#DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:03/04/06Time:23:08Sample:19912000Includedobservations:10VariableCoefficientStd.Errort—StatisticProb.C2.5680000.14402717.829940.0000X142.760962.28887718.682070.0000R—squared0.977592Meandependentvar5.100000AdiustedR—squared0.974791S.D.dependentva,r0.970681S.E.ofregression0.154117Akaikeinfocriterion—0.725347Sumsquaredresid0.190018Schwarzcriterion—0.664830Loglikelihood5.626735F—statistic349.0197Durbin—Wa.tsonsta.t0.741967Prob(F-sta.tistic)0.0000001得回歸模型為：y=2.5680+42.7610-ixi間接代換法代換過程和參數(shù)估計(jì)方法如(暴經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)P96)表3-8所示。三、高斯—牛頓迭代法高斯—牛頓迭代法的基本思想是使用泰勒級(jí)數(shù)展開式去近似地代替非線性回歸模型，然后通過多次迭代，多次修正回歸系數(shù)，使回歸系數(shù)不斷逼近非線性回歸模型的最佳回歸系數(shù)，最后使原模型的殘差平方和達(dá)到最小。高斯—牛頓法的一般步驟為：初始值的選擇。其方法有三種，一是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)選定初始值；二是用分段法求出初始值；三是對(duì)于可線性化的非線性回歸模型，通過線性變換，然后施行最小平方法求出初始值。泰勒級(jí)數(shù)展開式。設(shè)非線性回歸模型為：y二f(x,r)+￡i=l,2,…，n(3—68)iii其中r為待估回歸系數(shù)，誤差項(xiàng)e?N(0,b2)，設(shè)：

g0=(g00)，g10)，Ag(01)'，為待估回歸系數(shù)r=(ro,r1，Arp-1)'的初始值,將(3-68)式f（x.,r）在g0點(diǎn)附近作泰勒展開，并略去非線性回歸模型的二階及二階以上的偏導(dǎo)i數(shù)項(xiàng)，得—、—、茁Cf(—、—、茁Cf(x,r)f(x,r)沁f(x,g(0))+乙匚—ii(k=0L將(3-69)式代入(3-68)式，貝―、茁rCf(x,r)y-f(x,g(0))+乙-—匚—iik=0■iCrk■iCrkr=g(o)"一g(o))kk(3-69)r=g(o)移項(xiàng)：y—f(y—f(x,g(0))沁iik=0iCrkr=g(o)"一g(o)Lskk令：y(o)=y-f(x,g(o))iiiD(o)=ikCf(x,r)D(o)=ikr=g(0)Crr=g(0)kB(o)=r一g(o)kkk則：y（0）D則：y（0）D（0）B（0）+8iikkik=o用矩陣形式表示，上式貝為其中：i=1,2，…，nY⑼沁D（o）B（o）+s(3-70)Y(0)Y(0)nxly1-f(x],g(o))M、y一f(x,g(0))丿nnD(o)=nxD(o)=nxp‘D(o)A10MD(o)A

