第二章

連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)分析的任務(wù)：建立系統(tǒng)模型對已知的系統(tǒng)模型和輸入信號求輸出響應(yīng)系統(tǒng)時域分析方法包括：時域經(jīng)典法時域卷積法§2.1引言系統(tǒng)微分方程的建立與求解初始條件的確定（換路定律，沖激匹配法）零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)卷積積分及其性質(zhì)利用卷積求零狀態(tài)響應(yīng)算子符號表示微分方程主要內(nèi)容§2.2微分方程的建立與求解一.微分方程的建立e(t)r(t)解：列寫LCR2e(t)和LR1e(t)兩回路方程總結(jié)：一個n階線性連續(xù)系統(tǒng)可以用n階線性微分方程描述當系統(tǒng)由參數(shù)恒定的線性元件組成時，則構(gòu)成的系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)，體現(xiàn)在方程形式上為線性常系數(shù)微分方程。微分方程建立的兩類約束來自連接方式的約束:kvl和kil,與元件的性質(zhì)無關(guān).

來自元件伏安關(guān)系的約束:與元件的連接方式無關(guān).元件伏安關(guān)系V2v1v2i1i2md.耦合電感:解的形式:全響應(yīng)=齊次解rh(t)+特解rp(t)二.微分方程的求解（時域經(jīng)典法）1.齊次解rh(t)2.特解rp(t):

與激勵的形式有關(guān)將特解代入原方程，使方程兩邊系數(shù)相等求得特解中的系數(shù)激勵函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解E(常數(shù))B由邊界條件，即激勵作用期間的某一時刻t0輸出r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的值來確定，一般取t0=0+3.確定齊次解中的待定系數(shù)Ai全響應(yīng)＝齊次解rh(t)+特解rp(t)含待定系數(shù)三.自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)完全響應(yīng)=齊次解+特解自由響應(yīng)：齊次解（形式與系統(tǒng)的特征根相關(guān)系數(shù)與激勵信號相關(guān)）強迫響應(yīng)：特解（完全由激勵信號決定）固有頻率（自由頻率）：特征方程的根經(jīng)典法不足之處：若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。卷積法：系統(tǒng)完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的起始狀態(tài)單獨作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是當系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零時，由系統(tǒng)的外部激勵產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?！?.3起始點的跳變二.為什么要研究起始點的跳變一.系統(tǒng)的狀態(tài)*起始狀態(tài)(0-狀態(tài)):系統(tǒng)在激勵信號加入之前的瞬間狀態(tài)*初始條件(0+狀態(tài)):系統(tǒng)在激勵信號加入之后t=0+時刻的狀態(tài)*跳變值:系統(tǒng)在0+時刻的零狀態(tài)響應(yīng)根據(jù)換路定律:

電容電壓在沒有沖激電流或者階躍電壓直接作用于元件時,在換路瞬間將保持原值.

電感電流在沒有沖激電壓或者階躍電流直接作用于元件時,在換路瞬間將保持原值.1.換路定律2.根據(jù)3.根據(jù)元件特性與拓撲結(jié)構(gòu)求其它電流電壓值三.根據(jù)具體電路確定初始條件2

10V1010v1F1H2V0(t)12例：電路如圖所示，t=0以前開關(guān)位于“1”，已進入穩(wěn)態(tài)，t=0時刻，開關(guān)自“1”轉(zhuǎn)至“2”。1.從物理概念判斷2.寫出t>0時間內(nèi)描述系統(tǒng)的微分方程，求vo(t)的全響應(yīng)解:1.2

10V1010v1F1H2V0(t)122.t>0時,電路方程為:強迫響應(yīng)=0;完全響應(yīng)=自由響應(yīng)

