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行列式的復習《行列式》內(nèi)容歸納要點排列及性質(zhì)行列式概念行列式性質(zhì)行列式計算線性方程組求解(Crammer)行列式按行、列展開Laplace

定理*典型例題一、計算排列的逆序數(shù)二、計算（證明）行列式三、克萊姆法則回章目錄一、計算排列的逆序數(shù)例1

計算排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解當時為偶排列；當時為奇排列.

行列式的計算是線性代數(shù)中的難點、重點，特別是高階行列式的計算，學生在學習過程中，普遍存在很多困難，難于掌握計算高階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當?shù)姆椒ㄇ蠼?。行列式計算的技巧主要是“化零”和“按行（或列）展開二、計算（證明）行列式4、

其他方法：1、定義法：適用于0比較多的行列式．2、利用性質(zhì)化三角形行列式3、

按行（列）展開析因子法箭形行列式行（列）和相等的行列式遞推公式法加邊法（升級法）拆項法數(shù)學歸納法方法1定義法(性質(zhì)）利用n階行列式的定義計算行列式,此法適用于0比較多的行列式。例1

求下列行列式的值解利用n階行列式的定義,可直接計算其值Ｄ＝-２０００！EX解:

方法2化三角形法

化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法之一。例2

計算行列式

方法3拆行（列）法

由行列式拆項性質(zhì)，將已知行列式拆成若干個行列式之和，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。例3

求解行列式解按第一列拆開,再提公因子得

D=

再把第１個行列式按第３列展開，第２個行列式按第２列展開．最終得

方法4

降階法

利用行列式按行按列展開定理將高階行列式轉(zhuǎn)化為較低階行列式求解的方法叫做降階法.它可以分為直接降階法和遞推降階法直接降階法用于只需經(jīng)少量幾次降階就可求得行列式值的情況。

遞推降階法用于需經(jīng)多次降階才能求解，并且較低階行列式與原行列式有相同結(jié)構(gòu)的情況。例4

求解下列行列式：（1）解

利用按行按列展開定理把原行列式按第1列展開降階后的兩個低階行列式都是三角形行列式,故原行列式的值為（2）解

把原行列式按第1列展開得降階后的行列式,第1個行列式與原行列式的結(jié)構(gòu)相同,此行列式用Ｄn-1表示,而后一個行列式是三角形行列式,則上式可表示為

①

將代入

中得把Dn-1

按同樣的方法展開得依次下去，得把代入中得②②①而③④④③

例5.計算四階行列式解因為所以由此遞推公式可得*例5解:注：1.一邊化簡行列式，一邊將行列式按行或列展開2.利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的法,逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行(列)；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行(列)中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，應用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的.將行列式降階，這種方法有助于計算行列式.3)利用遞推關(guān)系計算例6計算注：1.利用行列式按行(列)展開定理，可以得到關(guān)于所求行列式值的遞推式.一般來說，遞推式的形式多種多樣，不同的遞推式有不同的解法，應注意這一點.2.當行列式的某一行(列)中零較多時，考慮將行列式按行(列)展開，目的是將行列式降階，以計算出行列式的值.

方法5

升階法（加邊法）

有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。

加邊法最大的特點就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后,就可利用行列式的性質(zhì)把絕大多數(shù)元素化為0,這樣就達到簡化計算的效果例7

求行列式的值

解行列式第1列有共同元素,第2列有共同元素,…,第

n列有共同元素.根據(jù)這些特點給原行列式加邊得

給加邊后的行列式的第1行乘加到第i行上(i=1,2,…,n)得==方法6利用范德蒙行列式的結(jié)果計算例8注：范德蒙行列式是非常重要的，在實際計算行列式時，我們經(jīng)常遇到的是變形了的范德蒙行列式，故要學會將這種行列式還原成標準的范德蒙行列式.

EX

利用Vandermonde

行列式的結(jié)果計算四階行列式解用互換相鄰兩行的方法把的

D

第4行調(diào)到第1

行，第3

后一個行列式是Vandermonde

行列式,利用它的結(jié)果就有行調(diào)到第2

行，第

2

行調(diào)到第3

行，共經(jīng)3+2+1=6

次調(diào)換，于是解：考察階范德蒙行列式例、計算行列式顯然就是行列式中元素的余子式，即

,（為代數(shù)余子式）又由的表達式及根與系數(shù)的關(guān)系知，中的系數(shù)為：

即，

方法7用數(shù)學歸納法例9證明對階數(shù)n用數(shù)學歸納法注:（一）析因子法例：計算

解：由行列式定義知為的4次多項式．又，當時，1，2行相同，有，為D的根．當時，3，4行相同，有為D的根．故有4個一次因式:方法8其他方法設令則

即，

（二）箭形行列式解：把所有的第列的倍加到第1列，得：

可轉(zhuǎn)為箭形行列式的行列式：（把第

i行分別減去第1行，即可轉(zhuǎn)為箭形行列式）（三）行（列）和相等的行列式

解：解第一章自測題一.填空題(5分/題,共30分)(1)

已知則_____.(2)已知______.(3)行列式(4)在五階行列式中,項的符號應取(5)設四階行列式則(6)設,為實數(shù),則當,時,二.計算下列行列式(20分)三.解答題(25分)有非零解？取何值,齊次方程組四.證明題(25分)設