高等量子力學(xué)輻射場(chǎng)的量子化及其與物質(zhì)的相互作用第四章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01輻射場(chǎng)的量子化01經(jīng)典輻射場(chǎng)01經(jīng)典輻射場(chǎng)首先對(duì)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)做一個(gè)簡(jiǎn)單回顧。我們知道，自由電磁場(chǎng)(場(chǎng)中沒有電荷、電流存在)服從麥克斯韋方程組：引入矢勢(shì)

和標(biāo)勢(shì)

來表示電磁場(chǎng)E和B為式中，

滿足如下條件：對(duì)于自由電磁場(chǎng)，我們首先關(guān)心的是橫場(chǎng)。忽略縱場(chǎng)，取庫(kù)侖規(guī)范這時(shí)

完全由矢勢(shì)

決定，

滿足波動(dòng)方程可見，對(duì)于自由電磁場(chǎng)，可以將矢勢(shì)

作為處理的對(duì)象，此時(shí)有這時(shí)，自由電磁場(chǎng)的拉氏密度可以表示為電磁場(chǎng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)取為

是參量。與此對(duì)應(yīng)，廣義動(dòng)量為01經(jīng)典輻射場(chǎng)自由電磁場(chǎng)的哈密頓量密度為由式(4.6)和式(4.8)可知，式(4.9)也可以表示為這正是經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中給出的電磁場(chǎng)能量密度。因此場(chǎng)的總能量為應(yīng)當(dāng)注意，電磁場(chǎng)是矢量場(chǎng)，廣義坐標(biāo)現(xiàn)在取為矢勢(shì)

,所以描述它的變化還應(yīng)包括其廣義速度

、散度

和旋度

。02量子化電磁場(chǎng)使經(jīng)典電磁場(chǎng)轉(zhuǎn)化為量子場(chǎng)的出發(fā)點(diǎn)是使廣義坐標(biāo)A與廣義動(dòng)量P=A滿足不對(duì)易關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為算符。(1)考慮光子是玻色子，所以取如下同時(shí)性對(duì)易關(guān)系：01經(jīng)典輻射場(chǎng)其中，i,j=1,2,3,表示空間分量指標(biāo)。場(chǎng)算符和動(dòng)量算符的海森伯動(dòng)力學(xué)方程為其中，量子場(chǎng)的哈密頓算符由式(4.11)給出，但由于現(xiàn)在A和F已轉(zhuǎn)化為算符，所以H也轉(zhuǎn)化為了算符?？梢宰C明，算符動(dòng)力學(xué)方程式(4.13)和式(4.14)就是經(jīng)典哈密頓方程的二次量子化形式。(2)在前面建立的自由電磁場(chǎng)量子化理論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在進(jìn)一步將場(chǎng)算符分解為簡(jiǎn)正模式。

的分解不是唯一的，我們采取常用的按平面波分解的方法，為此將算符A表示為01經(jīng)典輻射場(chǎng)式中，V是腔的體積。由于矢勢(shì)

的厄密性，所以第二項(xiàng)是第一項(xiàng)的厄密共軛。這是因?yàn)榻?jīng)典電磁場(chǎng)是實(shí)數(shù)矢量場(chǎng)，所以矢勢(shì)

也應(yīng)是實(shí)數(shù)矢量場(chǎng)，在二次量子化形式中它應(yīng)轉(zhuǎn)化為厄密算符：

。將展開式(4.15)代入動(dòng)力學(xué)方程式(4.5),并令

,可得式(4.16)的解為現(xiàn)在令其中，

是為了描寫場(chǎng)算符

分量

的方向性而引進(jìn)的一組實(shí)正交基矢集。由于橫波條件

,有所以

三個(gè)單位矢量可張成一右手直角坐標(biāo)系，我們就是在這個(gè)空間中描述電磁場(chǎng)的極化性質(zhì)的。實(shí)基矢滿足如下正交條件01經(jīng)典輻射場(chǎng)和完全性條件為了能得到簡(jiǎn)潔的量子化電磁場(chǎng)的能量和動(dòng)量表達(dá)式，令則場(chǎng)算符

