復雜的復合命題形式。但不管一個復合命題形式怎樣復雜，從其主聯(lián)結詞看，仍可將其歸入否定式、合取式、析取式、不相容析取式、蘊涵式、反蘊涵式和等值式這七種基本的復合命題形式。六、復合命題之間的等值轉換復合命題的形式是多種多樣的，但一些不同的復合命題形式之間卻存在著等值關系，即是說，它們的真假值總是相同：當其中一個的值為真時，另一個的值必真；當其中一個的值為假時，另一個的值必假。我們把命題形式之間存在的等值關系稱為邏輯等值關系。如果兩個命題存在著形式上的等值關系，我們就說這兩個命題具有邏輯等值關系（簡稱等值關系）。具有邏輯等值關系的命題，實際上是形式不同而邏輯含義相同的命題。因此，掌握了命題之間的邏輯等值關系，我們就可以把一些命題轉換為與之邏輯含義相同的其他命題。這種根據(jù)命題之間的邏輯等值關系進行的轉換，稱為等值轉換。下面介紹幾種常用的對復合命題進行等值轉換的規(guī)律。（一）雙重否定律雙重否定律反映了一個命題的負命題的負命題（即在一個命題前面加上兩個否定詞構成的命題）與這個命題之間的邏輯等值關系。這個規(guī)律可以表示為：-1-1AoA這里的A表示任一命題變項或命題形式，例如它可以是p、q、pAq、pTq等等。“o”是表示邏輯等值關系的符號，讀作“邏輯等值于”（或“等值于”）。雙重否定律表明，否定的否定等于肯定。其正確性顯而易見。運用雙重否定律，可以消去一個命題前面的重疊的否定詞，或在一個命題前面加上兩個重疊的否定詞。例：（1）并非不是中國人發(fā)明了火藥（2）所有進口商品都要繳納關稅（二）德摩根律德摩根律包括兩條規(guī)律，可分別稱為否定合取律和否定析取律。1．否定合取律否定合取律反映了一個聯(lián)言命題的負命題（在一個聯(lián)言命題前面加上否定詞構成的負命題）和相應的相容選言命題之間的邏輯等值關系。這個規(guī)律可表示為：-1（AaB）o-1Av-B這里的A和B分別表示任一命題變項或命題形式。這條規(guī)律的正確性是很容易理解的。「（AAB）可理解為合取式AAB的值為假，而要使AAB的值為假，A和B應至少有一個為假，這正是「AV^B的意思。運用否定合取律，可以把一個聯(lián)言命題的負命題轉換為與之邏輯等值的相容選言命題，或者相反。例：（1）并非這種商品既物美又價廉（2）他不買國庫券，或者不買股票2．否定析取律否定析取律反映了一個相容選言命題的負命題（在一個相容選言命題前面加上否定詞構成的負命題）和相應的聯(lián)言命題之間的邏輯等值關系。這個規(guī)律可表示為：-1（AvB）o-1Aa-B這條規(guī)律的正確性也是很容易理解的?！福ˋVB）可理解為析取式AVB的值為假，而要使AVB的值為假，A和B必須都為假，這正是「AA^B的意思。運用否定析取律，可以把一個相容選言命題的負命題轉換為與之邏輯等值的聯(lián)言命題，或者相反。例：（1）并非他會英語或者會日語（2）張麗和李薇都不是會計系的德摩根律包括的兩條規(guī)律，可以結合起來這樣來記：否定合取得析取，兩個支命題分別被否定；否定析取得合取，兩個支命題分別被否定。（三）假言變形律假言變形律反映了不同的假言命題之間的邏輯等值關系。它包括前后件換質律、前后件換位律和前后件換質位律。1．前后件換質律所謂前后件換質，就是同時改變一個假言命題前件和后件的質（即肯定變否定或否定變肯定）。表示前后件換質律的邏輯等值關系表達式較多，主要有：）AtBo「A——B）A—B-A—》―B）AoBo「Ao「B運用前后件換質律，可以把一個充分條件假言命題轉換成與之邏輯等值的必要條件假言命題，也可以把一個必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的充分條件假言命題，還可以把一個充分必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的另一個充分必要條件假言命題。例：（1）如果明天有課，我就去學校（2）他只有會英語，才能翻譯英文著作（3）當且僅當今天是星期六，明天才是星期日2．