第八章立體幾何第四節(jié)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)A級(jí)·基礎(chǔ)過(guò)關(guān)|固根基|1.(2019屆成都模擬)已知直線a，b和平面α，下列說(shuō)法中正確的是()A．若a∥α，b?α，則a∥bB．若a⊥α，b?α，則a⊥bC．若a，b與α所成的角相等，則a∥bD．若a∥α，b∥α，則a∥b解析：選B對(duì)于A，若a∥α，b?α，則a∥b或a與b異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，利用線面垂直的性質(zhì)，可知若a⊥α，b?α，則a⊥b，故B正確；對(duì)于C，若a，b與α所成的角相等，則a與b相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由a∥α，b∥α，得a，b之間的位置關(guān)系可以是相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．2．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，直線m是α內(nèi)一條直線，則“α∥β”是“m∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由α∥β，m?α，可得m∥β；反過(guò)來(lái)，由m∥β，m?α，不能推出α∥β.綜上，“α∥β”是“m∥β”的充分不必要條件．3．如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()ABCD解析：選A對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證，選項(xiàng)C、D中均有AB∥平面MNQ.故選A．4．已知a，b是兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是()A．a(chǎn)∥b，b?α，則a∥αB．a(chǎn)，b?α，a∥β，b∥β，則α∥βC．a(chǎn)⊥α，b∥α，則a⊥bD．當(dāng)a?α，且b?α?xí)r，若b∥α，則a∥b解析：選C由a∥b，b?α，得可能a?α，A錯(cuò)；B中的直線a，b不一定相交，平面α，β也可能相交，B錯(cuò)；C正確；D中的直線a，b也可能異面，D錯(cuò)．故選C．5．過(guò)直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不存在 B．只能作出1個(gè)C．能作出無(wú)數(shù)個(gè) D．以上都有可能解析：選D設(shè)直線l外兩點(diǎn)確定直線AB，①當(dāng)AB與l相交時(shí)，滿足題意的平面不存在；②當(dāng)AB與l異面時(shí)，滿足題意的平面只能作一個(gè)；③當(dāng)AB∥l時(shí)，滿足題意的平面有無(wú)數(shù)個(gè)．6．(2019屆咸寧模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D1是A1C1上的一點(diǎn)，若DC1∥平面AB1D1，則eq\f(A1D1,D1C1)等于()A．eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：選B因?yàn)镈C1∥平面AB1D1，DC1?平面ACC1A1，平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AD1，所以DC1∥AD1.又AD∥C1D1，所以四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝C1D1.又D為AC的中點(diǎn)，所以D1為A1C1的中點(diǎn)，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝1.7．(2019屆麗江模擬)若正n邊形的兩條對(duì)角線分別與平面α平行，則這個(gè)正n邊形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是()A．5 B．6C．8 D．12解析：選A因?yàn)檎暹呅蔚膶?duì)角線都相交，所以正五邊形所在的平面一定與平面α平行．8．(2019屆三明模擬)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α內(nèi)的兩條不同的直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個(gè)充分而不必要條件是()A．m∥β且l1∥α B．l1∥α且l2∥αC．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2解析：選Dm∥l1，且n∥l2?α∥β，但α∥βeq\o(?,\s\up0(/))m∥l1且n∥l2，所以“m∥l1，且n∥l2”是“α∥β”的一個(gè)充分而不必要條件．9．(2019屆河北九校第二次聯(lián)考)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)，如圖甲，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使平面A1DE⊥平面BCED，連接A1B，A1C，如圖乙，點(diǎn)M為A1D的中點(diǎn)．(1)求證：EM∥平面A1BC；(2)求四棱錐A1－BCED的體積．解：(1)證明：取BD的中點(diǎn)N，連接NE，則NE∥BC，在四棱錐A1－BCED中，NE與BC的平行關(guān)系不變．連接MN，在△DA1B中，MN∥A1B，又NM∩NE＝N，BA1∩BC＝B，∴平面MNE∥平面A1BC．又EM?平面MNE，∴EM∥平面A1BC．(2)∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，且eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)，∴AD＝1，AE＝2.在△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理得DE＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，從而AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE.折起后有A1D⊥DE，∵平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D?平面A1DE，∴A1D⊥平面BCED．∴四棱錐A1－BCED的體積V＝eq\f(1,3)S四邊形BCED·A1D，連接BE，則S四邊形BCED＝eq\f(1,2)CB·CE·sin∠BCE＋eq\f(1,2)BD·DE＝eq\f(1,2)×3×1×sin60°＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(7\r(3),4)，∴V＝eq\f(1,3)×eq\f(7\r(3),4)×1＝eq\f(7\r(3),12).10．(2019屆桂林市、百色市、崇左市聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BCE，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，PC上的點(diǎn)，且eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)．(1)求證：EF∥平面PAD；(2)當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，求點(diǎn)D到平面AFB的距離．解：(1)證明：∵eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC．∵BC∥AD，∴EF∥AD．又EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)∵λ＝eq\f(1,2)，∴F是PC的中點(diǎn)，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝eq\r(2)，∴PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(6)，∴AF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(6),2).連接BD，DF，設(shè)點(diǎn)D到平面AFB的距離為d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝eq\f(\r(6),2)，AB＝1，∴S△ABF＝eq\f(\r(5),4).又S△ABD＝1，且點(diǎn)F到平面ABD的距離為點(diǎn)P到平面ABD距離的一半，即為1，∴由V三棱錐F－ABD＝V三棱錐D－AFB，得eq\f(1,3)×1×1＝eq\f(1,3)×d×eq\f(\r(5),4)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)，即點(diǎn)D到平面AFB的距離為eq\f(4\r(5),5).B級(jí)·素養(yǎng)提升|練能力|11.(2019屆亳州模擬)設(shè)平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A，B分別在平面α，β內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有的動(dòng)點(diǎn)C()A．不共面B．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面C．當(dāng)且僅當(dāng)A，B分別在給定的兩條異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面D．無(wú)論A，B如何移動(dòng)都共面解析：選D因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，A∈α，B∈β，且C為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C在同一平面內(nèi)，這個(gè)平面夾在平面α與β的正中間．12.如圖，L，M，N分別為正方體對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：選C如圖，分別取另三條棱的中點(diǎn)A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因?yàn)镻Q∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.故選C．13．(2019屆舟山模擬)如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件______________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.只需M∈FH，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：點(diǎn)M在線段FH上(答案不唯一)14．(2019屆南昌市重點(diǎn)中學(xué)測(cè)試)如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE＝eq\f(1,2)CD＝2，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．(1)試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面MDF，并說(shuō)明理由；(2)在(1)的條件下，求平面MDF將幾何體ADE－BCF分成的上下兩部分的體積之比．解：(1)當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面MDF.理由如下：如圖，連接CE，交DF于N，連接MN，由題意得M，N分別是AE，CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC．由于MN?平面MDF，AC?平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)如圖，將幾何體ADE－BCF補(bǔ)成三棱柱ADE－B1CF，三棱柱ADE－B1CF的體積V＝S△ADE·CD＝eq\f(1,2)×2×2×4＝8，則幾何體ADE－BCF的體積V＝V三棱柱ADE－B1CF－V三棱錐F－BB1C＝8－eq\f(1,3)×eq\b\