和廣義動(dòng)量算符

的展開式為利用

的對(duì)易關(guān)系式(4.12)可以導(dǎo)出關(guān)于

的同時(shí)性對(duì)易關(guān)系為01經(jīng)典輻射場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度算符的簡(jiǎn)正模式展開式可表示為將式(4.23)和式(4.24)代入量子場(chǎng)哈密頓算符式(4.11),得到另外，也可以計(jì)算出電磁場(chǎng)的動(dòng)量為上述結(jié)果表明，量子化電磁場(chǎng)明顯體現(xiàn)出電磁場(chǎng)的粒子性。與量子化電磁場(chǎng)相聯(lián)系的基本粒子稱為光子，動(dòng)量為

的光子的能量為

。有兩種極化狀態(tài)的光子，它們分別對(duì)應(yīng)于

和

=2。

是動(dòng)量為

、極化方向?yàn)?/p>

的光子數(shù)算符，

就是這種狀態(tài)光子的產(chǎn)生算符和湮滅算符。不存在光子的狀態(tài)稱為光子真空態(tài)。光子真空態(tài)的能量為由于電磁場(chǎng)的自由度為無窮大，所以E。也為無窮大，可以認(rèn)為關(guān)于電磁相互作用問題的討論都是在這個(gè)背景下進(jìn)行的。01經(jīng)典輻射場(chǎng)02原子和電磁場(chǎng)的相互作用01電磁場(chǎng)中帶電粒子的哈密頓量01電磁場(chǎng)中帶電粒子的哈密頓量設(shè)一個(gè)電子的質(zhì)量和電荷分別為m和e,不考慮電子的自旋，當(dāng)電子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其哈密頓量為式中，是電子的廣義動(dòng)量，

和

分別是電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，V(r)是原子的束縛勢(shì)。則電子的運(yùn)動(dòng)由薛定諤方程描述為我們現(xiàn)在考察一個(gè)電子被勢(shì)V(r)束縛于力心(核)

后的問題。若電磁場(chǎng)的波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于原子限度(在量子光學(xué)范圍內(nèi)普遍成立),此時(shí)場(chǎng)可看成在原子范圍內(nèi)不變，則存在所謂的偶極近似，這時(shí)矢勢(shì)可以表示為

,由此薛定諤方程為式(4.30)的得出利用了規(guī)范式(4.4)。令將式(4.31)代入方程式(4.30),則得“”其中總哈密頓量為這個(gè)哈密頓量將被用于下面原子一場(chǎng)相互作用的研究中。01電磁場(chǎng)中帶電粒子的哈密頓量02原子一場(chǎng)相互作用的一個(gè)簡(jiǎn)單模型首先假設(shè)一個(gè)單電子原子處于場(chǎng)強(qiáng)E的電磁場(chǎng)中，在偶極近似下系統(tǒng)的哈密頓量為式中，

分別為原子和輻射場(chǎng)在不存在相互作用情況下的能量，

為電子的位置矢量。自由電磁場(chǎng)的能量算符

由式(4.27)的形式給出。原子的哈密頓算符在只考慮兩能級(jí)原子時(shí)可以如下求得。假設(shè)兩能級(jí)原子的上、下能級(jí)分別表示為事實(shí)上，它們分別是哈密頓算符HA對(duì)應(yīng)于本征值

的本征矢，有利用兩維粒子系統(tǒng)的完備性關(guān)系：

,以及態(tài)矢量

的正交歸一性，得到01電磁場(chǎng)中帶電粒子的哈密頓量0202原子一場(chǎng)相互作用的一個(gè)簡(jiǎn)單模型取原子哈密頓算符的矩陣表示為其中，

。忽略不起作用的常數(shù)能量，則有式中，我們用到了泡利矩陣

。下面我們用完備性關(guān)系來考察

,即

。由于能量本征態(tài)的宇稱性，使得對(duì)角元消失，即有而非對(duì)角元為因此，偶極算符er可取如下形式：02由式(4.37)容易得到所以偶極算符

表示為現(xiàn)在再來看二次量子化后的腔中單模場(chǎng)。在初始時(shí)刻(t=0)和原子中心處由式(4.26)有其中，

表示真空電場(chǎng)值，v為單模場(chǎng)的頻率；

為模函數(shù)。因此相互作用哈密頓算符為令

,則式中已令02原子一場(chǎng)相互作用的一個(gè)簡(jiǎn)單模型02式(4.42)中包含一個(gè)不確定的相角，當(dāng)我們?nèi)ˇ?π/2時(shí)，有將上述結(jié)果結(jié)合，得到原子一場(chǎng)系統(tǒng)總哈密頓量為其中，自由電磁場(chǎng)的能量算符我們忽略了零點(diǎn)能取為

。下面對(duì)相互作用項(xiàng)式(4.43)做進(jìn)一步簡(jiǎn)化。式(4.43)首先可以化為我們注意到，其中σ-a和σa?兩項(xiàng)違反能量守恒定律。因?yàn)棣?a表示消除一個(gè)激發(fā)態(tài)原子使其在變?yōu)榛鶓B(tài)的同時(shí)又使一個(gè)場(chǎng)粒子消失；類似地，σ+a?表示在產(chǎn)生一個(gè)場(chǎng)粒子的同時(shí)使原子由基態(tài)變?yōu)榧ぐl(fā)態(tài)。因此，在相互作用哈密頓算符H?中我們忽略這兩項(xiàng)，則有上述做法稱作旋波近似。事實(shí)上在旋波近似下，我們可以推導(dǎo)出一個(gè)普遍的兩能級(jí)原子與多模場(chǎng)相互作用的哈密頓量為上述單個(gè)兩能級(jí)原子與多模場(chǎng)的相互作用形式是量子光學(xué)領(lǐng)域眾多計(jì)算問題的出發(fā)點(diǎn)。顯然，單個(gè)兩能級(jí)原子與單模場(chǎng)相互作用系統(tǒng)哈密頓量是式(4.46)的特例。02原子一場(chǎng)相互作用的一個(gè)簡(jiǎn)單模型0203JC模型及其求解由上面的討論，我們得到頻率為v的單模量子化場(chǎng)與一個(gè)兩能級(jí)原子相互作用的系統(tǒng)的哈密頓算符為其中式(4.47)稱作Jaynes-Cummings哈密頓量，相應(yīng)的模型稱作JC模型。這個(gè)哈密頓量所支配的系統(tǒng)盡管簡(jiǎn)單，但是可以描述許多有意義的物理現(xiàn)象。為方便我們選擇相互作用繪景，在相互作用繪景下哈密頓算符為利用式(1.4),可得如下結(jié)果所以，相互作用繪景下哈密頓算符式(4.50)化為02JC模型及其求解02下面我們將用三種不同的方法求解JC模型。1.概率幅方法我們現(xiàn)在在JC模型下求解系統(tǒng)態(tài)矢

的運(yùn)動(dòng)方程，有對(duì)于任意時(shí)刻t,態(tài)矢量

是|a,n)和|b,n)的線性組合。其中|an)表示原子處于激發(fā)態(tài)|a)并且場(chǎng)處于n光子態(tài)；|b,n)表示原子處于基態(tài)b|)并且場(chǎng)處于n光子態(tài)。由于我們使用相互作用繪景，態(tài)矢量表示為相互作用能式(4.53)只可引起態(tài)

間的轉(zhuǎn)化，因此我們只需考慮振幅

的演化。將式(4.55)和式(4.53)代入方程式(4.54),得到考慮到初始條件，由方程式(4.56)和式(4.57)解得03JC模型及其求解02其中由上述結(jié)果可求得所謂原子的布居反轉(zhuǎn)：

,從中可以發(fā)現(xiàn)原子上下能態(tài)間的振蕩行為，稱為Rabi振蕩。對(duì)于上述結(jié)果的其他有意義的討論，我們此處不再進(jìn)行，有興趣的讀者可參閱量子光學(xué)相關(guān)書籍。2.海森伯算符方法下面我們使用海森伯繪景來求解JC模型。特別地，我們將求解原子和場(chǎng)算符

的算符方程。這些解在研究場(chǎng)的譜特性時(shí)非常有用。利用原子一場(chǎng)哈密頓算符式(4.47)可以得到算符

的下列海森伯方程：為了便于求解這些耦合方程，我們定義下列運(yùn)動(dòng)常數(shù)：03JC模型及其求解02即[N,H]=[C,H]=0,其中N代表原子一場(chǎng)系統(tǒng)總激發(fā)算符，C為交換常數(shù)。由方程式(4.62)得容易證明將式(4.65)和式(4.66)代入式(4.64),得到類似可得利用方程式(4.67)和式(4.68)可解得03JC模型及其求解02其中，k為常算符，即上述得到的解(見式(4.71)和式(4.72))可以用來計(jì)算所有感興趣的量。3.幺正時(shí)間演化算符方法由于JC模型所描述的系統(tǒng)是沒有耗散的，因此我們可以用幺正時(shí)間演化算符方法來求解。這里的幺正演化算符為考慮共振情況，△=0,這時(shí)有注意到

,利用03JC模型及其求解02得到因此任意時(shí)刻t的波矢可如下求得：作為一個(gè)例子，假設(shè)初始原子處于激發(fā)態(tài)

,場(chǎng)處于數(shù)態(tài)的線性疊加，即將式(4.78)和式(4.80)代入式(4.79),得到因此，有容易發(fā)現(xiàn)，式(4.82)、式(4.83)與式(4.58)、式(4.59)在△=0時(shí)完全一致。03JC模型及其求解0204兩能級(jí)原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)在前面討論單模場(chǎng)的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在我們考慮一種更實(shí)際的連續(xù)模場(chǎng)的系統(tǒng)。在相互作用繪景和旋波近似下，系統(tǒng)的哈密頓量為其中，h.c.為前一項(xiàng)的共軛，

,后是原子位置。相互作用繪景的哈密頓量用與4.2.2節(jié)相同的方法得到。假設(shè)t=0時(shí)刻，原子處于激發(fā)態(tài)

,場(chǎng)處于真空態(tài)

,則t時(shí)刻的態(tài)矢量為并且設(shè)將式(4.85)和式(4.86)代入薛定諤方程得到概率幅

的如下運(yùn)動(dòng)方程：04兩能級(jí)原子自發(fā)發(fā)射理(Weisskopf-Wigner理論)02首先，對(duì)方程式(4.89)積分，則得其次，將式(4.90)代入方程式(4.88),得到為了解上述(精確)方程做如下一系列近似(WW近似):假設(shè)場(chǎng)模在頻率空間是近連續(xù)的，則有其中，體積V由下式?jīng)Q定：對(duì)θ、

做運(yùn)算并使k=vk/c,得到令

,下限做替換

,且利用積分，有04兩能級(jí)原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)02因此，得到其中衰減常數(shù)為方程式(4.96)給出解為式(4.98)表示，處于激發(fā)態(tài)|a)的原子在真空中以指數(shù)時(shí)間衰減，其壽命為