前后件換位律所謂前后件換位，就是交換一個假言命題前件和后件的位置（即前件變后件，后件變前件）。表示前后件換位律的邏輯等值關系表達式有兩個：）AtBoBjA）AoBoBoA與運用前后件換質律一樣，運用前后件換位律，也可以把一個充分條件假言命題轉換成與之邏輯等值的必要條件假言命題，或者把一個必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的充分條件假言命題，或者把一個充分必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的另一個充分必要條件假言命題。例：（1）如果他是影星，那么他就演過電影（2）他只有會英語，才能翻譯英文著作（3）當且僅當今天是星期六，明天才是星期日3．前后件換質位律所謂前后件換質位，就是既同時改變一個假言命題前件和后件的質，又交換其前件和后件的位置。表示前后件換質律的邏輯等值關系表達式較多，主要有：）AtBo「Bt「A）A—B-B—A）AoBo「Bo「A前后件換質位律實際上可看作前后件換質律與前后件換位律的結合或連續(xù)運用。運用前后件換質位律，可以把一個充分條件假言命題轉換成與之邏輯等值的另一個充分條件假言命題，或者把一個必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的另一個必要條件假言命題，或者把一個充分必要條件假言命題轉換成與之邏輯等值的另一個充分必要條件假言命題。例：（1）如果他是影星，那么他就演過電影（2）某數(shù)只有能被3整除，它才能被9整除（3）當且僅當今天是星期六，明天才是星期日前后件換質律、前后件換位律和前后件換質位律的邏輯等值關系表達式不必死記硬背。我們只需記住運用這些規(guī)律對假言命題進行等值轉換的方法即可。通過前后件換質、前后件換位和前后件換質位對假言命題進行等值轉換的方法可總結如下：前后件換質，充分變必要，必要變充分；前后件換位，充分變必要，必要變充分；前后件換質位，充分得充分，必要得必要；前后件換質、換位或換質位，充要得充要。掌握假言變形律，能使我們深入理解各種假言命題的含義，并在各種假言命題之間進行等值轉換，這對于正確認識事物情況之間的條件聯(lián)系和有效地進行論證，都有重要的實際意義。在數(shù)學中，常采用通過證明一個假言命題的逆否命題來證明該假言命題的方法，這里所謂逆否命題，即是通過對原假言命題進行前后件換質位得出的命題。第二節(jié)復合命題推理復合命題推理是至少含有一個復合命題，并根據(jù)復合命題的邏輯含義進行的推理。它可以由復合命題和簡單命題共同構成，也可以完全由復合命題構成。復合命題推理種類繁多，主要包括聯(lián)言推理、選言推理、假言推理、二難推理以及根據(jù)雙重否定律進行的推理、根據(jù)德摩根律進行的推理等。一、聯(lián)言推理（一）什么是聯(lián)言推理聯(lián)言推理是以一個聯(lián)言命題為前提或結論，并根據(jù)聯(lián)言命題的邏輯含義進行的推理。例：（1）公司的休息日（2）李白和杜甫聯(lián)言推理有兩種不同形式，一種是分解式，一種是組合式。（二）聯(lián)言推理的分解式聯(lián)言推理的分解式是從一個聯(lián)言命題推出做其聯(lián)言支的一個命題的推理形式。運用聯(lián)言推理的分解式，可以起到突出、強調事物的某一方面的作用。例：（1）尊重知識（2）古代中國有邏輯學說（三）聯(lián)言推理的組合式聯(lián)言推理的組合式是從兩個或兩個以上命題推出由這些命題做聯(lián)言支構成的聯(lián)言命題的推理形式。運用聯(lián)言推理的組合式，可以把人們對事物各個方面的認識集中起來，形成一個較全面的認識。例：（1）《天龍八部》和《神雕俠侶》（2）黃老師哪天有課二、選言推理（一）什么是選言推理選言推理是以一個選言命題和若干否定或肯定其選言支的命題為前提，并根據(jù)選言命題的邏輯含義進行的推理。