第第頁人教B版（2023）必修第一冊《第二章等式與不等式》單元測試（word含解析）人教B版（2023）必修第一冊《第二章等式與不等式》單元測試

一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）已知，，，則的最小值是

A.B.C.D.

2.（5分）已知函數(shù)，，若對于，，使得，則的取值范圍是

A.B.

C.D.

3.（5分）已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為

A.B.C.D.

4.（5分）設(shè)，且，則下列不等式正確的是

A.B.C.D.

5.（5分）已知，則的取值范圍是

A.B.C.D.

6.（5分）已知函數(shù)，且，則

A.B.C.D.

7.（5分）在中，已知，，，則等于

A.B.C.D.

8.（5分）若集合，，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）若，則下列不等式中正確的是

A.B.

C.D.

10.（5分）下列不等式正確的有

A.B.C.D.

11.（5分）下列說法正確的是

A.若，，則B.若，，則

C.若，則D.函數(shù)的最小值是

12.（5分）下列說法正確的有

A.若，則B.若，則

C.若，則D.若，則

13.（5分）下列說法正確的是

A.若且，則B.若且，則

C.若，則D.若，，則

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知，，則的最小值是______.

15.（5分）比較大小______．

16.（5分）已知，，且，則的最大值為______．

17.（5分）已知恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為．

18.（5分）不等式對恒成立，則的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）已知函數(shù)．

若，求不等式的解集；

若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．

20.（12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，是奇函數(shù)．

求，的值；

判斷單調(diào)性并證明；

若，不等式恒成立，求的取值范圍．

21.（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為．

求實(shí)數(shù)，的值；

解關(guān)于的不等式：為常數(shù)．

22.（12分）已知關(guān)于的不等式的解集是，或，求不等式的解集．

已知是關(guān)于的不等式的解集，且中的一個元素是，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示出該不等式的解集．

23.（12分）已知函數(shù)，．

若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；

解關(guān)于的不等式．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

此題主要考查基本不等式的性質(zhì)與對數(shù)的運(yùn)算，注意基本不等式常見的變形形式與運(yùn)用，如本題中，的代換．

由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，，結(jié)合題意可得，，進(jìn)而由基本不等式的性質(zhì)可得最小值.

解：，

又由，

則，

進(jìn)而由基本不等式可得，

，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

則的最小值是，

故選

2.【答案】A;

【解析】解：，，

令，則，

則，，

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，又，，

所以，

所以，，

因?yàn)閷τ?，，使得?/p>

所以，，

函數(shù)，，圖象開口向上，對稱軸，

當(dāng)，即時，則，解得；

當(dāng)時，則，解得；

當(dāng)時，則，解得；

當(dāng)時，則，解得

綜上可得，的取值范圍是

故選：

求出的最值，由題意可得，，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對分類討論，求出的最值，列不等式組，即可求解的取值范圍．

此題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

3.【答案】B;

【解析】解：實(shí)數(shù)，，且，

可得，

則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

則的最小值為；

故選：．

利用“乘法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

該題考查了“乘法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】D;

【解析】解：，且，，

．

故選：．

利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．

該題考查了不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】D;

【解析】解：由題意，，得，且，．

，

那么：

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

的取值范圍是，

故選：．

化簡構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)即可得出．

該題考查了“對數(shù)的運(yùn)算”和構(gòu)造基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】C;

【解析】由題意知化簡得解得所以，所以，解得故選

7.【答案】C;

【解析】解：由正弦定理可知，

，

故選C

由和的度數(shù)分別求出和的值，再由的值，利用正弦定理即可求出的值．

這道題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．正弦定理常用來運(yùn)用：：：：解決邊角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用正弦定理是解三角形問題常用的方法，故應(yīng)熟練記憶．

8.【答案】D;

【解析】解：集合，

可得或；．

可知：．

故選：．

利用不等式的解法求出集合，函數(shù)的值域求解集合，然后判斷兩個集合的關(guān)系．

該題考查函數(shù)值域的求法，不等式的解法，集合的關(guān)系，是基本知識的考查．

9.【答案】ABD;

【解析】

此題主要考查不等式性質(zhì)，基本不等式，屬基礎(chǔ)題.

