3.1.3空間向量的數(shù)量積運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量夾角概念及表示方法.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算方法及運算規(guī)律.3.掌握兩個向量的數(shù)量積的主要用途，能運用數(shù)量積求向量夾角和判斷向量的共線與垂直．知識點一空間向量數(shù)量積的概念思考如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類比平面向量有關(guān)運算，如何求向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個向量數(shù)量積的方法．解∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).求兩個向量的數(shù)量積需先確定這兩個向量的模和夾角，當(dāng)夾角和長度不確定時，可用已知夾角和長度的向量來表示該向量，再代入計算．梳理(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空間向量的夾角①定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉．②范圍：〈a，b〉∈[0，π]．特別地：當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.知識點二空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0②若a與b同向，則a·b＝|a|·|b|；若反向，則a·b＝－|a|·|b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)④|a·b|≤|a|·|b|類型一空間向量的數(shù)量積運算例1已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))1；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))1；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))1.解如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))1＝b·[eq\f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.反思與感悟兩向量的數(shù)量積，其運算結(jié)果是數(shù)量，而不是向量．零向量與任意向量的數(shù)量積為0.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．跟蹤訓(xùn)練1已知正四面體OABC的棱長為1，求：(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.解(1)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(2)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))2\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\r(\o(OA,\s\up6(→))2＋\o(OB,\s\up6(→))2＋\o(OC,\s\up6(→))2＋2\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).類型二利用數(shù)量積求夾角例2BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線BA1與AC所成的角．解如圖所示．∵eq\o(BA,\s\up6(→))1＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1)·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(BC,\s\up6(→)).因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB,\s\up6(→))1·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a2.∴eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2.又eq\o(BA,\s\up6(→))1·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))1|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉，∴cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).又∵〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BA,\s\up6(→))1，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝120°，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角．反思與感悟利用向量求異面直線夾角的方法：跟蹤訓(xùn)練2已知：PO、PA分別是平面α的垂線、斜線，AO是PA在平面α內(nèi)的射影，l?α，且l⊥OA.求證：l⊥PA.證明如圖，取直線l的方向向量a，同時取向量eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→)).因為l⊥OA，所以a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0.因為PO⊥α，且l?α，所以l⊥PO，因此a·eq\o(PO,\s\up6(→))＝0.又因為a·eq\o(PA,\s\up6(→))＝a·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a·eq\o(PO,\s\up6(→))＋a·eq\o(OA,\s\up6(→))＝0，所以l⊥PA.類型三利用數(shù)量積求距離例3如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．解因為eq\o(AC,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1)．因為∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA,\s\up6(→))1〉＝60°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因為eq\o(AC,\s\up6(→))21＝|eq\o(AC,\s\up6(→))1|2，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))1|2＝23，|eq\o(AC,\s\up6(→))1|＝eq\r(23)，即AC1＝eq\r(23).反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D兩點間的距離．解∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，即A，D兩點間的距離為2eq\r(2).1．設(shè)a、b、c是任意的非零向量，且它們互不共線，有下列命題：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的有()A．①② B．②③C．③④ D．②④答案D解析結(jié)合向量的數(shù)量積運算律，只有②④正確．2.已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為a，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(B′D,\s\up6(→))′〉等于()A．30° B．60°C．90° D．120°答案D解析eq\o(B′D,\s\up6(→))′＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∵△A′BD為正三角形，∴〈eq\o(A′B,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.3．已知PA⊥平面ABC，垂足為A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2)B．6C．12D．144答案C解析∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.4．已知a、b是異面直線，且a⊥b，e1、e2分別為取自直線a、b上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數(shù)k的值為________．答案6解析由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.5．已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|＝________.答案eq\r(13)解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝eq\r(13).①空間向量數(shù)量積的性質(zhì)可以看成定義的引申和拓展，空間向量數(shù)量積與向量的模和夾角有關(guān)，更多的是以它為工具，解決立體幾何中與夾角和距離相關(guān)的問題，求空間兩點間的距離或線段的長度的問題可以轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)向量的模的問題；②求空間兩條直線所成的角的問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條直線對應(yīng)向量的夾角的問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應(yīng)向量的夾角的取值范圍；③和垂直相關(guān)的問題可以轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零的情況．一、選擇題1．設(shè)a、b為空間的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②eq\f(a·b,a2)＝eq\f(b,a)；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案B解析由數(shù)量積的性質(zhì)和運算律可知①④是正確的，故選B.2．如圖，空間四邊形的各邊和對角線長均相等，E是BC的中點，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＜eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比較大小答案C解析易知AE⊥BC，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|·cos120°＜0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).3．已知空間向量a，b，c兩兩夾角60°，其模都為1，則|a－b＋2c|等于()A.eq\r(5)B．5C．6D.eq\r(6)答案A解析∵|a－b＋2c|2＝|a|2＋|b|2＋4|c|2－2a·b＋4a·c－4b·c＝12＋12＋4×12－2·1·1·cos60°＋4·1·1·cos60°－4·1·1·cos60°＝5，∴|a－b＋2c|＝eq\r(5).4．如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))答案C解析2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2，故A錯；2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝－a2，故B錯；2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，故D錯，只有C正確．5．已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1.∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴a與b所成的角是60°.6．已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)答案D解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1∴eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA,\s\up6(→))1)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA,\s\up6(→))1＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))1|＝eq\r(6).二、填空題7．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為eq\f(π,3)，則|a＋b|＝________.答案eq\r(7)解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×coseq\f(π,3)＋22＝7，∴|a＋b|＝eq\r(7).8．已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________.答案eq\f(1,8)解析將|a－b|＝eq\r(7)化為(a－b)2＝7，求得a·b＝eq\f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).9．已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、解答題10．如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求證：CC1⊥BD.證明設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC,\s\up6(→))1＝c，則|a|＝|b|.∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CC,\s\up6(→))1＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0，∴eq\o(CC,\s\up6(→))1⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即CC1⊥BD.11.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，若AB＝CD，AC＝BD，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，試用向量方法證明EF是AD與BC的公垂線．證明連接AF，∵點F是BC的中點，∴Aeq\o(F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴AC2＝AD2－2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋AB2，①同理AB2＝CD2＝AD2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AC2②將①代入②可得AB2＝AD2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AD2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋AB2，∴2AD2－2eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→)).同理可得eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴EF⊥AD且EF⊥BC，∴EF是AD與BC的公垂線．12.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB與CD所成的角．解由題意知|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∵PA⊥平面ABCD，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∵AB⊥AD，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，∵AB⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1，又∵|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(DC,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(DC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∵〈eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