例：（1）電燈滅了的原因（2）投影儀色彩失真的原因選言推理按照其選言前提是相容的選言命題，還是不相容的選言命題，可以分為相容選言推理和不相容選言推理兩種。（二）相容選言推理相容選言推理是前提中有一個相容的選言命題，并根據(jù)相容的選言命題的邏輯含義進行的選言推理。相容的選言命題斷定的是若干事物情況中至少有一種情況存在，即其選言支中至少有一個為真。按照這種含義，一個相容的選言命題的選言支不能都假，但有幾個為真則不確定。因此，在運用相容選言推理時須遵守以下規(guī)則：1．否定除一個以外的其他全部選言支，就要肯定那個剩下的選言支。2．肯定一個或一部分選言支不能得出結論。根據(jù)上述規(guī)則，相容選言推理只有一種有效形式，稱為否定肯定式。所謂否定肯定式，就是從否定到肯定的形式，即前提中否定選言命題除一個以外的其他全部選言支，結論肯定那個剩下的選言支。例：（1）買房（2）學習成績不好的原因（三）不相容選言推理不相容選言推理是前提中有一個不相容的選言命題，并根據(jù)不相容的選言命題的邏輯含義進行的選言推理。不相容的選言命題斷定的是若干事物情況中只有一種情況存在，即選言支中只有一個為真。按照這種含義，一個不相容的選言命題的選言支不能都假，也不能有兩個或兩個以上同真。因此，在運用不相容選言推理時須遵守以下規(guī)則：1．否定除一個以外的其他全部選言支，就要肯定那個剩下的選言支。2．肯定一個選言支，就要否定其他全部選言支。根據(jù)上述規(guī)則，不相容選言推理有兩種有效形式，即否定肯定式和肯定否定式。不相容選言推理的否定肯定式與相容選言推理的否定肯定式類似，只不過其選言前提是一個不相容的選言命題。例：（1）住宿生與走讀生（2）投票不相容選言推理的肯定否定式是從肯定到否定的形式，即前提中肯定選言命題的一個選言支，結論否定其他全部選言支。例：（1）合法的與違法的2）歷史文化遺產（四）運用選言推理時需注意的問題在運用選言推理時，需注意以下兩個問題：第一，要注意相容選言推理和不相容選言推理的區(qū)別。相容選言推理的選言前提是相容的選言命題，不相容選言推理的選言前提則是不相容的選言命題。不相容選言推理有否定肯定式和肯定否定式兩種有效形式，而相容選言推理卻只有否定肯定式一種有效形式。如果一個相容選言推理的形式為肯定否定式，那么該推理就是無效的。例：（1）質量差的影片（2）鄭人買履第二，要注意選言前提的選言支是否窮盡。前面我們介紹了選言推理的幾種有效形式，運用這些推理形式只有在前提真實的情況下，才能必然得出真實的結論。而要保證選言前提真實，選言支的窮盡問題是一個不可忽視的問題。如果選言前提的選言支不窮盡，而遺漏的又恰恰是真實的選言支，那么，就可能得出虛假的結論。例：（1）持竿進城（2）趙海之死三、假言推理（一）什么是假言推理假言推理是以一個假言命題和一個肯定或否定其前件或后件的命題為前提，并根據(jù)假言命題的邏輯含義進行的推理。例：長生不老之術假言推理按照其假言前提是充分條件假言命題、必要條件假言命題還是充分必要條件假言命題，可分為充分條件假言推理、必要條件假言推理和充分必要條件假言推理。（二）充分條件假言推理充分條件假言推理是以一個充分條件假言命題為假言前提構成的假言推理，它是以充分條件假言命題的邏輯含義作為依據(jù)的。充分條件假言命題斷定的是其前件表示的事物情況是后件表示的事物情況的充分條件，即有前者必有后者，亦即前件真后件必真。按照這種含義，一個充分條件假言命題不能前件真而后件假。也就是說，一個充分條件假言命題，當其前件真時，后件不能為假；當其后件假時，前件不能為真。但當其前件假時，后件的真假則不能確定；當其后件真時，前件的真假也不能確定。因此，在運用充分條件假言推理時，須遵守以下規(guī)則：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定后件就要否定前件。3．否定前件不能得出結論。4．肯定后件不能得出結論。根據(jù)這些規(guī)則，充分條件假言推理有肯定前件式和否定后件式兩種有效形式。