第4章測評（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0，若,,成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)和為()A. B. C.3 D.82.在等比數(shù)列中，，，則()A.8 B. C.16 D.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,,那么()A. B. C. D.4.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則()A.2021 B. C. D.20225.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍是()A. B.C. D.6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，.這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項(xiàng)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.1012 B.1346 C.1348 D.13507.將數(shù)列中的各項(xiàng)依次按第一個(gè)括號1個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號2個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號4個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號8個(gè)數(shù)，第五個(gè)括號16個(gè)數(shù)，進(jìn)行排列：（1）,，,，，則下列結(jié)論正確的是()A.第10個(gè)括號內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為1025B.2021在第11個(gè)括號內(nèi)C.前10個(gè)括號內(nèi)一共有1025個(gè)數(shù)D.第10個(gè)括號內(nèi)的數(shù)字之和8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，若對任意的都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則以下結(jié)論一定正確的是()A. B.的最大值為 C. D.10.數(shù)列的通項(xiàng)公式滿足，下列描述正確的有()A.當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定有最大值B.當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列D.當(dāng)，且為整數(shù)時(shí)，數(shù)列必存在兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，.設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，記，則()A. B.C.， D.的最大值為12.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則()A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值為.14.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則通項(xiàng)公式.15.已知數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則.16.[2021新高考Ⅰ]某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折次，那么.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列和滿足，，，.（1）求與；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18.（12分）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算,，猜想的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想，并求的前項(xiàng)和.19.（12分）已知數(shù)列中，，，，設(shè).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.20.（12分）某中學(xué)有在校學(xué)生2000人，沒有患感冒的同學(xué).由于天氣驟冷，在校學(xué)生患流行性感冒人數(shù)劇增，第一天新增患病同學(xué)10人，之后每天新增的患病同學(xué)人數(shù)均比前一天多9人.由于學(xué)生患病情況日益嚴(yán)重，學(xué)校號召同學(xué)接種流感疫苗以控制病情.從第8天起，新增患病同學(xué)的人數(shù)均比前一天減少，并且每天有10名患病同學(xué)康復(fù).（1）求第天新增患病同學(xué)的人數(shù).（2）按有關(guān)方面規(guī)定，當(dāng)天患病同學(xué)達(dá)到全校人數(shù)的時(shí)必須停課，問該校有沒有停課的必要？請說明理由.21.（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）若，①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，求的前項(xiàng)和.（2）若，且對，有，證明：.22.（12分）設(shè)，若無窮數(shù)列滿足以下性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①且.的最大值為.（1）若數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，求的取值范圍，使得為數(shù)列.（2）若數(shù)列滿足：，使得,,成等差數(shù)列.①數(shù)列是否可能為等比數(shù)列？并說明理由.②記數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且，判斷與的單調(diào)性，并求出時(shí)，的值.第4章測評一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A2.A3.B4.C[解析]因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故，則.當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，所以.又，所以，所以，即.故選.5.C[解析]由題意得，，則.因?yàn)?，可得，則.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得可得，即的取值范圍是,.故選.6.C[解析]由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù).因?yàn)椋詾槠鏀?shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù).又，故該數(shù)列的前2022項(xiàng)中共有1348個(gè)奇數(shù).故選.7.D[解析]由題意可得，第個(gè)括號內(nèi)有個(gè)數(shù).對于，由題意得,前9個(gè)括號內(nèi)共有（個(gè)）數(shù)，所以第10個(gè)括號內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，所以第10個(gè)括號內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，故錯(cuò)誤；對于，前10個(gè)括號內(nèi)共有（個(gè)）數(shù)，故錯(cuò)誤；對于，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項(xiàng)，由，選項(xiàng)的分析可得2021在第10個(gè)括號內(nèi)，故錯(cuò)誤；對于，因?yàn)榈?0個(gè)括號內(nèi)的第一個(gè)數(shù)為，最后一個(gè)數(shù)為，所以第10個(gè)括號內(nèi)的數(shù)字之和為，故正確.故選.8.C[解析]數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，所以，故.因?yàn)?，所以，所以，，，，則，故，所以，所以.因?yàn)閷θ我獾亩汲闪ⅲ?設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因此，即，故的最小值為.故選.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.AC[解析]設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得，解得.又由，得，故正確；因?yàn)楣畹恼?fù)不能確定，所以可能為最大值或最小值，故錯(cuò)誤；由，得，故正確；因?yàn)?，所以，即，故錯(cuò)誤.故選.10.ACD[解析]由題意，只需考慮的情況.由，可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，所以一定有最大值，故正確；當(dāng)時(shí)，,，故,故數(shù)列不是遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；當(dāng),時(shí)，，所以時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，故正確；設(shè)，當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，，最大項(xiàng)為,,所以數(shù)列必存在兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，故正確.故選.11.ACD[解析]，，，，，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，?，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確；，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，有最大值為，故選項(xiàng)正確.故選.12.ACD[解析]由題意可知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，故選項(xiàng)正確；，且，兩式相減可得，，因?yàn)槲粗?，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，故選項(xiàng)正確；由，，要使數(shù)列單調(diào)遞增，則必有，且，所以，且，解得，故選項(xiàng)正確.故選.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.[解析]由，得.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以又滿足上式，所以.15.7[解析]，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，解得.16.5;[解析]對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種.由題意得，，，，，，，設(shè)，則，兩式作差得，因此.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解由，，得.由題意知，當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，①，②，，得，整理得，所以.（2）由（1）知，，因此③，④，，得,所以.18.（1）解因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，，由此可猜想.（2）①當(dāng)時(shí)，顯然成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)也成立，由①②可得，.因?yàn)?，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.19.（1）證明因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）解由（1）得，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以.因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.（3）證明因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)和，即.20.（1）解當(dāng),時(shí)，因?yàn)椋顬?，所以.當(dāng),時(shí)，因?yàn)?，公比為，所以，所?（2）該校沒有停課的必要.理由：設(shè)為第天患病總?cè)藬?shù)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.令，,所以該校沒有停課的必要.21.（1）①解當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以，可知，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.②由①得，，所以，所以,即.（2）證明當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)?，所?又因?yàn)榕c不能同時(shí)成立，所以上式等號不成立，即對，.22.（1）解