試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023-2024學年江西省新余市實驗中學高二上學期開學檢測數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式,可得集合A與集合B,根據(jù)交集運算即可得解.【詳解】集合，解不等式,可得，所以所以選C【點睛】本題考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集運算,注意分式不等式分母不為0的限制要求,屬于基礎題.2．一個圓錐的側面展開的扇形面積是底面圓面積的2倍，若該圓錐的體積為，則該圓錐的母線長為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】設圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，根據(jù)圓錐側面積與圓的面積關系可得，由勾股定理可得，結合圓錐的體積公式計算即可求解.【詳解】設圓錐的底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，則圓錐側面展開的扇形面積為，底面圓面積為，因為，所以，得，所以圓錐的體積為，解得，所以，即圓錐的母線長為6.故選：C.3．在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得答案.【詳解】由可得為邊中點，如圖所示：

故選：B.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知條件求出，，從而求出，進而利用二倍角的余弦公式求出結論.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以，所以.故選：C.5．如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．8【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.6．某教學軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)t之間滿足關系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時間，則教師用戶超過30000名至少經過的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得，由不等式，結合對數(shù)的預算性質，即可求解.【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過20000名至少經過天.故選：C7．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，再根據(jù)特殊值的正負，再排除選項，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，則為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，故排除A，C，又，故排除B，故選：D.8．在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐的外接球半徑為（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】先求出△外接圓半徑，利用勾股定理求出三棱錐的外接球半徑.【詳解】由正弦定理得,△外接圓直徑為，得r=3.設球心到平面的距離為，則.∴三棱錐的外接球半徑為.故選：C二、多選題9．下列說法不正確的是(

)A．函數(shù)的零點是和B．正實數(shù)a，b滿足，則不等式的最小值為C．函數(shù)的最小值為2D．的一個必要不充分條件是【答案】ACD【分析】A：求出函數(shù)的零點即可判斷；B：利用和基本不等式即可判斷求解；C：令，利用換元法和基本不等式即可判斷；D：判斷從是否可得，結合充分條件和必要條件的概念即可判斷．【詳解】對于選項A：或，則函數(shù)的零點是或，故A錯誤；對于選項B：，，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，故B正確；對于選項C：令，則，則函數(shù)化為，當且僅當，即時等號成立，∵t≥2，故等號不成立，即，故C錯誤；對于選項D：若，則，即是的充分條件，故D錯誤．故選：ACD．10．已知復數(shù)，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可判斷A,由模長公式以及共軛的性質即可判斷BCD.【詳解】由題意，得正確；因為，所以錯誤；因為，所以，C正確；由題意，得，因為，，所以，D正確．故選：ACD11．將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得的圖像向左平移個單位，得到的圖像對應的解析式為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的圖像變換即可得到變換之后的函數(shù)解析式，從而得到結果.【詳解】由題意可得，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）可得函數(shù)，再將所得的圖像向左平移個單位，可得函數(shù)，即，且.故選：BC12．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面ABCD，，是線段的中點，是線段上的動點，則以下結論正確的是（

）

A．平面平面B．直線與平面所成角正切值的最大值為C．二面角余弦值的最小值為D．線段上不存在點，使得平面【答案】ABC【分析】對于A，利用線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可；對于BC，利用線面角與面面角的定義，結合的取值范圍求解即可；對于D，找特殊點與重合時，證得平面，由此得解.【詳解】對于A，因為底面，平面，所以．因為為正方形，所以，又，平面，平面，所以平面．因為平面，所以．因為，為線段的中點，所以，又因為，平面，平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面，故A正確；對于B，由選項A可知平面，所以為直線與平面所成角，則，不妨設，則在中，，在中，，因為是線段上的動點，故，則，所以直線與平面所成角正切值的最大值為，故B正確；對于C，由選項A可知平面，平面，所以，則為二面角的平面角，因為，所以二面角余弦值的最小值為，故C正確；對于D，當與重合時，連接，連接，如圖，

