第二十九節(jié)直接找點與放縮找點知識與方法1．在討論函數(shù)零點個數(shù)時，一般采用研究函數(shù)的單調(diào)性，結合零點存在性定理進行嚴密地論證函數(shù)在某區(qū)間上的零點個數(shù).例如，當我們論證出在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時，如下圖所示，為了嚴密論證在上有兩個零點，需在左側取出，右側取出，才能得出共有兩個零點的結論，這類問題一般稱之為找點問題.2．找點的方法一般有直接找.點、放縮找點、限位取點三種：（1）直接找點：直接取出某自變量，代入函數(shù)的解析式能夠滿足要求即可，一般的原則是指數(shù)型解析式取對數(shù)點，對數(shù)型解析式取指數(shù)點，直接找點需要一定的經(jīng)驗積累以及較強的運算求解能力.（2）放縮找點：當直接找點比較困難時，可以對函數(shù)的解析式進行適度放縮，再找點.放縮時可先分析函數(shù)解析式的各個部分中，哪些是主要部分，哪些是次要部分，放縮時，可以丟掉次要部分，也可以考慮放縮主要部分，放縮的目的是簡化表達式，使其易于判斷正負（3）限位取點：例如，當我們發(fā)現(xiàn)取的點可以趨于正無窮時，不妨在時進行考慮，根據(jù)這一前提將表達式的次要部分進行放縮，以達到簡化解析式的效果，限位取點本質上也是放縮取點.3.下面給出一些找點問題中常見的放縮不等式4.如何應對靈活的找點題找點題較為靈活，能力要求高，已經(jīng)成為近幾年高考題、模擬題的熱門題型.上面列出的那些常用的放縮不等式，其實也無需死記硬背，只需有將指數(shù)、對數(shù)放縮成低次、高次多項式的意識即可，在具體的問題中，可根據(jù)需要選擇適當?shù)姆趴s．想要成為找點高手，光看別人取出來的點多么漂亮，別人的放縮多么精妙是沒有用的，同學們唯一能做的，就是親自去嘗試，只有自己嘗試取點，才能真正看到這里面的風景，逐步提升自己取點的能力.典型例題【例1】（2018·新課標Ⅱ卷）已知函數(shù)（1）若，證明：當時，；（2）若在上只有一個零點，求a.【例2】（2017·年新課標Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.【例3】已知函數(shù)，其中.（1）當時，求在處的切線方程；（2）當時，證明：有唯一的極小值點，（3）對于（2）中的，若，證明：.強化訓練l.證明：函數(shù)有兩個零點.2.已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若有且僅有1個零點，求m的取值范圍.3.（2021·新課標Ⅱ卷）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與x軸沒有公共點，求a的取值范圍.4．已知函數(shù)，其導函數(shù)為.（1）當時，求的最大值；（2）若有兩個極值點，求a的取值范圍.5．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若有且僅有1個零點，求實數(shù)a的取值范圍.6．已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）已知，若函數(shù)與的圖象有兩個交點，求a的取值范圍.7.已知函數(shù)，其中，，e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明