例：（1）張思德（2）吸煙（3）清明上河圖（4）女人與鴨子（5）無作案時間（6）非典（7）算命運用充分條件假言推理時，不能從否定假言前提的前件或肯定其后件推出結論，否則就會導致無效的推理。例：（1）有作案時間（2）全勤為什么不能評一等獎（三）必要條件假言推理必要條件假言推理是以一個必要條件假言命題為假言前提構成的假言推理，它是以必要條件假言命題的邏輯含義作為依據(jù)的。必要條件假言命題斷定的是其前件表示的事物情況是后件表示的事物情況的必要條件，即無前者必無后者，亦即前件假后件必假。按照這種含義，一個必要條件假言命題不能前件假而后件真。也就是說，一個必要條件假言命題，當其前件假時，后件不能為真；當其后件真時，前件不能為假。但當其前件真時，后件的真假則不能確定；當其后件假時，前件的真假也不能確定。因此，在運用必要條件假言推理時，須遵守以下規(guī)則：1．否定前件就要否定后件。2．肯定后件就要肯定前件。3．肯定前件不能得出結論。4．否定后件不能得出結論。根據(jù)這些規(guī)則，必要條件假言推理有否定前件式和肯定后件式兩種有效形式。例：（1）申報高級職稱（2）選舉權（3）反映農村生活的好作品（4）翻譯英文著作運用必要條件假言推理時，不能從肯定假言前提的前件或否定其后件推出結論，否則就會導致無效的推理。例：（1）高考語文答卷（2）錄取與分數(shù)線（四）充分必要條件假言推理充分必要條件假言推理是以一個充分必要條件假言命題為假言前提構成的假言推理，它是以充分必要條件假言命題的邏輯含義作為依據(jù)的。充分必要條件假言命題斷定的是其前件表示的事物情況是后件表示的事物情況的充分必要條件，即有前者必有后者，同時無前者必無后者，亦即前件真后件必真，同時前件假后件必假。按照這種含義，一個充分必要條件假言命題不能前件真而后件假，也不能前件假而后件真。也就是說，一個充分必要條件假言命題，當其前件真時，后件不能為假；當其后件假時，前件不能為真；當其前件假時，后件不能為真；當其后件真時，前件不能為假。簡言之，一個充分必要條件假言命題，其前件和后件的真假只能相同，不能相反。因此，在運用充分必要條件假言推理時，須遵守以下規(guī)則：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定前件就要否定后件。3．肯定后件就要肯定前件。4．否定后件就要否定前件。根據(jù)這些規(guī)則，充分必要條件假言推理有肯定前件式、否定前件式、肯定后件式和否定后件式四種有效形式。例：（1）觸犯刑律與犯罪（2）三角形三內角相等與三邊相等運用充分必要條件假言推理，無論是肯定假言前提的前件、否定假言前提的前件、肯定假言前提的后件還是否定假言前提的后件，都能得出結論。只要注意對前件和后件的肯定或否定保持一致（肯定前件時不要否定后件，否定前件時不要肯定后件，肯定后件時不要否定前件，否定后件時不要肯定前件）即可。四、二難推理（一）什么是二難推理二難推理是假言選言推理的一種。假言選言推理是由若干假言命題和一個選言命題（其選言支的數(shù)目與假言命題的數(shù)目相同）為前提，根據(jù)假言命題和選言命題的邏輯含義進行的推理。其中由兩個充分條件假言命題和一個二支的（即有兩個選言支的）選言命題為前提構成的假言選言推理，稱為二難推理。這種推理之所以被稱為二難推理，是因為它常常令人面臨兩種選擇，而無論做出哪種選擇，都會引出對自己不利的結果，從而陷入進退兩難的境地。例：上帝能不能造出一塊自己舉不起的石頭二難推理常使人陷入進退兩難的境地，這只是就一部分二難推理而言的。實際上并不是所有二難推理都使人進退兩難。（二）二難推理的形式與規(guī)則二難推理有四種有效形式：1．簡單構成式兩個假言前提前件不同、后件相同，選言前提的兩個選言支分別肯定兩個假言前提的前件，結論肯定兩個假言前提共同的后件，這樣的二難推理形式稱為簡單構成式。例：（1）毛澤東《論人民民主專政》（2）松贊干布巧答文成公主（3）一部不可不讀的小說2．