第十九章四邊形

第十九章四邊形本章復(fù)習(xí)注意1.要分清各圖形之間的關(guān)系，熟悉各種圖形的性質(zhì)及判定方法。2.多畫(huà)圖。做題時(shí)應(yīng)多借助圖形的直觀作用。本章復(fù)習(xí)注意1.要分清各圖形之間的關(guān)系，熟悉各種圖形的性質(zhì)及四邊形

平行四邊形矩形

菱形一角為90°

正方形兩組對(duì)邊分別平行一角為直角且一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等一角為90°知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行梯形兩腰相等

有一個(gè)角是直角等腰梯形直角梯形四邊形平行四邊形矩形菱形一角為90°正方形兩邊形平行四邊形

矩形

菱形2．四邊形的從屬關(guān)系梯形等腰梯形直角梯形正方形邊形平行四邊形矩形菱形2．3．幾種特殊四邊形的性質(zhì)平行四邊形矩形菱形正方形邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊都相等對(duì)邊平行，四條邊都相等角對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)

四個(gè)角都是直角對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)

四個(gè)角都是直角對(duì)角線對(duì)角線互相平分對(duì)角線相等且互相平分對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形

軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形等腰梯形一組對(duì)邊平行兩腰相等同一底上兩角相等

軸對(duì)稱圖形對(duì)角線相等它們的面積是怎樣計(jì)算的？3．幾種特殊四邊形的性質(zhì)平行矩形菱形正方形邊對(duì)邊平行4．特殊四邊形的常用判定方法平行四邊形（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（∥，∥

）（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（邊：=，=）（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;（角：=，=）（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（OA=OC，OB=OD）（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（∥且=）矩形

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．菱形（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（3）四條邊都相等的四邊形是菱形；

（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．正方形（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．等腰梯形（2）同一底上兩角相等的梯形是等腰梯形．（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形．（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．4．特殊四邊形的常用判定方法平行（1）兩組對(duì)邊分別平行的三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半∵AE=ECAD=DB∴DE∥BC，DE=BC.21AEDCB三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，∵AE=EC1.△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

BC=10cm，則DE=______.AEDCB(第1題)BDAEC(第2題)2.△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∠A=50°,∠B=70°,則∠AED=_____.

5cm60°1.△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AEDCB(第

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，

E、F為AB、CD的中點(diǎn)。（1）AD=5，BC=7，EF=____；（2）EF=8，則AD+BC=______.

若梯形高為5，則其面積為_(kāi)_______。梯形的中位線平行于上、下底邊，并且等于上、下底和的一半∵AE=EBDF=FC∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）.2161640已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，梯形的中位線平直角三角形斜邊上的中線=斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線=斜邊的一半歸納：與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)1.邊：勾股定理2.角：30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。3.中線：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

歸納：與直角三角形相關(guān)的性質(zhì)1.邊：勾股定理

中點(diǎn)四邊形一個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)所連得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，它的形狀僅僅與原來(lái)四邊形的

有關(guān)。1、連接任意一個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是

。4、連接任意一個(gè)矩形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是

。3、連接任意一個(gè)菱形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是

。2、連接任意一個(gè)平行四邊形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是

。5、連接任意一個(gè)正方形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是

。平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形6、連接任意一個(gè)等腰梯形四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是

。菱形對(duì)角線連接對(duì)角線，聯(lián)系中位線中點(diǎn)四邊形一個(gè)四邊形四邊中點(diǎn)所連得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形圖形的重心1.線段的重心：2.三角形的重心：3.平行四邊形的重心：小明要做一個(gè)模型，它的底盤(pán)是質(zhì)地均勻的矩形，第一步就是在底盤(pán)的重心處釘一個(gè)釘，小明怎樣找底盤(pán)的重心？線段的中點(diǎn)中線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)圖形的重心1.線段的重心：線段的中點(diǎn)中線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn)矩1.已知平行四邊形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶2，則∠C＝

°，∠D＝

°.2.平行四邊形的周長(zhǎng)是40，兩相鄰邊長(zhǎng)的差是4，則較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度是_____。60120基礎(chǔ)練習(xí)121.已知平行四邊形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶2，60123.已知：O是ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，AC=10cm,BD=14cm，BC=8cm.則△BOC的周長(zhǎng)是_____cm.4.已知：O是ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，△BOC的面積是3，則ABCD的面積是_______.

結(jié)論：四個(gè)小三角形兩兩全等，四個(gè)面積全相等20123.已知：O是ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，AC=10cm,5.如圖：△ABC的三邊中點(diǎn)為D、E、F。（1）DE=4，DF=6，EF=3，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)___.（2）若△DEF的周長(zhǎng)是a，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)___.（3）若△ABC的面積為20，則△DEF的面積為_(kāi)____。結(jié)論：三條中位線組成的三角形：

周長(zhǎng)是大三角形的一半，面積是大三角形的四分之一。2652a5.如圖：△ABC的三邊中點(diǎn)為D、E、F。2652a解:(1)∵D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)∴AB=2CD=13∵∴BC=12∴△ABC的面積為：12×5÷2=306.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若D為AB中點(diǎn)，AC=5，CD=6.5，△ABC的面積為_(kāi)__。（2）若AB=2AC，求∠A，∠B。30（2）連接C與AB的中點(diǎn)D?！逜B=2AC，D為AB的中點(diǎn)∴AC=AD=CD=BD∴△ACD是等邊三角形∴∠A=60°∴∠B=30°D（1）（2）解:(1)∵D為Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)6.已知：在Rt7.在矩形ABCD中，（1）OA=3，BD=_______；（2）AB=6，OB=5，AC=______，BC=_______；（3）AB=5，BC=12，610815157.在矩形ABCD中，610815158.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為8和10，則它的面積為_(kāi)___。9.（1）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=24，BD=10，則菱形的周長(zhǎng)是________.

（2）菱形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，∠ABC＝120°,則對(duì)角線BD等于（）

A.4cmB.6cmC.5cmD.10cmC40第9題（1）52

畫(huà)圖！8.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為8和10，則它的面積為_(kāi)___。C4010.如圖，已知：ABCD的對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4，BO=3.

求證：ABCD是菱形析：平行四邊形+AC⊥BD=菱形

（課本99頁(yè)例3）10.如圖，已知：ABCD的對(duì)角線AC、BC相交于點(diǎn)O11.在等腰ABCD中，AD=2，BC=4，高DE=2，求腰長(zhǎng)和面積。（課本109頁(yè)第1題）解：過(guò)A點(diǎn)作AF⊥BC于F，則四邊形AFED是矩形，BF=CE.∴EF=AD=2，在Rt△ACE中，∴腰長(zhǎng)面積：（2+4）×2÷2=6F11.在等腰ABCD中，AD=2，BC=4，高DE=2，12.如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥CD。若△ABE的周長(zhǎng)是16，AD=5，則梯形ABCD的周長(zhǎng)是_______。（課本109頁(yè)第5題的變形）26已知：AB+BE+AE=16待求：AB+BC+CD+AD=AB+BE+EC+CD+AD=AB+BE+EC+AE+AD=16+5+5=26對(duì)比法：對(duì)比已知與待求12.如圖：在梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥CD。若△A綜合訓(xùn)練1.如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，△AOB

是等邊三角形，AB=4,則ABCD的面積為_(kāi)_____。（課本96頁(yè)第2題）綜合訓(xùn)練1.如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，△2.如圖，四邊形ABCD是菱形。對(duì)角線AC=8，BD=6，DE⊥AB于點(diǎn)。則DE=____。（課本103頁(yè)第11題）

等面積法4.82.如圖，四邊形ABCD是菱形。對(duì)角線AC=8，BD=6，D3.已知：如圖，ABCO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)______。4.已知如圖，等腰梯形ABCO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），AB=3.則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______。（6，4）（4，4）（5，0）3.已知：如圖，ABCO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），（6，5.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14厘米，AD=18厘米，BC=21厘米，動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，⑴當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP為矩形？⑵當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？5.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，解:(1)設(shè)x秒后四邊形PQCD成為平行四邊形則PD=CQ，即：AD-AP=CQ24-1·x=3x∴x=6

答：6秒后成為平行四邊形。（2）設(shè)y秒后成為等腰梯形則CQ-PD=4，即：CQ-（AD-AP）=4

3y-（24-1·y）=4

∴y=7

答：7秒后成為等腰梯形。EFBC-AD=2cm2解:(1)設(shè)x秒后四邊形PQCD成為平行四邊形EFBC-AD6.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形EFGO的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)相等。當(dāng)正方形EFGO繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)正方形的重疊部分的面積變化嗎？為什么？（課本105頁(yè)探究）6.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形(1)先證特殊情形.

如圖，正方形EFGO的邊與正方形ABCD的對(duì)角線重合，此時(shí)重疊部分是△AOB，其面積是正方形面積的四分之一。

(2)對(duì)于一般情況。∵四邊形ABCD是正方形∴∠OAM=∠OBN=45°,OA=OB∵∠AOM+∠MOB=∠BON+∠MOB=90°∴∠AOM=∠BON∴△AOM≌△BON（ASA）∴∴由（1）可知，結(jié)論成立。解：重疊部分的面積不變，始終是正方形面積的四分之一。證明如下:(1)先證特殊情形.解：重疊部分的面積不變，始終是正方形6.四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE=EF。提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG

拓展選講題目方法析：證△AGE≌△ECF（ASA）G(課本122頁(yè)第15題)6.四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=97.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC，且DP=OC，連結(jié)CP，試判斷四邊形CODP的形狀．ABDCOP

解:四邊形CODP是菱形