將初始條件代入：四.根據(jù)沖激函數(shù)匹配法確定初始條件依據(jù)：0-到0+狀態(tài)是否有跳變,看將e(t)代入方程后,方程右邊有無沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)項.如果包含及其導(dǎo)數(shù)，可能利用沖激函數(shù)匹配法求出即可確定初始條件，從而求解全響應(yīng)如果不包含則易知初始條件，從而求解全響應(yīng)沖激函數(shù)匹配法說明:1.描述系統(tǒng)的微分方程應(yīng)該在整個時間范圍內(nèi)成立,在引入沖激函數(shù)之前,函數(shù)在不連續(xù)點的導(dǎo)數(shù)不存在.沖激函數(shù)的引入解決了函數(shù)在跳變點處導(dǎo)數(shù)的存在問題,使得微分方程在整個時間范圍內(nèi)得以成立.2.根據(jù)階躍,沖激以及沖激偶等奇異函數(shù)的微積分關(guān)系,表明函數(shù)在跳變點處的導(dǎo)數(shù)要出現(xiàn)沖激函數(shù)，如果由于激勵的加入,微分方程右端出現(xiàn)沖激函數(shù)項(包括導(dǎo)數(shù)形式),則方程左端也應(yīng)該有對應(yīng)相等的沖激函數(shù)項.匹配就是使左端產(chǎn)生這樣一些對應(yīng)相等的沖激函數(shù),它們的產(chǎn)生,意味著r(k)(t)中某些函數(shù)在t=0點有跳變.原理：t=0時刻微分方程左右兩端的應(yīng)該相等。例：方程右端無沖激函數(shù)，起始點沒有跳變對不是沖激函數(shù)項，不必考慮匹配例：方程右端有沖激函數(shù)，起始點發(fā)生跳變解：從最高項開始匹配用數(shù)學(xué)方法描述沖激函數(shù)匹配法§2.4零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)(LTI系統(tǒng))完全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強迫響應(yīng)

=齊次解+特解

=零輸入響應(yīng)（rzi）+零狀態(tài)響應(yīng)(rzs)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)的幾種分解：T[.]e(t){x(0-)}r(t)=T[{x(0-)},e(t)]=T[e(t)]+T[{x(0-)}]零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。——可用時域經(jīng)典法求取零狀態(tài)響應(yīng)：起始狀態(tài)為零，由系統(tǒng)外加激勵信號所產(chǎn)生的響應(yīng)?！捎镁矸e的方法求取，也可用時域經(jīng)典法一般微分方程對于零輸入響應(yīng)應(yīng)滿足下面的微分方程及的解零輸入響應(yīng)為為：由于沒有激勵的作用，系統(tǒng)的狀態(tài)不會發(fā)生跳變所以零輸入響應(yīng)中的系數(shù)可以由確定對于零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)滿足下面的微分方程及=0零狀態(tài)響應(yīng)解為：由于激勵的作用，系統(tǒng)的狀態(tài)可能會發(fā)生跳變所以零狀態(tài)響應(yīng)中的系數(shù)由確定時域經(jīng)典法對于零狀態(tài)響應(yīng)：卷積法系統(tǒng)響應(yīng)的表達式:原來齊次解的部分劃分成了兩大子部分,解的形式相同,但是決定待定系數(shù)的條件不同.a.分解特性:系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng).b.零狀態(tài)線性:起始狀態(tài)為零時，零狀態(tài)響應(yīng)對于外加激勵信號呈線性.c.零輸入線性:外加激勵為零時，零輸入響應(yīng)對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系.線性概念的擴展:思考：P832-6(1)§2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)一.沖激響應(yīng)系統(tǒng)在起始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以符號h(t)表示。系統(tǒng)沖激響應(yīng)表征系統(tǒng)本身的特性，不同的系統(tǒng)h(t)不同。因果性：h(t)=0t<0穩(wěn)定性：h(t)=0t→∞系統(tǒng)在起始狀態(tài)為零的條件下，以單位階躍信號激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以符號g(t)表示。系統(tǒng)二.階躍響應(yīng)三.求解h(t)1.寫出激勵與響應(yīng)關(guān)系的微分方程t>0時方程為齊次方程

若（n<=m）則2.求解：若（n>m）則沖激匹配法待定系數(shù)法齊次解法例：系統(tǒng)的微分方程如下：h(t)=?解：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足如下微分方程：齊次解:特征方程:沖激匹配法：代入方程，根據(jù)沖激函數(shù)在方程兩邊系數(shù)相等得利用沖激匹配法求系統(tǒng)初始條件

只表示t=0處有一個單位跳變起始狀態(tài)為零齊次解:初始條件：求得系數(shù)為:例：LTI系統(tǒng)的微分方程如下：h(t)=?解：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)滿足如下微分方程：n=1,m=1,n=m待定系數(shù)法：A,B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程有

齊次解法一般形式微分方程:

齊次解法這樣對h0(t)的初始值就有了確定的規(guī)律，即微分方程次高階的初