第7章非正弦周期電流電路

7.1非正弦周期量及其分解

7.2非正弦周期電流電路中的有

效值、平均值和平均功率

7.3非正弦周期電流電路的計(jì)算本章小結(jié)習(xí)題 7.1非正弦周期量及其分解

工程中比較常見的幾種非正弦周期量如圖7.1所示,圖(a)、(b)為脈沖電路中常遇到的尖脈沖和矩形脈沖信號(hào),圖(c)所示鋸齒波是實(shí)驗(yàn)室常用的示波器中掃描電壓所具有的波形。非正弦信號(hào)可分為周期性的和非周期性的兩種。上述波形雖然形狀各不相同,但變化規(guī)律都是周期性的。含有周期性非正弦信號(hào)的電路,稱為非正弦周期電流電路。本章僅討論線性非正弦周期電流電路。從高等數(shù)學(xué)中知道,凡是滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可分解為傅里葉級(jí)數(shù)。在電

工技術(shù)中所遇到的周期函數(shù)通常都滿足這個(gè)條件,因此都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T,角頻率ω=2π/T,則其分解為傅里葉級(jí)數(shù)為用三角公式展開,式(7.1)還可以寫成另外一種形式,即

上述兩式應(yīng)滿足下列關(guān)系:其中a0、ak、bk為傅里葉系數(shù),可按下列各式求得

可見,將周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù),實(shí)質(zhì)上就是計(jì)算傅里葉系數(shù)a0、ak、bk。式(7.1)中A0是不隨時(shí)間變化的常數(shù),稱為f(t)的直流分量或恒定分量,它就是f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值;第二項(xiàng)A1msin(ωt+θ1),其周期或頻率與原周期函數(shù)f(t)的周期或頻率相同,稱為基波或一次諧波;其余各項(xiàng)的頻率為基波頻率的整數(shù)倍,分別為二次、三次、…、k次諧波,統(tǒng)稱為高次諧波,k為奇數(shù)的諧波稱為奇次諧波,k為偶數(shù)的諧波稱為偶次諧波。

例7.1求圖7.2所示矩形波的傅里葉級(jí)數(shù)。

解圖示周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為

根據(jù)前述有關(guān)知識(shí)得

由此可知,該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為

以上介紹了用數(shù)學(xué)分析的方法來求解函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。工程上經(jīng)常采用查表的方法來獲得周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。電工技術(shù)中常見的幾種周期函數(shù)波形及其傅里葉級(jí)數(shù)展開式如表7.1所示。電工技術(shù)中常見的周期函數(shù)具有某種對(duì)稱性時(shí),其傅里葉級(jí)數(shù)中不含某些諧波。它們有一定的規(guī)律可循,掌握這些規(guī)律可使分解傅里葉級(jí)數(shù)的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。

1.周期函數(shù)為奇函數(shù)

奇函數(shù)是f(t)=-f(-t)的函數(shù),其波形對(duì)稱于原點(diǎn),如表7.1中的三角波、梯形波、矩形波都是奇函數(shù)。可以證明奇函數(shù)的a0=0,ak=0,所以奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有正弦項(xiàng),不含直流分量和余弦項(xiàng),可表示為2.周期函數(shù)為偶函數(shù)

偶函數(shù)是f(t)=f(-t)的函數(shù),其波形對(duì)稱于縱軸,如表7.1中半波整流波、全波整流波均是偶函數(shù)。偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中bk=0,所以偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦項(xiàng)。

3.奇諧波函數(shù)

圖7.3奇諧波函數(shù)奇諧波函數(shù)是指函數(shù)f(t)滿足f(t)=-f(t+T/2)的函數(shù),也就是說,將波形移動(dòng)半個(gè)周期后便與原波形對(duì)稱于橫軸,所以也叫鏡像函數(shù),如圖7.3所示,圖中虛線表示移動(dòng)后的波形。表7.1中,三角波、梯形波、鋸形波都是奇諧波函數(shù)。交流發(fā)電機(jī)所產(chǎn)生的電壓實(shí)際為非正弦周期性的電壓(一般為平頂波),也屬于奇諧波函數(shù)。

可以證明,奇諧波函數(shù)的傅里

葉展開式中只含有奇次諧波,

而不含直流分量和偶次諧波,

可表示為函數(shù)對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)或縱軸,除與函數(shù)自身有關(guān)外,與計(jì)時(shí)起點(diǎn)也有關(guān)。而函數(shù)對(duì)稱于橫軸,只與函數(shù)本身有關(guān),與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無關(guān)。因此,對(duì)某些奇諧波函數(shù),合理地選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn),可使它又是奇函數(shù)或又是偶函數(shù),從而使函數(shù)的分解得以簡(jiǎn)化。如表7.1中的三角波、矩形波、梯形波,它們本身是奇諧波函數(shù),其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波,如表中選擇的計(jì)時(shí)起點(diǎn),則它們又是奇函數(shù),不含余弦項(xiàng),所以,這些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中只含有奇次正弦項(xiàng)。

