1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系（2）

第一章空間向量與立體幾何學習目標1.理解線面的位置關系與向量的聯(lián)系．2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直關系．3.能利用直線的方向向量和平面的法向量判定并證明空間中的垂直關系.學習目標

類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？

課程引入

空間中垂直關系的向量表示位置關系向量表示線線垂直l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2=0線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R,使得u1=λn1面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則用空間向量證明垂直的方法：(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示． (3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示

階段小結

利用空間向量證明線線垂直問題BCD1．(多選)下列命題中，正確的命題為(

)A．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥βB．若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，a是直線l的方向向量，若l與平面α垂直，

則n∥aD．若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面不垂直

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,則這兩條直線一定垂直相交.(

)(2)若一直線與平面垂直,則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.(

)(3)兩個平面垂直,則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直.(

)(4)若兩平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.(

)×

√×√

階段檢測（一）2.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AB，E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點．求證：PB⊥EF.

典例解析

利用空間向量證明線面垂直問題如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD．證明(法一):如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC．

因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

用坐標法證明線面垂直的方法及步驟(1)利用線線垂直①將直線的方向向量用坐標表示．②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量．③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量①將直線的方向向量用坐標表示．②求出平面的法向量．③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．

階段小結

階段檢測（二）

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點.求證:D1M⊥平面EFB1.

利用空間向量證明面面垂直問題

證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．

階段小結

在四棱錐SABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD．

階段檢測（二）證明：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD