242直線和圓的位置關系第3課時切線長定理導入新課講授新課當堂練習課堂小結學習目標1掌握切線長的定義及切線長定理（重點）2初步學會運用切線長定理進行計算與證明（難點）導入新課情境引入同學們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？講授新課切線長定理及應用一互動探究問題1上節(jié)課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線如左圖所示，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PABP1切線長的定義：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．2切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識要點若從⊙O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結OA、OB、OP，你能發(fā)現什么結論？并證明你所發(fā)現的結論。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOPHL∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現的結論PA、PB分別切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。切線長定理APO。B幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法BPOA切線長定理:過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法注意知識要點O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點求證：PA=PB，∠APO=∠BPO證明：∵PA切☉O于點A，∴OA⊥PA同理可得OB⊥PB∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO推理驗證AB想一想：若連結兩切點A、B，AB交O你又能得出什么新的結論并給出證明OP垂直平分AB證明：∵為頂角的平分線∴OP垂直平分ABO.PABM想一想：若延長PO交⊙O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論并給出證明證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB，∴AC=BCCA=CBO.PABCBPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點，OA=3（1）若AP=4,則OP=;（2）若∠BPA=60°,則OP=56練一練、，1求△PCD的周長．2如果∠P=46°,求∠COD的度數C

·OPBDAE典例精析例2已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H求證：ABCD=ADBC·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH∴AEBECGDG=AHBFCFDH∴ABCD=ADBC圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等AB＋CD＝AD＋BC例3為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數據，進而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得，求鐵環(huán)的半徑．解析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°即鐵環(huán)的半徑為小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內切圓及作法二互動探究問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？OOOO最大的圓與三角形三邊都相切三角形角平分線的這個性質，你還記得嗎？問題2如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？1如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？2在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心I呢？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.為什么呢？已知：△ABC求作：和△ABC的各邊都相切的圓MND作法：1作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點為O⊥為圓心，OD為半徑作圓O☉O就是所求的圓做一做1與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓2三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心3這個三角形叫做這個圓的外切三角形BACI☉I是△ABC的內切圓，點I是△ABC的內心，△ABC是☉I的外切三角形知識要點三角形的內心的性質三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內切圓，那么線段OA，OB,OC有什么特點？互動探究線段OA，OB,OC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.BACI問題2如圖，分別過點作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關系？EFGIE=IF=IG知識要點三角形內心的性質三角形的內心在三角形的角平分線上三角形的內心到三角形的三邊距離相等BACIEFGIA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG例5△ABC的內切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？BACEDFO解:設AF=cm，則AE=cm∴CE=CD=AC-AE=9-cm，BF=BD=AB-AF=13-cm由BDCD=BC，可得13-9-=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm方法小結：關鍵是熟練運用切線長定理，將相等線段轉化集中到某條邊上，從而建立方程解得=4ACEDFOABCOcDEr3如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內切圓的半徑r為___________（以含a、b、c的代數式表示r）解析：過點O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，FF則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因為AF=AD，BF=BE，AFBF=c,所以a-rb-r=c,所以例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠BIC的度數解：連接IB，ICABCI∵點I是△ABC的內心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，在△IBC中，（3）若∠BIC=100°，則∠A=度（2）若∠A=80°，則∠BIC=度130203如圖，在△ABC中，點I是內心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數量關系？120°例4如圖，一個木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形的直三棱柱圓柱的下底面圓是直三棱柱上底面等邊三角形的內切圓，已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3cm，求圓柱底面圓的半徑該木?？梢猿橄鬄閹缀稳缦聨缀螆D形CABrOD解：如圖，設圓O切AB于點D，連接OA、OB、OD∵圓O是△ABC的內切圓,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分線∵△ABC是等邊三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=15cm∴OD=AD·tan30o=cm答:圓柱底面圓的半徑為cm比一比三角形三邊中垂線的交點=OB=OC2外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1到三邊的距離相等；、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3內心在三角形內部．ABOABCOCABOD1求邊長為6cm的等邊三角形的內切圓半徑與外接圓半徑解：如圖，由題意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD為直角三角形內切圓半徑外接圓半徑練一練變式：求邊長為a的等邊三角形的內切圓半徑r與外接圓半徑R的比sin∠OBD=sin30°=CABRrODABCODEFABCDEFO2設△ABC的面積為S，周長為L，△ABC內切圓的半徑為r，則S，L與r之間存在怎樣的數量關系？A2.如圖，已知點O是△ABC

的內心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題當堂練習20°4110°4如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點D求證：DE∥OC證明：連接OD，∵AC切⊙O點D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．方法二：證