高等數(shù)學（上冊）第五章定積分定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)微積分基本定理第二節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法第三節(jié)廣義積分第四節(jié)定積分的應用第五節(jié)定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)

實例1求曲邊梯形的面積.設f(x)為閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0．由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖5-1所示．那么，這個曲邊圖形的面積如何計算呢？一、定積分的概念實例引入1.

我們知道，平面圖形可以劃為若干個曲邊梯形之和．為了解決求平面圖形面積的問題，先來解決如何求曲邊梯形的面積問題．現(xiàn)在，我們所遇到的主要困難是：它的一條邊f(xié)(x)是曲線，如果f(x)是平行于x軸的直線段，則為矩形，其面積公式為矩形的面積＝底×高．一、定積分的概念

但曲邊梯形的面積不能用這個公式計算，因為它各處的高是不同的．為了解決上面的困難，我們用一組平行于y軸的直線將曲邊梯形分割成若干個小窄曲邊梯形．針對每個小窄曲邊梯形，由于它的底很窄，高f(x)變化不大，可以近似地看做不變，小窄曲邊圖形可近似為窄矩形．把這些小窄曲邊圖形面積的近似值加起來就得到了原曲邊梯形面積的近似值．可以想象，把曲邊梯形分的越細，所得到的近似值的精確度就越高．因此，當無限細分（每個小矩形的底邊長都趨于零）時，所得的近似值如果有極限，就可定義該極限值為曲邊梯形的面積．下面分四步具體討論：一、定積分的概念（1）分割在［a,b］區(qū)間內(nèi)任取n－1個分點a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把區(qū)間［a,b］分成個n小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長度依次為Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，過每一個分點作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形．一、定積分的概念

（2）近似在每個小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－xi－1為底，f(ξi)為高的窄矩形代替第i個小曲邊梯形(i=1,2,…,n)，若記ΔAi為第i個小曲邊梯形面積，則有ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)．一、定積分的概念（3）求和把這樣得到的n個窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值，即一、定積分的概念（4）取極限為了保證每個小區(qū)間的長度都趨近于零，就必須要求小區(qū)間長度的最大值趨于零，若記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，則上述條件相當于λ→0．當λ→0時(必然是小區(qū)間的個數(shù)無限增大，即n→∞)，對上式取極限，就得到曲邊圖形的面積一、定積分的概念實例2變速直線運動的路程.設某物體做直線運動，已知它的速度v=v(t)是時間間隔［T1,T2］上的連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0．該物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)歷的路程如何計算呢？勻速直線運動中，v(t)=常數(shù)，則路程＝速度×時間．但速度隨時間變化的運動就不能用這種方法計算路程了．然而，由于物體運動的速度是連續(xù)變化的，在很短的時間間隔內(nèi)，速度的變化很小，可以把這段時間間隔內(nèi)變速運動近似看成勻速運動．這就提示了計算變速直線運動路程的方法．一、定積分的概念一、定積分的概念

（2）近似在時間間隔［ti－1,ti］上任取一時刻τi，以τi時的速度v(τi)作為時間間隔［ti－1,ti］上的平均速度計算Δsi，則Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)．（3）求和將這n個小段路程相加就得到物體在時間間隔［T1,T2］上經(jīng)過的路程的近似值，即

（4）取極限記λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，當λ→0時，對上式取極限，就得到變速直線運動在時間間隔［T1,T2］內(nèi)的總路程一、定積分的概念定積分的定義2.前面介紹的兩個實例其解決的實際問題雖不同，但其解決問題所用的思想和方法卻是相同的，即“分割、近似、求和、取極限”．我們就把這類問題抽象成一個數(shù)學概念，稱之為定積分．一、定積分的概念定義

