2021年四川省成都市高新區(qū)高三高考數(shù)學(xué)第四次質(zhì)檢試卷（理科）（3月份）一、選擇題（每小題5分）.1．已知集合A＝{x|ln（x﹣2）≥0}，B＝{x|2x2﹣9x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．（2，5） B．[2，5） C．[3，5） D．（3，5）2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝4i，則|z|＝（）A． B．2 C．2 D．3．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝，S3＝，則{an}的公比為（）A．或 B．或﹣ C．﹣3或2 D．3或﹣24．為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān) B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān) C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同 D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)5．若向量，滿足||＝2，||＝1，（+2）?＝6，則cos＜，＞＝（）A． B． C． D．6．已知焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝2px（p＞0）上有一點(diǎn)A（m，2），以A為圓心，|AF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為2，則m＝（）A． B． C．2 D．47．已知平面α，β，直線l，m，且有l(wèi)⊥α，m?β，給出下列命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l∥m，則α⊥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l⊥m，則α∥β．其中正確命題有（）A．①④ B．①② C．②③ D．③④8．已知a＝log52，b＝log72，ca﹣2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．將偶函數(shù)f（x）＝cos2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣x+a，“函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的右支交于Q，直線F1Q與C的左支交于P，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．12．已知lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，記M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，則（）A．M的最小值為 B．M的最小值為 C．M的最小值為 D．M的最小值為二、填空題（共4小題）.13．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣y的最大值為．14．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為81，則展開式中x的系數(shù)為．15．已知圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與此圓臺(tái)的上下兩個(gè)底面及母線都相切，若圓臺(tái)的上，下兩個(gè)底面的半徑分別為1，4，那么這個(gè)球的體積為．16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，且anbn＝n．則a2＝；若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a+b）sinA＝csinC+（2a﹣b）sinB．（1）求角C的大??；（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．18．2020年是讓人難忘的一年，為了戰(zhàn)勝疫情，全國人民萬眾一心，同舟共濟(jì)，眾志成城．隔離期間，李校長倡導(dǎo)學(xué)生停課不停學(xué)，建議學(xué)生在家進(jìn)行網(wǎng)課學(xué)習(xí)，為了解全校高中學(xué)生在家上網(wǎng)課的時(shí)長，李校長隨機(jī)從高高二兩個(gè)年級中各選擇了10名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)了學(xué)生在家一周上網(wǎng)課的時(shí)長，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖（單位：小時(shí)）：其中，高一年級中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊．（1）若高一年級的平均時(shí)長小于高二年級的平均時(shí)長，設(shè)a∈Z，求圖中a的所有可能值；（2）將兩個(gè)年級中學(xué)習(xí)時(shí)長超過25小時(shí)的學(xué)生稱為“學(xué)習(xí)達(dá)人”．設(shè)a＝1，現(xiàn)從所有“學(xué)習(xí)達(dá)人”中任選3人，求高一年級的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記高二年級學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為S12，若在高二年級中增加一名學(xué)生A得到一組新的數(shù)據(jù)，若該名學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)長為20，記新數(shù)據(jù)的方差為S22，比較S12與S22的大?。ㄖ苯訉懡Y(jié)論）．19．如圖所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，CC1上，且滿足，，平面BEF與平面ABC的交線為l．（1）證明：直線l⊥平面BDD1；（2）已知EF＝2，BD1＝4，設(shè)BF與平面BDD1所成的角為θ，求sinθ的取值范圍．20．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，四邊形A1B1A2B2的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線A1B1的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，四邊形OAPB為平行四邊形，探究：平行四邊形OAPB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣1﹣x﹣1．