第五章固體的能帶理論布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改進(jìn)？解：布洛赫電子論作了3條基本假設(shè)，即①絕熱近似，認(rèn)為離子實(shí)固定在其瞬時(shí)位置上，可把電子的運(yùn)動(dòng)與離子實(shí)的運(yùn)動(dòng)分開來處理；②單電子近似，認(rèn)為一個(gè)電子在離子實(shí)和其它電子所形成的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)；③周期場(chǎng)近似，假設(shè)所有電子及離子實(shí)產(chǎn)生的場(chǎng)都具有晶格周期性。布洛赫電子論相比于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實(shí)之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用。周期場(chǎng)對(duì)能帶形成是必要條件嗎？解：周期場(chǎng)對(duì)能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是一個(gè)周期性調(diào)幅的平面波，即是一個(gè)布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。一個(gè)能帶有N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級(jí)也同樣十分密集，因而便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)。禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？解：對(duì)于在倒格矢K中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)界面附近的波矢k，h由于采用簡(jiǎn)并微擾計(jì)算，致使能級(jí)間產(chǎn)生排斥作用，從而使E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶?？梢杂孟旅娴膱D5.1來描述禁帶形成的原因：近自由電子模型與緊束縛模型各有何特點(diǎn)？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊束縛模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子場(chǎng)的作用，把其它原子場(chǎng)的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個(gè)適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。布洛赫電子的費(fèi)米面與哪些因素有關(guān)？確定費(fèi)米面有何重要性？解：布洛赫電子的費(fèi)米面與晶體的種類及其電子數(shù)目有關(guān)。由于晶體的很多物理過程主要是由費(fèi)米面附近的電子行為決定的，如導(dǎo)電、導(dǎo)熱等，所以確定費(fèi)米面對(duì)研究晶體的物理性質(zhì)及預(yù)測(cè)晶體的物理行為都有很重要的作用。試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。解：在實(shí)際問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動(dòng)量為p=誑；晶體電子的速度為v=1VE(k)；晶體電子受到的外力為F=ndkdt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為1_1d2E(k)；m*中dkdk叩ap在外加電磁場(chǎng)作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用處？解：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢(shì)場(chǎng)作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動(dòng)力學(xué)問題。當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電流，以及電流在外電磁場(chǎng)作用下的變化，完全如同存在一個(gè)帶正電荷q和具有正質(zhì)量m*|、速度v(k)的粒子的情況一樣,這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴?？昭ǖ囊胧沟脻M帶頂附近缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似，給我們研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來了很大的方便。試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特征。解：在導(dǎo)體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中，由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少數(shù)電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電。說明德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)的基本原理及主要應(yīng)用。解：在低溫下強(qiáng)磁場(chǎng)中，晶體的磁化率、電導(dǎo)率、比熱容等物理量隨磁場(chǎng)變化而呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)。由于德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)同金屬費(fèi)米面附近電子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的行為有關(guān)，因而同金屬費(fèi)米面結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，所以德?哈斯一范?阿爾芬效應(yīng)成為人們研究費(fèi)米面的有力工具。一維周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)屮(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a，電子k的波函數(shù)為冗屮(x)=sin—x；ka屮(x)=icos——x;ka屮(x)=芳f(x-ia)(其中f為某個(gè)確定的函數(shù))。ki=一8試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成屮(x)=eikxu(x)，其中，u(x+a)=u(x)或?qū)懗蒶kkk屮(x+a)=屮(x+a)=eika屮(x)kk(1)屮(x+a)=siksinn=—sin-n=—K(x)aeika=—1顯然有u(x+a)=u(x)kkn故屮(x)=sinxka(2)屮(x(2)屮(x+a)=icos3(x+a)3xn=一icos—n=(x)ak所以顯然有u所以顯然有u(x+a)=u(x)kkeika=—1故屮(x)=icos—x的波矢一。kaa(3)屮(x+a)=遲f(x+a—ia)=Ef[x一(i—1)a]=f(x一ma)=V(x)kki=—8i=—8m=—gk=0eikak=0故屮(x)=刃f(x—ia)的波矢為0。ki=一《要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。因?yàn)閗空間中相差任一倒格矢的兩個(gè)k值所描述的狀態(tài)是一樣的。已知電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能為其中：a=4b,?為常數(shù)。1）畫出勢(shì)能曲線，并求出其平均值；2）用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度解：（1）該周期場(chǎng)的勢(shì)能曲線如下所示：其勢(shì)能平均值為：（2）根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為其中U和U表示周期場(chǎng)U（x）的展開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。12于是有故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為已知一維晶體的電子能帶可寫成：耳271E(k)=(§-coska+§cos2ka)。式中a是晶格常數(shù)。試求1）能帶的寬度；（2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；（3）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）在能帶底k=0處，電子能量為在能帶頂k=1處，電子能量為a故能帶寬度為Ae=E（-）-E（0）=匹ama2（2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度為（3）電子的有效質(zhì)量為于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為m*=2m1在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為m*=——m23平面正六角形晶格（見圖5.30）,六角形2個(gè)對(duì)邊的間距是a，其基矢為a=ai+遇aj；122J試求：1）倒格子基矢；2）畫出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)；3）計(jì)算第一、二、三布里淵區(qū)的體積多大？解：（1）由題意可取a=k，那么根據(jù)倒格子基矢的定義有3（2）此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)如下圖5.2所示圖5.2平面正六邊形晶格的布里淵區(qū)示意圖（3）由于各個(gè)布里淵區(qū)的體積都相等，且等于倒格子原胞的體積，所以第一、二、三布里淵區(qū)的體積為證明正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大1倍。對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，其相應(yīng)的倍數(shù)是多少？解：設(shè)正方格子的晶胞參數(shù)為a，則其相應(yīng)的倒格子也為一正方格子，并且其2冗一倒格子基矢大小為竺，由此可知位于該正方格子第一布里淵區(qū)角隅處的自由電子的a波矢大小為k=互，而位于該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子的波矢大小為k=-。1a2a又由自由電子動(dòng)能與其波矢的關(guān)系式E=竺可知，正方格子第一布里淵區(qū)角k2m隅處的自由電子的動(dòng)能大小為E=蘭工，而位于該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子的動(dòng)能大小k1ma2為e=號(hào)空，顯然有e=2E。k22ma2k1k2由此證得正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個(gè)自由電子的動(dòng)能，比該區(qū)側(cè)面中點(diǎn)處的電子動(dòng)能大1倍。對(duì)三維簡(jiǎn)單立方晶格，由相同的方法可以同樣證得其相應(yīng)的倍數(shù)為3。設(shè)k表示自由電子的費(fèi)米波矢，k表示空間中從原點(diǎn)到第一布里淵區(qū)邊界的最Fm小距離，求具有體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬的比值k/k。