設f(x)是定義在區(qū)間［a,b］上的有界函數(shù)，用分點a=x0<x1<…<xn－1<xn=b把區(qū)間［a,b］分成個n小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長度依次為Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，在每個小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n個乘積f(ξi)Δxi的和式一、定積分的概念其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，［a,b］稱為積分區(qū)間，“∫”稱為積分號，是拉丁文Summa一詞的字頭S拉長．可見，定積分本質(zhì)上就是一個和式的極限．利用定積分的定義，前面討論的兩個實際問題可以分別表述如下：一、定積分的概念(1)連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積等于函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，即(2)物體以變速v=v(t)(v(t)≥0)作直線運動，從時刻t=T1到t=T2，該物體經(jīng)過的路程等于函數(shù)v(t)在區(qū)間［T1,T2］上的定積分，即一、定積分的概念關于定積分定義的理解，應注意以下幾點：（1）定積分是一個數(shù)，它僅與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關，而與積分變量用哪個字母表示、區(qū)間如何分割（采用均勻分割或非均勻分割）及點ξi的取法（可以取第i個小區(qū)間的左端點、右端點或中點，也可以是區(qū)間內(nèi)任意一點）無關，即有一、定積分的概念（2）在上述定義中，我們實際上限定了上限大于下限，即a<b，但在實際應用及理論分析中，會用到上限小于下限或等于下限的情況．為此，我們把定積分的定義擴充如下：當a<b時，規(guī)定當a=b時，規(guī)定∫aaf(x)dx（3）如果定積分∫baf(x)存在，就稱f(x)在［a,b］上可積，否則就稱f(x)在［a,b］上不可積．一、定積分的概念思考

一個函數(shù)在什么條件下可積？什么條件下不可積？一、定積分的概念定積分存在的充分條件3.

若f(x)在［a,b］上無界，則f(x)在［a,b］上一定是不可積的．這是因為，若f(x)在［a,b］上無界，那么無論對［a,b］怎樣分割，都至少有一個區(qū)間［xi－1,xi］，函數(shù)f(x)在其上無界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一點ξi，使得f(ξi)大于任意一個正數(shù)M，因而也就使得和式

∑=1f(ξi)Δxi可以任意的大．當λ→0時，這個和就不可能趨向于任何極限．由此可知，f(x)在［a,b］上可積的必要條件是f(x)在［a,b］上有界．一、定積分的概念

然而，函數(shù)f(x)在［a,b］上有界并不是可積的充分條件.例如，在［0,1］上是有界函數(shù)，但不可積．因為不論對［0,1］怎樣分割，在任意被分割的小區(qū)間［xi－1,xi］上，總能取到ξi為有理數(shù)，這時f(ξi)=1，也總能取到ξi為無理數(shù)，這時f(ξi)=0．所以對［0,1］的任何一種分法，我們總可以得到當λ→0時，這兩個和式的極限分別為1和0，所以f(x)在［0,1］上不可積．一、定積分的概念定理1定理2如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積．如果函數(shù)f(x)在［a,b］上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在［a,b］上可積．一、定積分的概念定積分的幾何意義4.在區(qū)間［a,b］上，f(x)≥0時，∫baf(x)表示由曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積．在區(qū)間［a,b］上，f(x)≤0時，由曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，∫baf(x)在幾何上表示該曲邊梯形的面積的負值．一、定積分的概念

在區(qū)間［a,b］上，f(x)既有正值又有負值時，函數(shù)y=f(x)的圖形某些部分在x軸的上方，而其他部分在x軸的下方．如果規(guī)定在x軸的上方的圖形的面積為正，在x下方的圖形面積為負，那么∫baf(x)的幾何意義就是介于曲線y=f(x)、x軸及兩條直線x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和，如圖5-2所示．一、定積分的概念【例1】一、定積分的概念【例2】一、定積分的概念

一、定積分的概念

一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≡1，則

此時曲邊變成直邊，積分值為底為b－a，高為1的矩形面積．性質(zhì)2二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)3（線性性質(zhì)）被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即(k為常數(shù))．（積分區(qū)間的可加性）對于任意三個常數(shù)a，b，c，下式恒成立：這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性．此性質(zhì)的幾何意義是曲邊梯形的面積可以分成兩個曲邊梯形面積之和．二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≥0，則由定積分幾何意義知道：此定積分的值就等于以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積．性質(zhì)6（比較性質(zhì)）如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≤g(x)，則二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)7性質(zhì)8（比較性質(zhì)）在區(qū)間［a,b］上（積分估值性）設函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值為M，最小值為m，則二、定積分的性質(zhì)證因m≤f(x)≤M，由定積分的性質(zhì)6得于是有由上式得．這表明介于函數(shù)f(x)的最小值與最大值之間，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在［a,b］上至少存在一點ξ，使得這就是下面給出的定積分中值定理．二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)9

（定積分中值定理）如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在區(qū)間［a,b］上至少存在一個點ξ，使下式成立：這個公式稱為積分中值公式.二、定積分的性質(zhì)

定積分中值定理在幾何上表示這樣一個事實：以連續(xù)曲線y=f(x)(a≤x≤b,f(x)≥0)為曲邊的曲邊梯形面積等于以f(ξ)為高、(b－a)為底的矩形的面積，如圖5-6所示.f(ξ)稱為連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的平均值．圖5-6二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì)性質(zhì)10

設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［－a,a］上連續(xù)，則用定積分的幾何意義去理解定積分的這些性質(zhì)會比較直觀二、定積分的性質(zhì)【例3】二、定積分的性質(zhì)【例4】二、定積分的性質(zhì)思考

(1)課本通過兩個實例引出了定積分概念，請問：這兩個實例的共同本質(zhì)是什么？定積分定義的核心又是什么？(2)利用定積分的幾何意義說明是否正確?為什么？”二、定積分的性質(zhì)微積分基本定理第二節(jié)一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系

為了討論質(zhì)點在變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)間的聯(lián)系，有必要沿質(zhì)點的運動方向建立坐標軸.設時刻t時質(zhì)點所在位置st，速度vtvt≥0.已知質(zhì)點在時間間隔T1,T2內(nèi)經(jīng)過的路程可以用速度函數(shù)vt在T1,T2上的定積分來表示；另一方面，這段路程又可通過位置函數(shù)st在區(qū)間T1,T2上的增量一、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)

設函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，x是［a,b］上的一點，則由（5-1）所定義的函數(shù)稱為積分上限的函數(shù)（或變上限的函數(shù)）.式（5-1）中積分變量和積分上限有時都用x表示，但它們的含義并不相同，為了區(qū)別它們，常將積分變量改用t來表示，即Φ(x)的幾何意義是：右側(cè)直線可移動的曲邊梯形的面積.如圖5-7所示，曲邊梯形的面積Φ(x)隨x的位置的變動而改變，當x給定后，面積Φ(x)就隨之確定.圖5-7二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)定理1

若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在［a,b］上可導，且（5-2）證明設x∈(a,b)，x獲得增量Δx，其絕對值足夠的小，使得x+Δx∈（a,b），則有其中ξ在x與x+Δx之間.二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)其中ξ在x與x+Δx之間.又函數(shù)f(x)在點x處連續(xù)，而Δx→0時，ξ→x,所以若x為區(qū)間［a,b］的端點,則只需將上面證明中的x換成a或b,再分別限制Δx>0或Δx<0,即能證明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).綜上所述,即有(a≤x≤b).這個定理指出了一個重要結(jié)論：連續(xù)函數(shù)f(x)取變上限x的定積分然后求導，其結(jié)果還原為f(x)本身.二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例1】【例2】二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例3】二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)【例4】二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓-萊布尼茨公式定理2

若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則函數(shù)

就是f(x)在［a,b］上的一個原函數(shù).由定理2知，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，并且可以通過原函數(shù)來計算定積分.定理3

若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的一個原函數(shù)，則（5-3）公式（5-3）稱為牛頓-萊布尼茨公式.三、牛頓-萊布尼茨公式

證明已知函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)定理2知，也是f(x)的一個原函數(shù)，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而所以F(a)=C，故在上式中再令x=b，即得公式（5-3）.該公式也常記為三、牛頓-萊布尼茨公式當a>b時，牛頓-菜布尼茨公式仍成立.注意三、牛頓-萊布尼茨公式由于f(x)的原函數(shù)F(x)一般可通過求不定積分求得，因此，牛頓-萊布尼茨公式巧妙地把定積分的計算問題與不定積分聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個原函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的增量問題.定理3通常稱為微積分基本定理，牛頓-萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式.三、牛頓-萊布尼茨公式【例5】【例6】三、牛頓-萊布尼茨公式【例7】【例8】三、牛頓-萊布尼茨公式定積分的換元積分法和分部積分法第三節(jié)一、定積分的換元法我們用換元法計算不定積分時，沒有考慮原變量x與新變量t的取值范圍，如果用換元法計算定積分，原積分變量x與新變量t的變化區(qū)間會有所不同，即積分區(qū)間會隨之改變，而且我們還必須要求新的積分區(qū)間應該是唯一的，這就要求代換函數(shù)x＝φ(t)具有連續(xù)導數(shù)且反函數(shù)有單調(diào)性．我們用下面的定理介紹這個方法．定理1一、定積分的換元法證如果∫f(x)dx＝F(x)＋c，則∫f［φ(t)］φ′(t)dt＝F［φ(t)］＋c，于是一、定積分的換元法（1）定積分的換元與不定積分的換元的不同之處在于：定積分在換元之后，積分上、下限也要作相應的變換，即“換元必換限”，并且換元之后不必回代；（2）由φα=a,φβ=b確定的α,β，可能α>β，也可能α<β．但對新變量t的積分來說，一定是α對應于x=a的位置，β對應于x=b的位置．注意一、定積分的換元法【例1】一、定積分的換元法【例2】一、定積分的換元法【例3】一、定積分的換元法【例4】一、定積分的換元法【例5】一、定積分的換元法

一、定積分的換元法【例7】一、定積分的換元法【例8】一、定積分的換元法【例9】一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法設u=u(x)，v=v(x)在區(qū)間［a，b］上有連續(xù)的導數(shù)，則(uv)′=u′v+uv′．即uv′=(uv)′－u′v．等式兩端取x由a到b的積分，即得（5-5）或?qū)憺椋?-6）式（5-5）或式（5-6）稱為定積分的分部積分法．由不定積分和定積分的分部積分公式可看出，定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法類似，只要注意計算定積分的積分上限與積分下限原函數(shù)值的差即可.【例10】二、定積分的分部積分法【例11】二、定積分的分部積分法【例12】二、定積分的分部積分法【例13】二、定積分的分部積分法【例14】二、定積分的分部積分法廣義積分第四節(jié)一、無窮區(qū)間的廣義積分定義1

設f(x)在區(qū)間［a,+∞)內(nèi)連續(xù)，任取b>a，若極限limb→+∞存在，則稱此極限為f(x)在區(qū)間［a,+∞)上的廣義積分，記作∫+∞af(x，即(5-7)此時稱廣義積分∫+∞af(x存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞af(x沒有意義或發(fā)散．類似地，可定義f(x)在區(qū)間(－∞,b］上的廣義積分(5-8)以及∫b－∞f(收斂和發(fā)散的概念．定義2

f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，如果廣義積分定義為(5-9)其中a為任意實數(shù)．當上式右端兩個積分都收斂時，稱廣義積分存在或收斂；否則稱廣義積分沒有意義或發(fā)散．是否收斂和a的取值無關．一、無窮區(qū)間的廣義積分【例1】【例2】一、無窮區(qū)間的廣義積分該題的結(jié)論一般要記住，可作為定理使用．注意一、無窮區(qū)間的廣義積分【例3】圖5-8一、無窮區(qū)間的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分定義3

此時稱廣義積分存在或收斂；否則稱廣義積分沒有意義或發(fā)散．這種廣義積分又稱為瑕積分，a為瑕點．類似地，可定義f(x)在區(qū)間［a,b)上的廣義積分定義4