簡單破壞式兩個假言前提前件相同、后件不同，選言前提的兩個選言支分別否定兩個假言前提的后件，結論否定兩個假言前提共同的前件，這樣的二難推理形式稱為簡單破壞式。例：（1）缺水或者缺肥的花（2）正確的省略推理3．復雜構成式兩個假言前提前、后件均不相同，選言前提的兩個選言支分別肯定兩個假言前提的前件，做結論的選言命題的兩個選言支分別肯定兩個假言前提的后件，這樣的二難推理形式稱為復雜構成式。例：（1）寄征衣（2）農民與皇帝（3）宰相劉羅鍋（4）大宋提刑官4．復雜破壞式兩個假言前提前、后件均不相同，選言前提的兩個選言支分別否定兩個假言前提的后件，做結論的選言命題的兩個選言支分別否定兩個假言前提的前件，這樣的二難推理形式稱為復雜破壞式。例：勇氣和智慧對二難推理，我們可制定以下規(guī)則：1．肯定前件就要肯定后件。2．否定后件就要否定前件。3．否定前件不能得出結論。4．肯定后件不能得出結論。這些規(guī)則在表述上與充分條件假言推理的規(guī)則相同，但含義有所不同。二難推理的規(guī)則中的肯定或否定，指的是選言前提的兩個選言支分別對兩個假言前提的前件或后件的肯定或否定，以及結論（或其兩個選言支）對兩個假言前提的后件或前件的肯定或否定。（三）破斥錯誤的或不恰當?shù)亩y推理的方法二難推理是一種有力的論辯武器，它常?？梢允谷讼萑脒M退兩難的境地。但是，如果一個二難推理是錯誤的、有缺陷的或有破綻的，則是可以加以破斥的。破斥的方法有三種：1．指出其形式無效。2．指出其前提不真實。例：（1）阿馬火燒圖書館（2）走投無路的老漢3．構造一個相反的二難推理。（1）半費之訟（2）青年演說家錯誤的、有缺陷的或有破綻的二難推理是可以破斥的，但如果一個二難推理沒有任何錯誤、缺陷或破綻，就無法破斥了。面對這樣的二難推理，人們不得不做出選擇，當然選擇的原則是兩害相權取其輕。例：三打白骨精二難推理只是假言選言推理的一種。假言選言推理的假言前提不一定是充分條件假言命題，也不一定只有兩個。比如，由三個充分條件假言命題和一個三支的選言命題就可構成三難推理。例：阿凡提講道五、復合命題的較復雜的推理上面介紹了各種常用的復合命題推理，這些推理各有自己不同的特點。在實際思維活動中，這些推理可以結合起來運用，形成較復雜的推理過程。將各種復合命題推理結合起來運用，不但能解決許多較復雜的認識問題，以滿足實際需要，而且也是一種很好的思維訓練。下面我們就來談談綜合運用各種復合命題推理的一般方法。這些方法主要包括：（一）直接推導法直接推導法是僅依靠已知前提來推導出某個命題的方法，即從已知前提出發(fā)，運用有關的推理知識，一步一步地進行推導，直至推出所需要的結論。例：公安人員審理一件盜竊案?，F(xiàn)已查明：（1）甲或乙是盜竊犯；（2）如果甲是盜竊犯，則作案時間不會發(fā)生在午夜前；（3）如果乙的證詞正確，則在午夜時屋里燈光未滅；（4）只有作案時間發(fā)生在午夜前，乙的證詞才不正確；（5）在午夜時屋里燈光滅了。請問：誰是盜竊犯？（二）推翻假設法推翻假設法是通過提出和推翻某個假設來確立某個命題的方法，即先提出一個假設，再從這個假設和已知前提出發(fā)，運用有關的推理知識進行推導，直至推出矛盾，從而推翻假設，得出與假設相反的結論。為了使推翻假設法的推導過程具有嚴格性，我們先引入一個規(guī)則，即反證規(guī)則。反證規(guī)則是通過從一個命題的負命題推出矛盾來確立該命題的推理規(guī)則。這個規(guī)則可以表述為：如果廠,「A|—B人「B,貝忙|—A。這里的廠表示任一有窮的命題形式集（允許是空集），A和B分別表示任一命題形式（包括命題變項，我們可以把命題變項也看作是命題形式）。其意思是：如果從一個命題形式集和命題形式「A可推出矛盾（BA「B）,則從該命題形式集就可推出A。這里的命題形式集廠可以由一個、兩個或兩個以上命題形式組成，也可以是不含任何命題形式的空集。當廠為空集時，實際上是說，如果從命題形式「A可推出矛盾，則A可無前提地推出，即A是一個其值必為真的命題形式。運用反證規(guī)則的結果是推翻了「A,而確立了A,這等于消去了「A前面的否定詞。