有些函數(shù),從表面來看,該函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù),如圖7.4(a)所示電壓u(t)。但如果對(duì)該函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖兓?就可能很容易地得到該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。如將圖

7.4(a)所示電壓可分解為圖7.4(b)、(c)所示電壓之和,即u(t)=u1(t)+u2(t)。根據(jù)例7.1的結(jié)果或查表7.1可得該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為例7.2試把表7.1中振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級(jí)數(shù)(取至五次諧波)。

解電壓基波的角頻率為

選擇它為奇函數(shù),查表7.1可得

這一級(jí)數(shù)收斂很快,實(shí)際分析時(shí)只取前幾項(xiàng),計(jì)算結(jié)果就已經(jīng)滿足實(shí)際要求了。以上介紹了周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)的方法。工程中為了清晰地表示一個(gè)非正弦周期量所含各次諧波分量的大小和相位,通常采用頻譜圖的方法。所謂頻譜圖,就是用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小或相位大小成比例的線段按照諧波頻率的次序排列起來的圖形。這種方法可以很直觀地將各次諧波振幅、相位與頻率的關(guān)系表示出來。非正弦周期函數(shù)的頻譜是離散的。思考題

1.一個(gè)半波整流后的電流波,其振幅為300mA,頻率為50Hz,查表7.1,將它分解為傅里葉級(jí)數(shù)(精確到四次諧波)。

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇諧波函數(shù)各有什么異同點(diǎn)?

3.指出下列各函數(shù)的波形特征。4.下列各電流表達(dá)式都是非正弦周期電流嗎?7.2非正弦周期電流電路中的有效值、

平均值和平均功率

7.2.1有效值

在第4章中已經(jīng)定義過,任何周期量的有效值等于它的方均根值。如周期電流i(t)的有效值I為

設(shè)某一非正弦周期電流分解為傅里葉級(jí)數(shù)為將i(t)代入有效值定義式,得

將上式根號(hào)內(nèi)的平方項(xiàng)展開,展開后的各項(xiàng)可分為兩種類型。一類為各次諧波的平方,其值為

另一類為兩個(gè)不同次諧波乘積的兩倍,即根據(jù)三角函數(shù)的正交性,上述函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零。

這樣可以求得非正弦周期電流i(t)的有效值為

同理,非正弦周期電壓u(t)的有效值為

應(yīng)當(dāng)注意的是,零次諧波的有效值為恒定分量的值,其它各次諧波有效值與最大值的關(guān)系是例7.3試求周期電壓u(t)=[100+70sin(100πt-70°)-40sin(300πt+15°)]V的有效值。

解u(t)的有效值為

7.2.2平均值

除有效值外,非正弦周期量有時(shí)還引用平均值。對(duì)于非正弦周期量的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中直流分量為零的交變量,平均值總為零。但為了便于測(cè)量和分析,一般定義周期量的

平均值為它的絕對(duì)值的平均值。設(shè)周期電流為i(t),則應(yīng)當(dāng)注意的是,一個(gè)周期內(nèi)其值有正、有負(fù)的周期量的平均值Iav與其直流分量I是不同的,只有一個(gè)周期內(nèi)其值均為正值的周期量,平均值才等于其直流分量。

例如,當(dāng)i(t)=Imsinωt時(shí),其平均值為

或

I=1.11Iav

同樣,周期電壓的平均值為

對(duì)周期量,有時(shí)還用波形因數(shù)Kf、波頂因數(shù)KA和畸變因數(shù)Kj來反映其性質(zhì):

式(7.6)中這兩個(gè)因數(shù)均大于1。一般情況下還有這樣的特點(diǎn):周期函數(shù)的波形越尖,則這兩個(gè)因數(shù)越大;波形越平,則因數(shù)越小。波形因數(shù)越大,則受同樣電壓有效值作用的電器越容易損壞,在某些場(chǎng)合下應(yīng)特別注意?；円驍?shù)是表達(dá)非正弦周期函數(shù)的波形與正弦波的差異的量,它等于基波的有效值與非正弦周期函數(shù)的有效值之比,即

對(duì)上例的正弦量

對(duì)于同一非正弦周期電流,當(dāng)我們用不同類型的儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí),往往會(huì)有不同的結(jié)果。如用磁電系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果為電流的恒定分量;用電磁系或電動(dòng)系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果將是電流的有效值;用全波整流磁電系儀表測(cè)量時(shí),所得結(jié)果將是電流的平均值,但標(biāo)尺按正弦量的有效值與整流平值的關(guān)系換算成有效值刻度,只有在測(cè)量正弦量時(shí)讀數(shù)為其實(shí)際有效值,而測(cè)量非正弦量時(shí)會(huì)有誤差。7.2.3平均功率

非正弦周期電流電路的平均功率仍可定義為

設(shè)某二端網(wǎng)絡(luò)端口電壓u(t)、電流i(t)各為

式中,θuk、θik為k次諧波電壓、電流的初相。并設(shè)φk=θuk-θik,即k次諧波電壓超前于k次諧波電流的相位,所以

由于

因而

式中,Uk、Ik為k次諧波電壓、電流的有效值。注意到三角函數(shù)的正交性,不同次諧波電壓、電流的乘積,它們的平均值均為零。所以,平均功率為

上式說明,只有同頻率的電壓和電流相互作用才產(chǎn)生平均功率,不同頻率的電壓和電流相互作用只產(chǎn)生瞬時(shí)功率而不產(chǎn)生平均功率?？偟钠骄β实扔诟鞔沃C波平均功率之和。

非正弦電流電路的無功功率則定義為各次諧波無功功率之和,即非正弦電流電路的視在功率則定義為

應(yīng)當(dāng)注意:視在功率不等于各次諧波視在功率之和。

在工程計(jì)算中,為了計(jì)算簡(jiǎn)便,往往采用等效正弦波替代原來的非正弦波。等效的條件是:等效正弦量的有效值為非正弦量的有效值,等效正弦量的頻率為基波的頻率,平均功率不變。由此可得

cosφ也稱非正弦電路的功率因數(shù),φ為等效正弦電壓與電流的相位差。例7.4已知某電路的電壓、電流分別為

求該電路的平均功率、無功功率和視在功率。

解平均功率為

無功功率為

視在功率為思考題

1.試求周期電流i(t)=0.2+0.8sin(ωt-15°)+0.3sin(2ωt+40°)A的有效值。

2.測(cè)量交流信號(hào)的有效值、整流平均值、直流分量應(yīng)分別選用何種測(cè)量機(jī)構(gòu)的儀表?

3.試分別求出半波整流波和全波整流波的波形因數(shù)、波頂因數(shù)和畸變因數(shù)。 7.3非正弦周期電流電路的計(jì)算

非正弦周期性電流電路的分析計(jì)算方法,主要是利用傅里葉級(jí)數(shù)將激勵(lì)信號(hào)分解成恒定分量和不同頻率的正弦量之和,然后分別計(jì)算恒定分量和各頻率正弦量單獨(dú)作用下電路

的響應(yīng),最后利用線性電路的疊加原理,就可以得到電路的實(shí)際響應(yīng)。這種分析電路的方法稱諧波分析法。其分析電路的一般步驟如下:

(1)將給定的非正弦激勵(lì)信號(hào)分解為傅里葉級(jí)數(shù),并根據(jù)計(jì)算精度要求,取有限項(xiàng)高次諧波。(2)分別計(jì)算各次諧波單獨(dú)作用下電路的響應(yīng),計(jì)算方法與直流電路及正弦交流電路的計(jì)算方法完全相同。對(duì)直流分量,電感元件等于短路,電容元件等于開路。對(duì)各次諧波,

電路成為正弦交流電路。但應(yīng)當(dāng)注意,電感元件、電容元件對(duì)不同頻率的諧波有不同的電抗。如基波,感抗為XL1=ωL,容抗為XC1=1/(ωC);而對(duì)k次諧波,感抗為XLk=kωL=kXL1,容抗為XCk=1/(kωC)=(1/k)XC1,所以諧波次數(shù)越高,感抗越大,容抗越小。(3)應(yīng)用疊加原理,將各次諧波作用下的響應(yīng)解析式進(jìn)行疊加。需要注意的是,必須先將各次諧波分量響應(yīng)寫成瞬時(shí)值表達(dá)式后才可以疊加,而不能把表示不同頻率的諧波的

正弦量的相量進(jìn)行加減。最后所求響應(yīng)的解析式是用時(shí)間函數(shù)表示的。

例7.6圖7.6所示電路中,us=(10+502sinωt+302sin3ωt)V,已知R=10Ω,ωL=30Ω,ωL1=10Ω,1/(ωC)=90Ω。試求i(t)、i1(t)、u(t)。

解(1)對(duì)直流分量:(2)在基波作用下:(3)對(duì)三次諧波,并聯(lián)的L1、C發(fā)生諧振,即3ωL1=1/(3ωC)=30Ω,這部分阻抗為無窮大,所以

因此,可以得到感抗和容抗對(duì)諧波作用不同的這種特性在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。例如,利用電感和電容的電抗隨頻率變化的特點(diǎn)可以組合成各種形式的電路,將這種電路連接在輸入和輸出之間時(shí),可以讓某些所需要的頻率分量順利地通過而抑制某些不需要的分量。這種電路稱為濾波器,如圖7.7所示。濾波器在通信工程中應(yīng)用很廣,一般按照它的功用可以分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。圖7.7(a)所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的低通濾波器,圖中電感元件對(duì)高頻電流有很強(qiáng)的抑制作用,而電容元件對(duì)高頻電流有很強(qiáng)的分流作用,這樣輸出信號(hào)中的高頻成分小,而低頻成

分大。圖7.7(b)所示為最簡(jiǎn)單的高通濾波器,其作用原理可進(jìn)行類似分析。不過,實(shí)際濾波器電路的結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多像圖7.7所示的簡(jiǎn)單濾波器將難以滿足更好濾波特性的要求。思考題