否則，稱其沒有意義或發(fā)散．二、無界函數(shù)的廣義積分【例4】二、無界函數(shù)的廣義積分

圖5-9二、無界函數(shù)的廣義積分【例5】該題的結(jié)論一般要記住，可作為定理使用．注意二、無界函數(shù)的廣義積分【例6】上面等式右端的廣義積分至少有一個發(fā)散，則廣義積分．注意二、無界函數(shù)的廣義積分【例7】二、無界函數(shù)的廣義積分【例8】下列算式是否正確？二、無界函數(shù)的廣義積分

二、無界函數(shù)的廣義積分

二、無界函數(shù)的廣義積分思考

(1)本節(jié)學習了幾種不同類型的廣義積分？它與定積分有何區(qū)別與聯(lián)系？(2)為什么要學習廣義積分？什么情況下要用廣義積分？二、無界函數(shù)的廣義積分定積分的應用第五節(jié)一、定積分的元素法

定積分的所有應用問題，一般可按“分割、近似、求和、取極限”這四個步驟把所求量表示為定積分的形式.為更好地說明這種方法，先來回顧本章第一節(jié)中討論過的求曲邊梯形面積的問題.假設一曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)（f(x)≥0），x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成，試求其面積A.

（1）分割用任意一組分點把區(qū)間［a,b］分成長度為Δxi(i=1,2,…,n）的n個小區(qū)間，相應地把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，記第i個小曲邊梯形的面積為ΔAi.

（2）近似第i個小曲邊梯形面積的近似值ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).(3）求和所求曲邊梯形面積A的近似值（4）取極限所求曲邊梯形面積A的精確值其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.一、定積分的元素法一、定積分的元素法

（1）分割把區(qū)間［a,b］分割為n個小區(qū)間，任取其中一個小區(qū)間［x,x+dx］（區(qū)間元素），用ΔA表示［x,x+dx］上小曲邊梯形的面積，于是，所求面積A=∑ΔA.一、定積分的元素法（2）近似?。踴,x+dx］的左端點x為ξ.以點x處的函數(shù)值f(x)為高、dx為底的小矩形的面積f(x)dx(面積元素，記為dA）作為ΔA的近似值(見圖5-10)，即ΔA≈dA=f(x)dx.圖5-10一、定積分的元素法（3）求和所求曲邊梯形面積A的近似值A≈∑dA=∑f(x)dx.（4）取極限所求曲邊梯形面積A的精確值由上述分析，可以抽象出在應用學科中廣泛采用的將所求量U（總量)表示為定積分的方法——元素法，這個方法的主要步驟如下：一、定積分的元素法（1）根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a,b］，任?。踑,b］的一個區(qū)間元素［x,x+dx］，求出相應于這個區(qū)間元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求總量U的元素dU=f(x)dx.（2）根據(jù)dU=f(x)dx寫出表示總量U的定積分一、定積分的元素法

應用元素法解決實際問題時，用定積分所表示的量U有三個共同特征：(1)所求總量U的大小取決于某個變量x的一個變化區(qū)間［a,b］，以及定義在該區(qū)間上的函數(shù)f(x).(2)所求總量U關于區(qū)間［a,b］應具有可加性，即區(qū)間［a,b］上的總量U等于各子區(qū)間上的部分量之和.（3）部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)dx=dU≈ΔU.一、定積分的元素法在通常情況下，要檢驗ΔU－f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實際應用中要注意dU=f(x)dx的合理性.元素法的應用十分廣泛，以下幾節(jié)將介紹元素法在幾何、物理以及經(jīng)濟中的應用.一、定積分的元素法二、定積分在幾何中的應用求平面圖形的面積1.1）直角坐標系下平面圖形的面積