由已知條件可得，利用不等式的性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)，從而確定正確答案．

解：，

對，，，即正確；

對，，，，，即正確；

對，，由上可知，，

即錯誤；

對，、同號且，、均為正．即正確．

故選：

10.【答案】ACD;

【解析】解：構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

可得當(dāng)時，取得最大值

，

由可得，故正確，

，由，

可得，故錯誤，

由可推導(dǎo)出，

即，，，

，顯然成立，故正確，

，

由的最大值為，故正確．

故選：

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由，，，得出每個選項(xiàng)的正誤．

此題主要考查了構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解答該題的關(guān)鍵是函數(shù)的構(gòu)造和自變量的選擇，屬于較難題．

11.【答案】BC;

【解析】解：若，則與的大小關(guān)系不確定，因此不正確；

B.若，根據(jù)在上單調(diào)遞增，則，又，則，正確；

C.若，則，正確；

D.函數(shù)，但是等號取不到，因此不正確．

故選：

A.若，則與的大小關(guān)系不確定，即可判斷出正誤；

B.由，根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤；

C.若，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤；

D.利用基本不等式即可判斷出正誤．

此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】BD;

【解析】解：對于，當(dāng)時，，故A錯誤；

對于，若，左右兩端同時乘以，可得，故B正確；

對于，若，則，故C錯誤；

對于，若，顯然，故D正確．

故選：．

由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．

這道題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】BD;

【解析】解：對于，若且，則，故，故A錯誤；

對于，若，則，又，則，故B正確；

對于，若，則，則，即，故C錯誤；

對于，若，，則，則，所以，故D正確．

故選：．

由不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可．

這道題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】3;

【解析】

此題主要考查了利用基本不等式求最值，結(jié)合題干條件利用基本不等式研究最小值即可.

解：，

由題意得，，，

當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，

所以的最小值是，

故答案為

15.【答案】＜;

【解析】解：因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，

所以小，

故答案為：

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可比較．

該題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題

16.【答案】1;

【解析】解：知，，且，

，

即．

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號．

，

即最大值為．

故答案為：．

利用基本不等式先求出的范圍，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡即可求得最大值，注意等號成立的條件．

這道題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，最值問題是函數(shù)?？嫉闹R點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】10;

【解析】

試題分析：由于，由基本不等式得，即，

，由于恒成立，只需，，，實(shí)數(shù)的最大值為

考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用．

18.【答案】或;

【解析】

這道題主要考查了函數(shù)的恒成立問題求解參數(shù)的取值，解題關(guān)鍵是由已知不等式構(gòu)造關(guān)于的一次函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬于中檔題．

由于已知的范圍，考慮構(gòu)造關(guān)于的一次函數(shù)令，由在恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為，解不等式即可．

解：令，，

由題意可得在恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性可得：

即，

解不等式可得或，

故答案為：或

19.【答案】解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2|x+1|+|x-1|=，

當(dāng)x≥1時，3x+1≥5，即x≥，∴x≥；

當(dāng)-1＜x＜1時，x+3≥5，即x≥2，此時x無實(shí)數(shù)解；

當(dāng)x≤-1時，-3x-1≥5，即x≤-2，∴x≤-2．

綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-2，或x≥}．

（2）當(dāng)a=-1時，f（x）=3|x+1|最小值為0，不符合題意，

當(dāng)a＞-1時，f（x）=，

∴f（x）min=f（-1）=1+a=3，此時a=2；

當(dāng)a＜-1時，f（x）=，

∴f（x）min=f（-1）=-1-a=3，此時a=-4．

綜上所述，a=2或a=-4;