（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若g（x）＝lnx﹣x﹣lna，且f（x）≥g（x）在x＞0時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．請考生在22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做題的第一題記分.作答時(shí)請將答題紙上所選題目對應(yīng)題號后的方框涂黑.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ．（1）求曲線C1與曲線C2兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線l1過點(diǎn)P（1，2）且與直線l：平行，直線l1與曲線C1相交于A，B兩點(diǎn)，求的值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（1）求不等式f（x）≥2x+4的解集；（2）若f（x）的最小值為k，且實(shí)數(shù)a，b，c，滿足a（b+c）＝k，求證：2a2+b2+c2≥8．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|ln（x﹣2）≥0}，B＝{x|2x2﹣9x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．（2，5） B．[2，5） C．[3，5） D．（3，5）解：由ln（x﹣2）≥0，得x﹣2≥1，即x≥3，∴A＝{x|x≥3}，由2x2﹣9x﹣5＜0，解得﹣＜x＜5，∴，∴A∩B＝{x|x≥3}∩{x|＜x＜5}＝{x|3≤x＜5}＝[3，5）．故選：C．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z＝4i，則|z|＝（）A． B．2 C．2 D．解：由（1+i）z＝4i，得z＝＝＝2+2i，則|z|＝＝2．故選：D．3．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝，S3＝，則{an}的公比為（）A．或 B．或﹣ C．﹣3或2 D．3或﹣2解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a3＝a1q2＝，S3＝a1（1+q+q2）＝，兩式相除可得＝，即6q2﹣q﹣1＝0，解得q＝或q＝﹣，故選：A．4．為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)民戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān) B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān) C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同 D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)解：由不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖，知：在A中，城鎮(zhèn)戶籍傾向選擇生育二胎的比例為40%，農(nóng)村戶籍傾向選擇生育二胎的比例為80%，∴是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)，故A正確；在B中，男性傾向選擇生育二胎的比例為60%，女性傾向選擇生育二胎的比例為60%，∴是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)，故B正確；在C中，男性傾向選擇生育二胎的比例為60%，人數(shù)為60×60%＝36人，女性傾向選擇生育二胎的比例為60%，人數(shù)為40×60%＝24人，∴傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)比女性人數(shù)多，故C錯(cuò)誤；在D中，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)為50×（1﹣80%）＝10人，城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)為50×（1﹣40%）＝30人，∴傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，故D正確．故選：C．5．若向量，滿足||＝2，||＝1，（+2）?＝6，則cos＜，＞＝（）A． B． C． D．解：向量，滿足||＝2，||＝1，（+2）?＝6，可得＝6，所以＝1，則cos＜，＞＝＝＝．故選：B．6．已知焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝2px（p＞0）上有一點(diǎn)A（m，2），以A為圓心，|AF|為半徑的圓被y軸截得的弦長為2，則m＝（）A． B． C．2 D．4解：∵A（m，2）在拋物線y2＝2px上，∴2pm＝8，∴p＝．∴拋物線的焦點(diǎn)F（，0），即F（，0）．由拋物線的定義可知|AF|＝m+＝m+．即圓A的半徑r＝m+．∵A到y(tǒng)軸的距離d＝m，∴r2﹣d2＝（）2，即（m+）2﹣m2＝5，解得m＝2．故選：C．7．已知平面α，β，直線l，m，且有l(wèi)⊥α，m?β，給出下列命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l∥m，則α⊥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l⊥m，則α∥β．其中正確命題有（）A．①④ B．①② C．②③ D．③④解：對于①，若α∥β，又l⊥α，可得l⊥β，又m?β，則l⊥m，故①正確；對于②，若l∥m，又l⊥α，可得m⊥α，又m?β，則α⊥β，故②正確；對于③，若α⊥β，由l⊥α，可得l∥m，或l，m異面，l，m相交，故③錯(cuò)誤；對于④，若l⊥m，又l⊥α，m?β，可得α∥β，或α、β相交，故④錯(cuò)誤．故選：B．8．已知a＝log52，b＝log72，ca﹣2，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵1＜log25＜log27，∴1＞log52＞log72，a﹣2＞0.5﹣1＝2，則c＞a＞b，故選：A．9．將偶函數(shù)f（x）＝cos2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．解：將偶函數(shù)f（x）＝cos2x的圖象向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)＝g（x）＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）的圖象，令2kπ﹣π＜2x﹣＜2kπ，k∈Z，解得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，可得g（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣，）．故選：A．10．