由定積分的幾何意義知，連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)及直線x=a,x=b(a<b)與x軸所圍成的曲邊梯形的面積A是定積分其中被積表達式f(x)dx就是直角坐標系下的面積元素，它表示高為fx、底為dx的一個矩形面積.應用定積分，不但可以計算曲邊梯形的面積，還可以計算一些比較復雜的平面圖形的面積.（1）設平面圖形是由連續(xù)曲線y=fx,y=gx及直線x=a,x=b(a<b)圍成，且在［a,b］上fx≥gx(見圖5-11).圖5-11二、定積分在幾何中的應用二、定積分在幾何中的應用（2）平面圖形由連續(xù)曲線x=φ(y),x=ψ(y)及直線y=c,y=d(c<d)圍成，且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)(見圖5-12).圖5-12二、定積分在幾何中的應用

利用定積分的元素法，選y為積分變量,其變化區(qū)間為[c,d].在區(qū)間[c,d]上任取一小區(qū)間[y,y+dy],則該區(qū)間上的面積元素dA近似等于以φ(y)－ψ(y)為底、dy為高的小矩形的面積,即dA=[φ(y)－ψ(y)]dy,以面積元素為被積表達式，在區(qū)間c,d上積分,得所求平面圖形的面積二、定積分在幾何中的應用【例1】圖5-13二、定積分在幾何中的應用【例2】二、定積分在幾何中的應用其中A1為兩拋物線在第一象限部分與x軸所圍成的圖形的面積，如圖5-14所示.取y為積分變量，則面積元素為dA1=[(1+y2）－5y2]dy=(1－4y2)dy，所以圖5-14二、定積分在幾何中的應用

圖5-15二、定積分在幾何中的應用二、定積分在幾何中的應用【例3】二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用設曲線的方程由極坐標形式給出r=r(θ)(α≤θ≤β).現(xiàn)在用元素法求由曲線r=r(θ)，射線θ=α和θ=β所圍成的曲邊扇形（見圖5-17）的面積A.2）極坐標系下平面圖形的面積圖5-17二、定積分在幾何中的應用

選取極角θ為積分變量，其變化范圍為［α,β］.任取其一個區(qū)間元素［θ,θ+dθ］，則相應于［θ,θ+dθ］區(qū)間的小曲邊扇形的面積可以用半徑為r=r(θ)、中心角為dθ的圓扇形的面積來近似代替，從而曲邊扇形的面積元素所求曲邊扇形的面積.（5-13）二、定積分在幾何中的應用【例4】圖5-18二、定積分在幾何中的應用【例5】圖5-19二、定積分在幾何中的應用解法1

這里也可把它化為在直角坐標系下的曲線進行計算.二、定積分在幾何中的應用解法2

二、定積分在幾何中的應用求立體圖形的體積2.1）旋轉(zhuǎn)體體積

由一個平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如，圓柱可視為由矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，圓錐可視為直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，而球體可視為半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這里主要考慮以x軸和y軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體，下面利用元素法來推導求旋轉(zhuǎn)體體積的公式.二、定積分在幾何中的應用設旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的（見圖5-20）.下面求旋轉(zhuǎn)體的體積V.圖5-20二、定積分在幾何中的應用取x為自變量，其變化區(qū)間為［a,b］.設想用垂直于x軸的平面將旋轉(zhuǎn)體分成n個小薄片，即把［a,b］分成n個區(qū)間元素，其中任一區(qū)間元素［x,x+dx］所對應的小薄片的體積可近似視為以f(x)為底半徑、dx為高的扁圓柱體的體積，即該旋轉(zhuǎn)體的體積元素dV=π［f(x)］2dx，從而，所求旋轉(zhuǎn)體的體積二、定積分在幾何中的應用【例6】圖5-21二、定積分在幾何中的應用

解取x為積分變量，其變化區(qū)間為［0,h］.圓錐體中相應于［0,h］上任一小區(qū)間x,x+dx的薄片的體積近似等于底半徑為rhx、高為dx的扁圓柱體的體積，即體積元素