Fm解：對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬，其自由電子的費(fèi)米波矢為而k，故k/k=（三）1/3maFm2兀對(duì)于面心立方結(jié)構(gòu)的一價(jià)金屬，其自由電子的費(fèi)米波矢為而k二住’故k/k=（43）1/3。maFm3兀一矩形晶格，原胞邊長(zhǎng)a=2X10-iom，b=4x10-10m。（1）畫出倒格子圖；（2）畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費(fèi)米面。解：由題意可取該矩形晶格的原胞基矢為a=ai，a=bj，由此可求得其倒格子12基矢為b=—i=3.14x1010i，b=1.57x1010j，由此可做出此矩形晶格的倒格子圖如1a2下圖5.3所示：圖5.3矩形晶格的倒格子(2)該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖5.4所示：圖5.4矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū)設(shè)該二維矩形晶格晶體含有N個(gè)電子，由于費(fèi)米面是k空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面，所以有下式成立由此得k=邁帀(N)1/2=麗1/2FS上式中n=N為該二維晶格晶體的電子密度。S于是可求得該二維晶格晶體的費(fèi)米面的半徑為由此可做出自由電子的費(fèi)米面如下圖5.5中圓面所示：圖5.5二維矩形晶格的費(fèi)米面圓證明：應(yīng)用緊束縛方法，對(duì)于一維單原子鏈，如只計(jì)及最近鄰原子間的相互作用，其s態(tài)電子的能帶為E(k)=E+4Jsin2(ka/2)。min式中：E為能帶底部的能量；J為交疊積分。并求能帶的寬度及能帶頂部和底部電min子的有效質(zhì)量。解：設(shè)S態(tài)的原子能級(jí)為￡，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，則用緊束縛s方法可求得該一維單原子鏈的S態(tài)電子能量為上式中J=卄(g)|2[U(g)-V(g)]dg>0，0iJ(R)=-g*(g一R)[U(g)一V(g)]9(g)dg>0(其中U(g)表示晶體中的周期sisi性勢(shì)場(chǎng)，也即各格點(diǎn)原子勢(shì)場(chǎng)之和。V(g)為某格點(diǎn)的原子勢(shì)場(chǎng))由于s態(tài)波函數(shù)是球形對(duì)稱的，因而在各個(gè)方向重疊積分相同。在一維單原子鏈中，每個(gè)原子周圍有2個(gè)近鄰格點(diǎn)，其格矢分別為ai和-ai，由此可知一維單原子鏈的s態(tài)電子能量可化為：上式中J=J(ai)=J(一ai)=*(g-ai)[U(g)-V(g)]P(g)dg>0ii由此可知，當(dāng)k=0時(shí)，即能帶底的能量為E=￡-J-2J；當(dāng)k=±一，即冃能mins0a帶頂?shù)哪芰繛镋=￡-J+2Jmaxs0于是可證得一維單原子鏈的s態(tài)電子能量為并且還可得能帶寬度為Ae=E-E=4Jmaxmin由此還可求得有效質(zhì)量m*(k)=巾/=-—dk22a2Jcoska于是可求得能帶頂部的電子有效質(zhì)量m*=m*(土)=_—a2a2J能帶底部的電子有效質(zhì)量m*=m*(0)=2a2J設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a，試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果，求出能帶E(k)的表達(dá)式，并求出相應(yīng)的電子速度v(k)和有效質(zhì)量的各個(gè)分量m十解：當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，根據(jù)緊束縛近似可得該晶格由原子s態(tài)的形成的能帶表達(dá)式為TOC\o"1-5"\h\zE(k)=￡-J-力J(R)e-k-rs⑴s0sR=近鄰s上式中J=-jp(g)|2[U?-V(g)]dg>0，0iJ(R)=-W*(g一R)[U(g)-V(g)]9(◎戀>0(其中U(g)表示晶體中的周期sisi性勢(shì)場(chǎng)，也即各格點(diǎn)原子勢(shì)場(chǎng)之和。V(g)為某格點(diǎn)的原子勢(shì)場(chǎng))在此二維晶格中，取原點(diǎn)為參考點(diǎn)，則其六個(gè)近鄰格點(diǎn)坐標(biāo)值為a，0)(-a，0)(1a，桓a),22(-1a，亙a)(1a，-壯a(bǔ))(-1a，-込a)222222把近鄰格式R代入(1)式，并考慮到S態(tài)波函數(shù)的球?qū)ΨQ性可得:s2)1寸3i、/32)=￡一J一2J[cosak+cos(ak+ak)+cos(ak一ak)]01x2x2/2x2y上式中J表示原點(diǎn)所處格點(diǎn)與任一最近鄰格點(diǎn)的波函數(shù)的重疊積分的負(fù)值，并1有J>0。1由此可知相應(yīng)的電子速度為選取k,k軸沿張量主軸方向，則有m*=m*=0，而xyxyyx用緊束縛方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計(jì)及最近鄰相互作用，試導(dǎo)出其能帶為并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，用緊束縛近似方法處理晶體的s態(tài)電子，其能帶E(k)的表達(dá)式可寫為上式中E=￡，A=卄(g)|2[U(g)-V(g)]dg>0，0siJ=g*(g-R)[U(g)-V(g)]9(g)dgV0(其中U(g)表示晶體中的周期性勢(shì)isi場(chǎng)，也即各格點(diǎn)原子勢(shì)場(chǎng)之和；V(g)為最近鄰格點(diǎn)的原子勢(shì)場(chǎng)；R為最近鄰格點(diǎn)的s位矢)。對(duì)面心立方晶格，取原點(diǎn)為參考點(diǎn)，則其最近鄰的12個(gè)格點(diǎn)的位矢坐標(biāo)值為TOC\o"1-5"\h\zaaaaa