所以，反證規(guī)則也稱為否定消去規(guī)則。反證規(guī)則看似復雜，運用起來并不復雜。在日常思維、科學研究和論辯活動中，人們常運用反證法進行證明，即先假設要證明的命題為假，然后從這個假設出發(fā)，再依據(jù)若干已知真實的命題，推出矛盾，從而推翻假設，使要證明的命題得以確立。反證法實際上就是對反證規(guī)則的運用。在這里，人們要證明的命題即是反證規(guī)則中的A，A為假的假設即「A,作為推理依據(jù)的若干已知真實的命題即幾例：甲、乙、丙三個球隊參加了某次足球賽，并被分在同一個小組?，F(xiàn)已知：（1）如果甲隊不能出線或乙隊不能出線，則丙隊就能出線；（2）只有丙隊不能出線，甲隊才不能出線。請問：甲隊能否出線？在運用推翻假設法進行推導時，除了可依據(jù)反證規(guī)則，還可以依據(jù)歸謬規(guī)則。歸謬規(guī)則是一個與反證規(guī)則相近的規(guī)則，它是通過從一個命題推出矛盾來確立該命題的負命題的推理規(guī)則。這個規(guī)則可以表述為：如果廠,A|—BA「B，貝忙|一A。這里的廠仍表示任一有窮的命題形式集（允許是空集），A和B仍分別表示任一命題形式。其意思是：如果從一個命題形式集和命題形式A可推出矛盾（BA「B），則從該命題形式集就可推出「A。與反證規(guī)則不同的是，運用歸謬規(guī)則的結果是推翻了A，而確立了「A,這等于引入了「A前面的否定詞。所以，歸謬規(guī)則也稱為否定引入規(guī)則。歸謬規(guī)則雖與反證規(guī)則相近，卻具有不同作用。在日常思維、科學研究和論辯活動中，人們常運用歸謬法進行反駁，即先假設要反駁的命題為真，然后從這個假設出發(fā)，再依據(jù)若干已知真實的命題，推出矛盾，從而推翻假設，使要反駁的命題被否定。歸謬法實際上就是對歸謬規(guī)則的運用。在這里，人們要反駁的命題即是歸謬規(guī)則中的A,作為推理依據(jù)的若干已知真實的命題即r,運用歸謬法的結果是A被否定，即得到「A。需要說明的是，在已有反證規(guī)則的情況下，歸謬規(guī)則并不是必需的。凡在運用了歸謬規(guī)則的地方，都可以改用反證規(guī)則。（三）條件證明法條件證明法是為推導出一個假言命題而采用的方法。運用這種方法，也要先提出一個假設，然后再從這個假設和已知前提出發(fā)，運用有關的推理知識進行推導，直至推出某個命題，最后以假設為前件，以推出的那個命題為后件，構成一個充分條件假言命題。作為條件證明法依據(jù)的是條件證明規(guī)則。這個規(guī)則可以表述為：如果r,A|—B，則口—AtB。這里對廠、A和B的解釋同反證規(guī)則和歸謬規(guī)則。這個規(guī)則的意思是，如果從一個命題形式集和命題形式A可推出B,則從該命題形式集就可推出AtB。這里的命題形式集廠允許是空集，當廠是空集時，AtB可無前提地推出，即AtB是一個其值必為真的命題形式。運用條件證明規(guī)則的結果是確立了蘊涵式AtB,即在A與B之間引入了一個蘊涵詞。所以，條件證明規(guī)則也稱為蘊涵引入規(guī)則。例：甲、乙兩個工廠簽訂了一個經濟合同。現(xiàn)已知：（1）只有銀行給甲廠貸款，甲廠才能履行合同；（2）如果甲廠不能履行合同，乙廠就不能按時交貨；（3）乙廠要么按時交貨，要么會受到罰款；（4）銀行或者不給甲廠貸款，或者不給丙廠貸款；請問：由以上前提能否推出“如果銀行給丙廠貸款，那么乙廠就會受到罰款”？第三節(jié)真值表及簡化真值表方法我們已了解了各種復合命題和常用的幾種復合命題推理。邏輯學研究復合命題，關心的是它們的邏輯含義和由此決定的它們的真假值，以及它們相互之間的真假值關系；邏輯學研究復合命題推理，關心的則是推理的有效性。無論是復合命題，還是復合命題推理，都是形式繁多。面臨著紛繁復雜的復合命題形式和復合命題推理形式，人們希望找到一種能刻畫復合命題形式的含義，判定復合命題形式的真假值，判定復合命題形式之間的真假值關系，判定復合命題推理形式的有效性的一般方法。