于是所求圓錐體的體積二、定積分在幾何中的應用用與上面類似的方法可以推出：由連續(xù)曲線x=φy,直線y=c,y=d(c<d)及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體(見圖5-22)的體積為圖5-22二、定積分在幾何中的應用【例7】圖5-23二、定積分在幾何中的應用2）平行截面面積為已知的立體的體積

設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為x軸，則在x處的截面面積A(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于x=a和x=b(a<b)之間的體積（見圖5-24）.圖5-24二、定積分在幾何中的應用取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，在微小區(qū)間［x,x+dx］上A(x)近似不變，即把［x,x+dx］上的立體薄片近似看成A(x)為底、dx為高的扁圓柱體，從而得到體積元素dV=A(x)dx,于是該物體的體積為二、定積分在幾何中的應用【例8】二、定積分在幾何中的應用

如圖5-25所示，畫出了立體Σ在第一卦限中的部分.由對稱性,它的體積是立體Σ的18,故由體積計算公式有圖5-25二、定積分在幾何中的應用【例9】二、定積分在幾何中的應用求平面曲線的弧長3.1）平面曲線弧長的概念直線的長度是可以直接度量的，而一條曲線段的長度一般不能直接度量.在介紹如何計算平面曲線的弧長之前，首先要建立平面曲線弧長的概念.由初等幾何知，求圓周長的方法是：利用圓內(nèi)接正多邊形的周長作為圓周長的近似值，令多邊形的邊數(shù)無限增多而取極限，就可定出圓周的周長.這里也可以類似地來定義平面曲線弧長的概念.二、定積分在幾何中的應用定義圖5-26二、定積分在幾何中的應用定理二、定積分在幾何中的應用2）平面曲線弧長的計算由于光滑曲線弧是可求長的，故可應用定積分來計算弧長.下面利用定積分的元素法來討論弧長的計算公式.（1）直角坐標情形.設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有一階連續(xù)導數(shù)，即曲線y=f(x)為［a,b］上的光滑曲線，求此光滑曲線的弧長s.二、定積分在幾何中的應用如圖5-27所示，取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，任取其上一區(qū)間元素［x,x+dx］，相應于該元素上的一小段弧的長度近似等于該曲線在點(x,f(x))處的切線上相應的一小段的長度，而切線上相應小段的長度為（5-14）圖5-27二、定積分在幾何中的應用【例10】圖5-28二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用【例11】圖5-29二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用【例11】二、定積分在幾何中的應用三、定積分在物理中的應用求變力沿直線所做的功1.

由初等物理知識知，一個與物體位移方向一致而大小為F的常力，將物體移動了距離s時所做的功為W=F·s.如果物體在運動過程中受到變力的作用，則可利用定積分元素法來計算物體受變力沿直線所做的功.一般的，假設F(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，下面討論在變力F(x)的作用下，物體從x=a移動到x=b時所做的功W（見圖5-31）.圖5-31

取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］，物體由點x移動到x+dx的過程中受到的變力近似視為物體在點x處受到的常力F(x)，則功元素為dW=F(x)dx，于是，物體受變力F(x)的作用從x=a移動到x=b時所做的功為

在實際應用中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形.下面通過具體例子來說明.三、定積分在物理中的應用【例13】圖5-32三、定積分在物理中的應用

三、定積分在物理中的應用【例14】圖5-33三、定積分在物理中的應用又因為40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m時，其伸長量為0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,可得k=800,則F(x)=800x,故彈簧從0.15m拉長到0.18m，所做的功為三、定積分在物理中的應用求水壓力2.

由物理學知,在距水面深為h處的壓強為p=ρgh（其中ρ為水的密度，g為重力加速度）,并且在同一點處的壓強在各個方向是相等的.若一面積為A的平板水平地放置在距水面深度為h處,則平板一側(cè)所受到的水壓力為P=pA=ρghA.若平板垂直地放在水中,由于深度不同的點處壓強不相同，平板一側(cè)所受壓力就不可用上述方法計算.但由于整個平板所受的壓力對深度具有可加性，因此可以用定積分的元素法來計算.三、定積分在物理中的應用

如圖5