求極限的13種方法（簡敘）龘龖龍極限概念與求極限的運算貫穿了高等數學課程的始終，極限思想亦是高等數學的核心與基礎，因此，全面掌握求極限的方法與技巧是高等數學的基本要求。本篇較為全面地介紹了求數列極限與函數極限的各種方法，供同學參考。利用恒等變形求極限利用恒等變形求極限是最基礎的一種方法，但恒等變形靈活多變，令人難以琢磨。常用的的恒等變形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函數的恒等變形、某些求和公式與求積公式的利用等。例1、求極限，其中分析由于積的極限等于極限的積這一法則只對有限個因子成立，因此，應先對其進行恒等變形。解因為===當時，而，故=利用變量代換求極限利用變量代換求極限的主要目的是化簡原表達式，從而減少運算量，提高運算效率。常用的變量代換有倒代換、整體代換、三角代換等。例2、求極限，其中m,n為正整數。分析這是含根式的（）型未定式，應先將其利用變量代換進行化簡，再進一步計算極限。解令原式=利用對數轉換求極限利用對數轉換求極限主要是通過公式進行恒等變形，特別的情形，在（）型未定式時可直接運用例3、求極限解原式=利用夾逼準則求極限利用夾逼準則求極限主要應用于表達式易于放縮的情形。例4、求極限分析當我們無法或不易把無窮多個因子的積變?yōu)橛邢迺r，可考慮使用夾逼準則。解因為，且不等式兩端當趨于無窮時都以0為極限，所以=0利用單調有界準則求極限利用單調有界準則求極限主要應用于給定初始項與遞推公式利用洛必達法則求極限適用于型未定式，其它類型未定式也可通過恒等變形轉化為型。洛必達法則使用十分方便，但使用時注意檢查是否符合洛必達法則的使用條件。例8、求極限解原式=注：連續(xù)兩次使用洛必達法則利用微分中值定理求極限利用微分中值定理求極限的重點是學會靈活應用拉格朗日中值定理，即。例9、求極限分析若對函數，在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理則：解由分析可知又所以=利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式）求極限利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式）求極限是求極限的又一極為重要的方法。與其它方法相比，泰勒公式略顯繁瑣，但實用性非常強。例10、求極限分析若使用洛必達法則，計算起來會相當麻煩；同時分子并非兩因式之積，等價無窮小也不適用，此時可以考慮用泰勒公式。解故原式=利用定積分的定義求極限由定積分的定義知，如果f(x)在上可積，那么，我們可以對用特殊的分割方法（如n等分），并在每一個子區(qū)間特殊地取點（如取每個子區(qū)間的左端點或右端點），所得積分和的極限仍是f(x)在上的定積分。所以，如果遇到某些求和式極限的問題，能夠將其表示為某個可積函數的積分和，就能用定積分來求極限。這里關鍵在于根據所給和式確定被積函數和積分區(qū)間。例11、求極限解從和式看，若選被積函數為,則因分點：原式==利用級數收斂的必要條件求極限級數具有以下性質：若級數收斂，則。所以對于某些極限可以將函數f(n)作為級數的一般項，只需證明級數收斂，便有=0.例12、求極限解令故=0利用冪級數的和函數求極限當數列本身就是某個級數的部分和數列時，求該數列的極限就成了求相應級數的和。此時常?？梢暂o助性地構造一個函數在某點的值。例13、求極限