真值表就提供了這樣的方法。下面我們就介紹一下真值表，然后再介紹一種建立在真值表基礎之上的簡化真值表方法。一、真值表（一）什么是真值表真值表是數(shù)理邏輯（經典邏輯）在研究復合命題以及復合命題推理時，用來反映復合命題形式與組成部分之間的真值關系的一種圖表。所謂真值，就是真假值。數(shù)理邏輯的經典邏輯將復合命題形式與其組成部分之間的關系，看成是一種真值函項關系，即一個復合命題形式的真值完全由其組成部分的真值來決定。比如，「P的真值由p的真值決定，pAq和pVq的真值由p和q的真值決定。對于p的每一個取值，「P都有一個確定的值與之對應；對于p和q的每一組取值，pAq和pVq都有一個確定的值與之對應。這種關系類似于數(shù)學上的函數(shù)關系，不過不是從數(shù)值到數(shù)值的函數(shù)關系，而是從真值到真值的函數(shù)關系，因而稱作真值函數(shù)或真值函項。將負命題、聯(lián)言命題和選言命題與其支命題之間的關系看成真值函項關系，是符合直觀的。但假言命題則不同。從直觀上說，假言命題斷定的并不是其前后件本身的真假，因而假言命題的真假也就不能簡單地由其前后件的真假決定。不過數(shù)理邏輯的經典邏輯卻將假言命題與其前后件之間的關系也同樣看成一種真值函項關系。于是，真值函項理論便涵蓋了所有的復合命題形式。在數(shù)理邏輯中，用命題變項和聯(lián)結詞符號組成的復合命題形式，如「p、pAq、pVq、pTq、p^q等等，都是表達真值函項的，常被稱為真值形式。而真值形式中的聯(lián)結詞可稱為真值聯(lián)結詞。如果把我們已學過的七種聯(lián)結詞「、A、V、V、T、?和㈠都看作真值聯(lián)結詞，則真值形式「p、pAq、pVq、pVq、pTq、pjq和poq與其所含變項之間的真值關系可分別用真值表表示如下（用T表示真，用F表示假）：（略）以上真值表可稱為基本真值表。它們實際上起著定義真值聯(lián)結詞的作用。也就是說，如果把基本真值表中的命題變項p或q用任一真值形式代替，原有的真假值關系仍然成立。因此，在基本真值表的基礎上，我們就可以做出任意一個較復雜的真值形式的真值表。下面我們來談談做出任一真值形式的真值表的方法。（二）真值表的作法要作出任一真值形式的真值表，須按照下列步驟：1．列出真值形式中所含命題變項的所有可能的取值。真值形式的真值是由其組成部分的真值決定的，最終是由其所含命題變項的真值決定的。要完整地反映出真值形式與其組成部分之間的真值關系，就必須考慮到命題變項的一切可能的取值情況。為了把命題變項的所有可能的取值情況既無遺漏，又不重復地列舉出來，并排列整齊，以便于比較，我們可首先確定命題變項總共有幾種可能的取值，即真值表除“表頭”以外的部分有多少行（為敘述上的方便，以下我們把真值表除“表頭”以外的部分有多少行，稱為真值表的行數(shù)）。如果用n表示一個真值形式中所含命題變項的個數(shù)，則我們可以有下述計算公式：真值表的行數(shù)=2n按此公式計算，當一個命題形式中只含有一個命題變項時，真值表的行數(shù)為21即2行；當一個命題形式中含有兩個命題變項時，真值表的行數(shù)為22即4行；當一個命題形式中含有三個命題變項時，真值表的行數(shù)為23即8行；其余依此類推。在確定了真值表的行數(shù)以后，我們可以從左到右一豎列一豎列地列出命題變項的各種可能的取值：在第一列的前一半寫“真”（可用T表示），后一半寫假（可用F表示）；在第二列的第一個1/4部分寫“真”，第二個1/4部分寫“假”，第三個1/4部分寫“真”，第四個1/4部分寫“假”；在第三列的第一個1/8部分寫“真”，第二個1/8部分寫“假”，第三個1/8部分寫“真”……；其余依此類推。2．根據(jù)命題變項的真值列出真值形式的真值。一個較復雜的真值形式不是僅由一個真值聯(lián)結詞聯(lián)結一個或兩個命題變項構成，而是還包含著其他真值形式，其真值只有在先確定了作為其組成部分的其他真值形式的真值后才能確定。