,期間原子發(fā)射能量子為

。最后，我們得到場(chǎng)態(tài)為04兩能級(jí)原子自發(fā)發(fā)射理論(Weisskopf-Wigner理論)0205阻尼的量子理論(密度算符方法)在實(shí)際量子力學(xué)問題中，阻尼起著重要作用。例如，一個(gè)原子由激發(fā)態(tài)衰減到基態(tài)，以及場(chǎng)在腔中的衰減等。一般來說，一個(gè)系統(tǒng)的阻尼通過它與具有大量自由度的庫(kù)相互作用來描述。然而，我們感興趣的僅是與系統(tǒng)相關(guān)的變量的演化。這需要我們獲得跡掉庫(kù)變量后的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。有幾種不同的方法處理上述問題，這里我們采用密度算符方法。1.一般庫(kù)(reservoir)理論考慮一個(gè)系統(tǒng)(S)與庫(kù)(R)相互作用，這個(gè)復(fù)合系統(tǒng)的密度算符定義為PsR,則系統(tǒng)的約化密度算符為0205阻尼的量子理論(密度算符方法)設(shè)系統(tǒng)一庫(kù)的相互作用能為V(4),則Psr的動(dòng)力學(xué)方程為(見式(1.112))形式上對(duì)方程式(4.101)積分，得到02式中，

是相互作用的初始時(shí)刻。將

代回方程式(4.101),得到如果初始時(shí)刻沒有相互作用，即V=0,則系統(tǒng)和庫(kù)是獨(dú)立的。此時(shí)假設(shè)庫(kù)處于平衡態(tài)，則有由于V很小，我們可以將式(4.103)的解表示為如下形式：其中，

是屬于V的高階項(xiàng)。為了滿足式(4.100),我們須使

成立。若將式(4.105)代入式(4.103)并保留至v2階項(xiàng)，則有考慮到阻尼對(duì)庫(kù)記憶的破壞作用，引入所謂馬爾科夫(Markovian)近似(關(guān)于一般性馬爾科夫近似，讀者可見第5章),即用

,方程式(4.106)化為下面我們就幾個(gè)例子具體計(jì)算系統(tǒng)一庫(kù)相互作用問題。05阻尼的量子理論(密度算符方法)2.原子在熱庫(kù)和壓縮真空庫(kù)中的衰減一個(gè)激發(fā)態(tài)原子的衰變可以通過原子耦合與一個(gè)簡(jiǎn)諧振子庫(kù)模型來獲得理解。類似地，腔中輻射場(chǎng)的衰變可以通過考察腔場(chǎng)中感興趣的模與全體庫(kù)模耦合來描述。討論這個(gè)問題對(duì)于量子光學(xué)多個(gè)領(lǐng)域都具有重要意義。下面就來考慮一個(gè)兩能級(jí)原子系統(tǒng)的衰變問題。設(shè)一個(gè)兩能級(jí)原子在一個(gè)簡(jiǎn)諧振子庫(kù)中受阻尼產(chǎn)生輻射衰減，在相互作用繪景和旋波近似下哈密頓量為其中，

分別為原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)，Vk=ck為簡(jiǎn)諧振子頻率分布。先將V(t)代入方程式(4.106)第一項(xiàng)，看到(Ps=Paom)05阻尼的量子理論(密度算符方法)下面我們對(duì)方程式(4.109)等式右邊逐項(xiàng)做計(jì)算。(1)首先計(jì)算第一項(xiàng)。同理可得(2)其次計(jì)算V(t)的二階項(xiàng)。為簡(jiǎn)化書寫，令

所以相互作用哈密頓量V1和V?分別處于t和t兩個(gè)不同時(shí)刻，雙對(duì)易子給出如下結(jié)果：05阻尼的量子理論(密度算符方法)現(xiàn)在分別計(jì)算式(4.114)等式右邊的各項(xiàng)：05阻尼的量子理論(密度算符方法)因此，利用式(4.114)和式(4.119)～式(4.122)可得如下關(guān)系：由定義式(4.112)可知所以05阻尼的量子理論(密度算符方法)先將式(4.125)～式(4.130)代入式(4.123),再代入方程式(4.109),并且也將式(4.110)和式(4.111)同時(shí)代入式(4.109),得到式中的期望值與庫(kù)的狀態(tài)有關(guān)。下面具體考察一種所謂熱庫(kù)狀態(tài)的情況。(3)熱庫(kù)(Thermalrese