n0D(o)np-1B(o)=px1oM、卩（0）丿

p-1丿(3-71)（3）估計(jì)修正因子。用最小平方法對(duì)（3-70）式估計(jì)修正因子B（0）,貝y：b（o）=^D（o）'D（oJ1D（o）'Y（o）(3-71)設(shè)g⑴為第一次迭代值，貝9：g（1）=g（o）+b（o）（4）精確度的檢驗(yàn)。設(shè)殘差平方和為：SSR(o)[y-f(x,g($J,S為重復(fù)迭代次數(shù)，對(duì)于給定的允許誤差率K,當(dāng)iii=1SSR(s)-SSR(s-1)<k時(shí)，則停止迭代；否則，對(duì)(3-71)式作下一次迭代。SSR(s)重復(fù)迭代。重復(fù)(3-71)式，當(dāng)重復(fù)迭代S次時(shí)，則有：修正因子：b(s)=(s)'D(sJ1D(s)'Y(s)第(S+1)次迭代值：g(s+1)=g(s)+b($)四、應(yīng)用舉例設(shè)12個(gè)同類企業(yè)的月產(chǎn)量與單位成本的資料如下表：表3-9間接代換法計(jì)算表企業(yè)編號(hào)單位產(chǎn)品成本(兀)y月產(chǎn)量xi1160102151163114204128255853169136775408764596651106056116160126065(注：資料來源《社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理教科書》第435頁)試配合適當(dāng)?shù)幕貧w模型分析月產(chǎn)量與單位產(chǎn)品成本之間的關(guān)系。解：(1)回歸模型與初始值的選擇。根據(jù)資料散點(diǎn)圖的識(shí)別，本數(shù)據(jù)應(yīng)配合指數(shù)模型y=abx.i對(duì)指數(shù)模型兩邊取對(duì)數(shù)，化指數(shù)模型為線性回歸模型，然后施行最小平方法求出初始值。即：lg$=lga+xlgb令:y'=lg$,a'=lga,b'=lgb則上述指數(shù)模型變?yōu)椋簓'=a'+b'xy'=2.26109-0.00831x對(duì)ab'分別求反對(duì)數(shù)，得a=182.43,b=0.981，帶入原模型,得回歸模型：9=182.43x0.981x(..高斯—牛頓迭代法初始回歸模型：f(x,g(0))=182.43x0.981x..殘差平方和：SSR(o)=工(y—f(x,g(o)))2=1124.1526..(2)泰勒級(jí)數(shù)展開式。先對(duì)指數(shù)模型y二abxi中的a和b分別求偏導(dǎo)數(shù)。i=bxia=a=a0b=b0空db=axbx._1a=aba==ba00=182.43*x*0.981xi_1i然后用泰勒級(jí)數(shù)展開指數(shù)模型，移項(xiàng)整理得(注：參見(3-69)、(3-70)式)：Y(o)1160-150.58661151-134.2148114-124.3015128-112.933285-100.655091-91.449375-84.694876-76.948866-68.582960-62.310461-57.708160-52.4302丿0.825451535.03160.735712189.02820.681372534.17960.619052878.01100.551753180.74000.501283355.93870.462463453.40520.421803529.75930.375943565.47010.341563556.96580.316333529.54680.287403473.9702D(o)(3)估計(jì)修正因子。解(3-72)式矩陣，得：a(0)B(o)a(0)b(0)(3-72)匕b(0)第一次迭代值：12.09660288－0.00180342194.52660.9792第一次迭代回歸模型：f(x,g⑴)=194.5266x0.9792x.i(4)精確度的檢驗(yàn)。殘差平方和：SSR（i）=工（y-f（x,g（1）））2二999.4077ii給定誤差率K=10-3,則:SSR⑴-SSR（o）SSR（i）

11124.1526

-999.4077

=0.12482>k作下一次迭代。(5)重復(fù)迭代。將pl代入(3-71)式作第二次迭代。得估計(jì)修正因子:bL1丿a（1）丄a（1）丄b（1）0.647654043－0.000066948第二次迭代值:195.17430.9791195.17430.9791第二次迭代回歸模型：f(x,g(2))二195.1743x0.9791%i殘差平方和：SSR⑵二工(帯f(x，g⑵))2二999.1241誤差率：SSR（2）-SSR⑴SSR（2）

1-999.4077一999.1241

=0.00028<k誤差率達(dá)到要求，停止迭代。表3-10計(jì)算結(jié)果比較回歸系數(shù)a回歸系數(shù)b殘差平方和SSR誤差率%相關(guān)指數(shù)R最小平方法一次迭代182.430.9811124.15260.95937194.52660.9792回歸系數(shù)a回歸系數(shù)b殘差平方和SSR誤差率%相關(guān)指數(shù)R最小平方法一次迭代182.430.9811124.15260.95937194.52660.9792999.407712.4820.96396二次迭代195.17430.9791999.12410.0280.96397從上表可看出：高斯—牛頓迭代法具有收斂快，精確度高的優(yōu)點(diǎn)，二次迭代就使精確度高達(dá)99.97%，相關(guān)指數(shù)也明顯提高。理論上可以證明高斯—牛頓迭代法經(jīng)過數(shù)次迭代后，估計(jì)回歸系數(shù)將逼近最佳的待估回歸系數(shù)，使殘差平方和達(dá)到最小，從而明顯地克服了最小平方法的不足。其缺陷是計(jì)算量較大，但隨著電子計(jì)算機(jī)的日益普及，這點(diǎn)計(jì)算就顯得微不足道了。SPSS10.0軟件，hzz—暴P98表3—9根據(jù)最小平方法，參數(shù)為：Eviews4.0軟件，hzz—暴P98表3—9或：Quick/generateSeries(生成系列)lny=log(y),Lnycx結(jié)果不對(duì)？對(duì)及a‘分別求反對(duì)數(shù)，得初始值：ao=182.43,bQ=0.981，初始回歸模型：f(x,g(o))=182.4