因此，確定一個真值形式的真值，應按照從命題變項到最簡單的真值形式，再從最簡單的真值形式到較復雜的真值形式，再從較復雜的真值形式到更復雜的真值形式的順序，逐步來完成。這個過程實際上是一個由簡單到復雜、由部分到整體的計算（邏輯計算）過程。例：（1）（2）（pVq）T「r(三)真值表的應用真值表主要有以下作用：1．運用真值表，可以根據(jù)命題變項的真值，確定一個真值形式的真值。任何一個真值形式的真值，都可以按照真值表所反映的真值關系，由命題變項的真值來確定。例：當p和q的值都為真時，根據(jù)真值表，pAq的值為真。p的值為真，而q的值為假時，根據(jù)真值表，pTq的值為假。(3)p和q的值都為假，而r的值為真時，根據(jù)真值表，「pA(qvr)的值為真。2．運用真值表，可以判定真值形式的一些特殊性質。有些真值形式無論其中的命題變項取何值，其值總為真，這樣的真值形式稱為永真式，或重言式。一個真值形式是不是永真式，可以通過真值表判定：如果在真值表中，該真值形式的值每一行均為真，則該真值形式即為永真式。永真式常常體現(xiàn)著一定的邏輯規(guī)律。例：(1)pv「p(2)(pAq)Tp(3)pv(pTq)(4)(pT「q)Aq也有些真值形式無論其中的命題變項取何值，其值總為假，這樣的真值形式稱為永假式，或矛盾式。一個真值形式是不是永假式，也可以通過真值表判定：如果在真值表中，該真值形式的值每一行均為假，則該真值形式即為永假式。永假式體現(xiàn)著一定的邏輯謬誤。例：(1)pA「p(2)「(pv「q)Ap(3)pA「(pAq)3．運用真值表，可以判定兩個真值形式之間的真假值關系。兩個真值形式之間是否有等值關系或者矛盾關系，兩個真值形式的值能否同真或能否同假等，都可以運用真值表來判定。當我們做出兩個真值形式的真值表后，如果它們的每一行對應的值均相同，則它們具有等值關系；如果它們的每一行對應的值均相反，則它們具有矛盾關系。判定是否具有等值關系例：(1)pTq和「pvq(2)pA^q和「(「pvq)(3)「(pAq)和「pA「q(4)pT「q和qT「p(5)pv(^pAq)和「pTq判定是否具有矛盾關系例：(1)pv「q和「pAq(2)pTq和pT「q判定能否同真或能否同假例：(1)pAq和「pAq(2)pTq和pv「q4．運用真值表，可以判定一個復合命題推理形式是否有效。要運用真值表判定一個復合命題推理形式是否有效，可按照下列步驟：(1)如果該推理形式只有一個前提，就以該推理形式的前提為前件，結論為后件，構成一個蘊涵式；如果該推理形式有不止一個前提，就先將該推理形式的前提依次用人聯(lián)結起來構成一個合取式，再以這個合取式為前件，以結論為后件，構成一個蘊涵式。(2)做出上述蘊涵式的真值表，并檢查該蘊涵式是不是永真式。如果該蘊涵式是永真式，則要判定的推理形式有效；如果該蘊涵式不是永真式，則要判定的推理形式無效。為什么如果一個蘊涵式是永真式，則相應的推理形式就是有效的呢？因為如果一個蘊涵式是永真式，就說明它不可能前件真而后件假(按照真值表，當一個蘊涵式前件真而后件假時，該蘊涵式的值便為假)，也就是說，相應的推理形式不可能出現(xiàn)前提真而結論假的情況。反之，如果一個蘊涵式不是永真式，就說明它有可能前件真而后件假，也就是說，相應的推理形式有可能出現(xiàn)前提真而結論假的情況。例：(1)并非小李買了股票而沒買基金；小李沒買基金；所以，小李沒買股票。(2)老趙會下象棋，或者會下圍棋；所以，并非老趙既會下象棋，也會下圍棋。5．運用真值表，可解決一些比較復雜的邏輯問題例1：某次數(shù)學競賽初賽結束后，參賽者甲和乙在一起議論。甲說：“如果你不能進入復賽，那么我也不能進入復賽。”乙說：“我肯定能進入復賽。”事實證明，甲的判斷和乙的判斷之中有且只有一個是正確的。請問：甲和乙是否進入了復賽？（用p表示“乙進入了復賽"，用q表示“甲進入了復賽”）例2：某班推舉校級三好生，趙軍和周玲被定為候選人。名單上報后，甲、乙、丙三個學生在一起