因為底面是正方形，所以是的中點，又為線段的中點，所以，又平面，平面，所以平面，即線段上存在點，使得平面，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用線面垂直的判定定理證得平面與平面，從而得到直線與平面所成角與二面角的平面角，由此得解.三、填空題13．已知，，且，，則的值是.【答案】【分析】由平方關系求得，，再求出即可得解.【詳解】解：因為，，且，，所以，，且，則，所以.故答案為：.14．甲、乙兩名考生填報志愿，要求甲、乙只能在A，B，C這3所院校中選擇一所填報志愿．假設每位同學選擇各個院校是等可能的，則院校A，B至少有一所被選擇的概率為．【答案】【分析】利用對立事件的概率計算公式和獨立事件的乘法公式即可得到答案.【詳解】設事件為院校A，B至少有一所被選擇，則其對立事件為兩人均選擇院校，甲選擇院校的概率為，乙選擇院校的概率為，則甲乙同時選擇院校的概率為，則.則院校A，B至少有一所被選擇的概率為.故答案為：.15．已知（）滿足，，且在上單調，則的最大值為.【答案】【分析】由，得到，再由函數(shù)在區(qū)間上單調，求出的取值范圍，即可求出的取值集合，從而求出的最大值；【詳解】滿足，，即，，在上單調，，即，當時最大，最大值為故答案為：16．已知，，若對，恒有，且點滿足，為的中點，則．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到對恒成立，即可得到對恒成立，根據(jù)求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，，因為對，恒有，所以對恒成立，即對恒成立，即對恒成立，所以，即，所以，又，所以.故答案為：四、解答題17．已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由向量平行的坐標運算求解；（2）由向量垂直的坐標運算求解.【詳解】（1）因為，所以.（2）,由，則，或．18．在△中，其內角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且滿足___________．①②③請從上述所給的三個條件中任選一個，補充到上面的橫線上，并解答下列問題：(1)求角A的大??；(2)已知△外接圓的半徑為，如圖所示，AD是的角平分線，且，求△的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①利用正切的兩角和公式恒等變形即可求解；若選②利用余弦的二倍角公式及其輔助角公式恒等變形即可求解；若選③利用正弦定理邊化角,并利用正弦的二倍角公式恒等變形即可求解.（2）利用正弦定理即可求得,利用面積關系及其余弦定理即可求得，最后即可求得△的面積.【詳解】（1）若選①，由已知式化簡得，所以．在△中，，所以，所以．因為，所以．若選②，在△中，，則已知式化為，所以，即，所以，因為，所以，所以，即．若選③，由題設及正弦定理，得．在△中，，且．所以，即．因為，所以，所以，又因為，所以，所以．（2）由（1）和題設知，，△外接圓的半徑，從而在△中，由正弦定理得，由于，且，所以，所以．①在△中，由余弦定理得，即．②聯(lián)立①②，得，解得，或（舍去），所以．19．某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過的部分按0.5元收費，超過但不超過的部分按0.8元收費，超過的部分按1.0元收費.（1）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：）的函數(shù)解析式（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶居民中，今年1月份電費不超過260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的條件下，計算月用電量的75%分位數(shù).【答案】（1）；（2），；（3）375千瓦時.【分析】（1）根據(jù)題意以及分段函數(shù)的知識，求得與之間的函數(shù)解析式.（2）先求得用電量低于400千瓦時的占80%，利用頻率之和列方程組，解方程組求得的值.（3）根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，計算出分位數(shù).【詳解】（1）當時，；當時，；當時，.所以與之間的函數(shù)解析式為（2）由（1）可知，當時，，即用電量低于400千瓦時的占80%，結合頻率分布直方圖可知解得，.（3）設75%分位數(shù)為，因為用電量低于300千瓦時的所占比例為，用電量低于400千瓦時的占80%，所以75%分位數(shù)在內，所以，解得，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時.20．如圖，正方形和菱形所在平面互相垂直，.四棱錐的體積是.

(1)求證：平面；(2)求四面體的體積.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）先由，，可證明平面平面，進而得證.（2）連接交于點，連接，先證平面，可證明平面，四面體在面上的高為，由此能求出四面體的體積.【詳解】（1）證明：因為四邊形是正方形，四邊形是菱形，所以，，所以平面，平面，又是平面內的兩條相交直線，平面平面，又平面，平面.（2）解：連接，與交于點，連接，則為，的中點，四邊形是菱形，，是正三角形，，平面平面，且交線為,平面，同理，得平面，設正方形的邊長為，則，，，解得，，四面體在面上的高為，四面體的體積為：.

21．從以下給出的①、②兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．①，②已知的內角、、所對的邊分別是、、，若______．（1）求角的值；（2）求的面積取得最大值時，邊的長．【答案】條件選擇見解析（1）；（2）2.【分析】（1）若選①，利用正弦定理化邊為角，可得，即得解；若選②，利用正弦定理化角為邊，可得，結合余弦定理，即得解；（2）由，再結合均值不等式可得，再利用面積公式即得解.【詳解】（1）若選①：由正弦定理可化為，則，因為，所以；若選②：由正弦定理可化為，即，由余弦定理可得，因為，所以；（2）因為，即，所以，當且僅當時，取最大值為，即有，解得．22．如圖，在四棱錐中，，，平面平面PAD，E是的中點，F(xiàn)是DC上一點，G是PC上一點，且，.（1）求證：平面平面PAB；（2）若，，求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）從線面垂直的證明入手，證明平面PAB，從而證得平面平面PAB；（2）添加輔助線，找到直線PB與平面ABCD所成的角，再在直角三角形中求其正弦值，也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行求解.【詳解】（1）如圖，取的中點M，連接MD，ME，則，.又，，所以，，所以四邊形MDFE是平行四邊形，所以.因為，所以.因為平面平面PAD，平面平面，，所以平面PAD.因為平面PAD，所以.因為，所以平面PAB，所以平面PAB.又平面EFG，所以平面平面PAB.（2）解法—：過點P作于點H，則平面ABCD，以H為坐標原點，HA所在直線為x軸，過點H且平行于AB的直線為y軸，PH所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.在等腰三角形PAD中，，，因為，所以，解得，則，所以，，所以.易知平面ABCD的一個法向量為，所以，所以直線PB與