【解析】

把寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得不等式的解集，綜合可得結(jié)論．

分當(dāng)時、當(dāng)時、當(dāng)時三種情況，分別求得的值，綜合可得結(jié)論．

這道題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題

20.【答案】解：（1）由于定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)，

則即，解得，

即有f（x）=，經(jīng)檢驗(yàn)成立；

（2）f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．

證明：設(shè)任意＜，

f（）-f（）=-=，

由于＜，則2＜2，即有＞0，

則有f（）＞f（），

故f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；

（3）不等式f（+2）+f（2-kt）＜0，

由奇函數(shù)f（x）得到f（-x）=-f（x），

f（2-kt）＜-f（2+）=f（--2），

再由f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，

則2-kt＞--2，即有3-kt+2＞0對t∈[-1，4]恒成立，

當(dāng)t=0時，2＞0，顯然成立；

當(dāng)0＜t≤4時，k＜=3t+，

3t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=時，取得等號，

則k＜2；

當(dāng)-1≤t＜0時，k＞=3t+，

又3t+=-[（-3t）+]≤-2，

當(dāng)且僅當(dāng)t=-∈[-1，0）時，取得等號，

則k＞-2；

綜上可得k的范圍是（-2，2）．;

【解析】

由奇函數(shù)的條件可得，且，解方程即可得到，；

運(yùn)用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；

不等式，由奇函數(shù)得到，可得，再由單調(diào)性，即可得到對恒成立，由參數(shù)分離和基本不等式求得最值，可得所求范圍．

此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，以及函數(shù)恒成立問題解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：（1）由題意知1，b為關(guān)于x的方程a-3x+2=0的兩根，

則，∴a=1，b=2．

（2）不等式等價于（x-c）（x-2）＞0，

所以：當(dāng)c＞2時解集為{x|x＞c或x＜2}；

當(dāng)c=2時解集為{x|x≠2，x∈R}；

當(dāng)c＜2時解集為{x|x＞2或x＜c}．;

【解析】

由題意知，為關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得方程組，解出即可；

不等式等價于，按照對應(yīng)方程的根、的大小關(guān)系分三種情況討論可得；

該題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，深刻理解“三個二次”間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

22.【答案】解：（1）關(guān)于x的不等式a+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-}，

∴a＜0，且方程a+bx+c=0的兩實(shí)數(shù)根為-2和-，

由根與系數(shù)的關(guān)系知，；

解得=，=1；

∴不等式a-bx+c＞0可化為-x+1＜0，

解得＜x＜2，

∴所求不等式的解集為（，2）；

（2）根據(jù)題意，把x=0代入不等式2+（3a-7）x+3+a-2＜0，

得3+a-2＜0，

即2-a-3＞0，

解得a＜-1或a＞；

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（，+∞）；

二次不等式對應(yīng)的方程為2+（3a-7）x+（3+a-2）=0，

其兩根為3-2a，a+，

當(dāng)a＜-1時，3-2a＞a+，

∴不等式2+（3a-7）x+（3+a-2）＜0的解集為{x|a+＜x＜3-2a}；

當(dāng)a＞時，3-2a＜a+，

∴不等式2+（3a-7）x+（3+a-2）＜0的解集為{x|3-2a＜x＜a+}．;

【解析】

不等式的解集得出，且對應(yīng)方程的兩實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值，再化不等式，從而求出它的解集；

代入不等式，求出的取值范圍；再求對應(yīng)二次不等式的解集．

該題考查了二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．

23.【答案】解：（1）函數(shù)f（x）=-ax-a-1，不等式f（x）≤0化為-ax-a-1≤0，

因?yàn)椴坏仁絝（x）≤0的解集為[-1，2]，所以方程-ax-a-1=0的根為-1和2，

所以，解得a=1．

（2）由-ax-a-1=0，得（x-a-1）（x+1）=0，

所以方程的兩根為x=a+1或x=-1．

當(dāng)a+1＞-1時，即a＞-2時，不