“馬氏過程隨機過程論新工科建設之路第六章馬氏過程在第三至五章中，我們分別研究了可數(shù)狀態(tài)的馬氏過程和一種特殊的以Rd為狀態(tài)空間的馬氏過程-Brown運動，我們對馬氏過程已經有一些具體的了解。本章我們將對馬氏過程進行一般的研究:討論它的半群與無窮小生成元、強馬氏性，以及軌道性質等問題。在第七章，我們再簡單介紹一下近年來發(fā)展很快且受到普遍重視的幾個有關問題:無窮粒子系統(tǒng)的統(tǒng)計模型、點過程和隨機測度。01馬氏過程與半群及鞅問題馬氏過程與半群及鞅問題在5.2節(jié)中，我們知道半群及其無窮小生成元可將離散狀態(tài)空間(如馬氏鏈)與連續(xù)狀態(tài)空間(如BMd)的馬氏過程做統(tǒng)一的刻畫，使我們更能把握住馬氏過程的特征。本節(jié)中我們給出一般的馬氏過程半群理論。1.馬氏過程對應的半群命題6.11.馬氏過程對應的半群命題6.11.馬氏過程對應的半群命題6.21.馬氏過程對應的半群命題6.22.無窮小生成元考查2.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.32.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元命題6.42.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.12.無窮小生成元定理6.13.鞅問題與弱生成元上面講到，無窮小生成元是按B(?)中的強收斂定義的，因而它的定義域比較小，而且較難確定。特別是在很多情況下，問題往往是要求對已知的形式無窮小生成元去找出其相應馬氏過程。這時，能夠給出一個要求較弱的類似無窮小生成元的刻畫就很方便。Stroock-Varadhan提出了馬氏過程的鞅問題的模型，這為在馬氏過程中使用鞅方法提供了指導。下面我們來介紹鞅問題的模型。首先，注意到式(6.2)還可以寫成積分形式，即3.鞅問題與弱生成元也就有由馬氏性與時齊性就得到3.鞅問題與弱生成元3.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.53.鞅問題與弱生成元命題6.602強馬氏性、過程的截止與Feymann-Kac公式1.推移算子與強馬氏性在討論馬氏過程沿軌道的性質時，利用第一章1.3節(jié)中引入的推移算子是很方便的，而且它對于其他過程的研究也有益。假定T對加法封閉。2.具有強馬氏性的條件我們在第四章中已經知道，對于只有可列個取值的停時7，馬氏過程必有強馬氏性。但是一般情況下，并非所有馬氏過程都有強馬氏性。本節(jié)主要討論對一個軌道右連續(xù)的馬氏過程，在其轉移函數(shù)(半群)上附加什么條件就能保證有強馬氏性。定義6.12.具有強馬氏性的條件定理6.22.具有強馬氏性的條件定理6.22.具有強馬氏性的條件定理6.2成立。再利用在有界收斂意義下，連續(xù)函數(shù)可逼近有界可測函數(shù)，于是式(6.12)就對一切有界可測函數(shù)成立。3.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.73.過程的截止命題6.74.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式引理6.14.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.34.Feymann-Kac公式定理6.303度量空間中測度的弱收斂及馬氏過程在C空間與D空間的實現(xiàn)1.度量空間上的測度空間1.度量空間上的測度空間定義6.21.度量空間上的測度空間定義6.2定義6.31.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間定義6.41.度量空間上的測度空間命題6.81.度量空間上的測度空間命題6.82.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定理6.52.胎緊與(X)的緊性定義6.4定理6.62.胎緊與(X)的緊性定理6.6定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.72.胎緊與(X)的緊性定理6.73.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度3.連續(xù)函數(shù)空間上的測度命題6.94.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)設已知轉移函數(shù)族定理6.84.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.84.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)引理6.24.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.9對一般的隨機過程，我們還有一個關于它在連續(xù)函數(shù)空間上實現(xiàn)的推廣的Kolmogorov定理，它對于獨立增量過程，使用起來特別方便。下面我們給出這些定理，而略去其證明。4.馬氏過程在連續(xù)函數(shù)空間上的實現(xiàn)定理6.105.D[0,1]上的測度般來說，給定了取值于度量空間的轉移函數(shù)族{P(t;x,A}，對應的馬氏過程并不一定能在連續(xù)軌道上實現(xiàn)，我們在第四章與第五章中已經看到了反例。因此，我們退一步再考慮給定了轉移函數(shù)，在什么條件下它決定的馬氏過程可以是幾乎全部軌道右連續(xù)而且具有左極限的，也即它可以在右連續(xù)、具有左極限的軌道空間(記為D[0,1])上實現(xiàn)。令5.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定義6.5Varadhan利用D[0,1]空間上概率分布的弱緊條件重新證明了Kolmogorov關于隨機過程能在D[0,1]空間上實現(xiàn)的矩條件的定理及Dynkin關于馬氏過程能在D[0,1]空間上實現(xiàn)的致o(1)條件的定理。這不僅在方法上更統(tǒng)一、更現(xiàn)代化，而且更加直觀。由于Varadhar的證明很難在一般書上找到，而且它太長，我們在這里介紹Varadhan的證明綱要。為此我們先列出D[0,1]空間上連續(xù)模的一系列事實，它們是不難證明的。5.D[0,1]上的測度定義6.55.D[0,1]上的測度定理6.115.D[0,1]上的測度定理6.115.