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣x+a，“函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解：①當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝﹣x在（0，2）上無零點(diǎn)，②當(dāng)a＞0時(shí)，則，∴＜a＜，③當(dāng)a＜0時(shí)，則，∴無解，綜上所述：＜a＜，∵（，）?（，），∴f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)是＜a＜充分不必要條件．故選：A．11．已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的右支交于Q，直線F1Q與C的左支交于P，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．解：如圖，連接PF2，QF2，因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與雙曲線C的右支交于Q，故F1Q⊥F2Q．設(shè)|PF1|＝m，則|PQ|＝2m，|QF1|＝3m，|QF2|＝3m﹣2a，|PF2|＝m+2a，由△PQF2為直角三角形，可得（m+2a）2＝（2m）2+（3m﹣2a）2，解得m＝，所以|QF1|＝4a，|QF2|＝2a，由F1QF2為直角三角形，可得16a2+4a2＝4c2，∴e＝＝．故選：D．12．已知lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，記M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，則（）A．M的最小值為 B．M的最小值為 C．M的最小值為 D．M的最小值為解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)A在函數(shù)y＝lnx﹣x+2的圖象上，點(diǎn)B在直線x+2y﹣4﹣2ln2＝0上，M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝lnx﹣x+2的圖象上的點(diǎn)與直線x+2y﹣4﹣2ln2＝0上點(diǎn)距離最小值的平方．由y＝lnx﹣x+2，得y′＝，與直線x+2y﹣4﹣2ln2＝0平行的直線的斜率為k＝﹣．令，得x＝2，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（2，ln2），切點(diǎn)（2，ln2）到直線x+2y﹣4﹣2ln2＝0的距離d＝．即M＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值為．故選：B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣y的最大值為12．解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組可行域如圖，由，解得A（4，0）目標(biāo)函數(shù)y＝3x﹣z，當(dāng)y＝3x﹣z過點(diǎn)（4，0）時(shí)，z有最大值，且最大值為12．故答案為：12．14．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為81，則展開式中x的系數(shù)為24．解：由的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為81，令x＝1得：（2+1）n＝81，解得n＝4，則（2x+）4展開式通項(xiàng)為Tr+1＝（2x）4﹣r（）r＝24﹣rx，令＝1，解得r＝2，即展開式中x的系數(shù)為22＝24，故答案為：24．15．已知圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，該球與此圓臺(tái)的上下兩個(gè)底面及母線都相切，若圓臺(tái)的上，下兩個(gè)底面的半徑分別為1，4，那么這個(gè)球的體積為．解：畫出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為R，由題意可知OE＝OG＝OF，且OE⊥AB，OF⊥CD，OG⊥BC，故可得△OEB≌△OGB，△OFC≌△OGC，則BC＝BG+CG＝BE+FC＝1+4＝5，過點(diǎn)B作BH⊥FC，在RT△BHC中，易知HC＝FC﹣FH＝FC﹣EB＝3，可得BH＝，又因?yàn)锽H＝EF＝2R，所以R＝2，故球的體積為V＝＝，故答案為：．16．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，且anbn＝n．則a2＝6；若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為．解：∵a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，∴當(dāng)n＝1時(shí)，有3S1＝（1+m）a1，即6＝2（m+1），解得：m＝2，∴3Sn＝（n+2）an①，又3Sn+1＝（n+3）an+1②，由②﹣①整理得：＝，∴＝，＝，＝，…，＝，＝，累乘可得an＝n（n+1）（n≥2），經(jīng)檢驗(yàn)a1＝2符合上式，∴an＝n（n+1），a2＝6；∵anbn＝n，∴bn＝，令Bn＝T2n﹣Tn＝++…+，則Bn+1﹣Bn＝＞0，∴數(shù)列{Bn}為遞增數(shù)列，Bn≥B1＝，∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，∴λ≥B1＝，故實(shí)數(shù)λ的最小值為．故答案為：6；．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a+b）sinA＝csinC+（2a﹣b）sinB．（1）求角C的大??；（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．解：（1）∵（a+b）sinA＝csinC+（2a﹣b）sinB，∴由正弦定理可得（a+b）a＝c2+（2a﹣b）b，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴．又∵C∈（0，π），∴．（2）由（1）知，a2+b2﹣c2＝ab．又c＝2，a2+b2＝4+ab．∴a2+b2≥2ab，∴ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立，∴，即△ABC面積的最大值為．18．2020年是讓人難忘的一年，為了戰(zhàn)勝疫情，全國人民萬眾一心，同舟共濟(jì)，眾志成城．隔離期間，李校長倡導(dǎo)學(xué)生停課不停學(xué)，建議學(xué)生在家進(jìn)行網(wǎng)課學(xué)習(xí)，為了解全校高中學(xué)生在家上網(wǎng)課的時(shí)長，李校長隨機(jī)從高高二兩個(gè)年級中各選擇了10名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)了學(xué)生在家一周上網(wǎng)課的時(shí)長，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖（單位：小時(shí)）：其中，高一年級中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊．（1）若高一年級的平均時(shí)長小于高二年級的平均時(shí)長，設(shè)a∈Z，求圖中a的所有可能值；（2）將兩個(gè)年級中學(xué)習(xí)時(shí)長超過25小時(shí)的學(xué)生稱為“學(xué)習(xí)達(dá)人”．設(shè)a＝1，現(xiàn)從所有“學(xué)習(xí)達(dá)人”中任選3人，求高一年級的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記高二年級學(xué)習(xí)時(shí)間的方差為S12，若在高二年級中增加一名學(xué)生A得到一組新的數(shù)據(jù)，若該名學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)長為20，記新數(shù)據(jù)的方差為S22，比較S12與S22的大小（直接寫結(jié)論）．解：（1）高一年級10名同學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)長的平均值為，則＝＝；高二年級10名同學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)長的平均值為，則＝，因?yàn)楦咭荒昙壍钠骄鶗r(shí)長小于高二年級的平均時(shí)長，所以196+a＜200，解得a＜4，所以a＝0或a＝1或a＝2或a＝3；（2）因?yàn)閍＝1，所以高一年級的“學(xué)習(xí)達(dá)人”有2人，高二年級的“學(xué)習(xí)達(dá)人”有3人，由題意可得，隨機(jī)變量X的所有可能取值為：0，1，2，則，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：所以．（3）．19．如圖所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，CC1上，且滿足，，平面BEF與平面ABC的交線為l．（1）證明：直線l⊥平面BDD1；（2）已知EF＝2，BD1＝4，設(shè)BF與平面BDD1所成的角為θ，求sinθ的取值范圍．【解答】（1）證明：如圖示：連接AC與BD交于點(diǎn)O，由條件可知AE∥CF，且AE＝CF，∴AC∥EF，∵EF?平面BEF，∴AC∥平面BEF，∵平面BEF∩平面ABC＝l，故AC∥l，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且側(cè)棱垂直于底面，故AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1，∴l(xiāng)⊥平面BDD1，（2）解：如圖示：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤，y軸的正方向建立空間坐標(biāo)系，設(shè)BD＝2a，∵BD＜BD1，∴0＜a＜2，則OB＝a，DD1＝＝2，故B（a，0，0），C（0，1，0），F(xiàn)（0，1，），由（1）可知＝（0，1，0）是平面BDD1的一個(gè)法向量，而＝（﹣a，1，），故sinθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，＜＜，即sinθ∈（，）．20．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，四邊形A1B1A2B2的面積為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線A1B1的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，四邊形OAPB為平行四邊形，探究：平行四邊形OAPB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．解：（1）直線A1B1的方程為，由題意可得，解得，∴橢圓C的方程為．（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝±1，此時(shí)S平行四邊形OAPB＝3．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，則△＝48（4k2﹣m2+3）＞0，，，∵四邊形OAPB為平行四邊形，∴，∴，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，整理得，，原點(diǎn)O到直線AB的距離，＝＝＝3，綜上，四邊形OAPB的面積為定值3．21．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣1﹣x﹣1．（1）當(dāng)a∈R時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若g（x）＝lnx﹣x﹣lna，且f（x）≥g（x）在x＞0時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）f′（x）＝aex﹣1﹣1，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，即函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）遞減；②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞1﹣lna，令f′（x）＜0，解得x＜1﹣lna，即函數(shù)f（x）在（1﹣lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，1﹣lna）上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1﹣lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，1﹣lna）上單調(diào)遞減；（2）由題意，即當(dāng)a＞0時(shí)f（x）﹣g（x）≤0在x＞0時(shí)恒成立，即aex﹣1﹣lnx+lna﹣1≥0在x＞0時(shí)恒成立．記h（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna﹣1，則h（1）＝a+lna﹣1≥0，記φ（a）＝a+lna﹣1，在a∈（0，+∞）遞增，又φ（1）＝0，所以h（1）＝a+lna﹣1≥0時(shí)，a≥1．下面證明：當(dāng)a≥1時(shí)，h（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna﹣1≥0在x＞0時(shí)恒成立．因?yàn)閔（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna﹣1≥ex﹣1﹣lnx﹣1．所以只需證ex﹣1﹣lnx﹣1≥0在x＞0