新理念數(shù)學教學論--數(shù)學學習理論授課：譚老夫子新理念數(shù)學教學論--數(shù)學學習理論授課：譚老夫子1第三章小學數(shù)學學習理論小學數(shù)學學習理論小學數(shù)學知識與技能的學習數(shù)學思考數(shù)學解決問題小學生數(shù)學學習中的情感態(tài)度小學數(shù)學概念的學習小學數(shù)學規(guī)則的學習小學數(shù)學技能的學習數(shù)學思維數(shù)學能力分步驟解決問題數(shù)學問題分類數(shù)學問題解決的影響因素學習動機自我意識和信心養(yǎng)成良好的學習習慣第三章小學數(shù)學學習理論小學數(shù)學學習理論小學數(shù)學知識與技能2第一節(jié)小學數(shù)學知識與技能的學習

“知識與技能”既是數(shù)學課程目標之一，又是落實“數(shù)學思考”、“問題解決”、“情感態(tài)度”課程目標的載體。小學數(shù)學知識主要包括數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)則等內(nèi)容。第一節(jié)小學數(shù)學知識與技能的學習“知識與技能”既是數(shù)學3（一）小學數(shù)學概念的內(nèi)涵一、什么是數(shù)學概念數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映，它是用數(shù)學語言和符號揭示事物共同屬性的思維形式。二、小學數(shù)學概念的表現(xiàn)形式在小學數(shù)學教材中的概念，根據(jù)小學生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。一、小學數(shù)學概念的學習（一）小學數(shù)學概念的內(nèi)涵一、小學數(shù)學概念的學習4

1．定義式定義式是用簡明而完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說明要定義的新概念。

例如“兩組對邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形”、“封閉圖形一周的長度，是它的周長”等。2．描述式用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。

例如“黑板邊、桌子邊、書邊都可以看成線段”、“像xx這樣的數(shù)，都是分數(shù)”等。1．定義式5（二）數(shù)學概念的掌握小學數(shù)學概念的掌握主要體現(xiàn)在概念形成和概念同化兩個方面：1、概念的形成，是指學生依靠直接經(jīng)驗從大量的具體例子出發(fā)，通過觀察比較、分析綜合、抽象概括，從特殊到一般，逐步歸納出一類事物的本質(zhì)屬性而形成概念的過程。概念的形成依靠對于體事物的抽象與概括。（二）數(shù)學概念的掌握小學數(shù)學概念的掌握主要體現(xiàn)在概念形成和概6“概念的形成”一般學習流程：提供的具體材料應包容性強，數(shù)量適中，避免非本質(zhì)屬性的誤導；適當混雜反面材料提供具體材料引導觀察比較歸納共同屬性命名形成概念明確概念外延提供具體材料引導觀察比較歸納共同屬性命名形成概念明確概念外延72、概念的同化：學習新概念時，利用認知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概念建立聯(lián)系，從而掌握新概念的本質(zhì)屬性。這種學習概念的過程叫做概念的同化?！案拍畹耐币话銓W習流程：復習上位概念

添加新的內(nèi)涵

形成下位概念

2、概念的同化：學習新概念時，利用認知結(jié)構(gòu)中已有的概念與新概8

1．使學生準確理解概念理解概念，一要能舉出概念所反映的現(xiàn)實原型；二要明確概念的內(nèi)涵與外延，即明確概念所反映的一類事物的共同本質(zhì)屬性，和概念所反映的全體對象；三要掌握表示概念的詞語或符號。

2．使學生牢固掌握概念掌握概念是指要在理解概念的基礎(chǔ)上記住概念，正確區(qū)分概念的肯定例證和否定例證。能對概念進行分類，形成一定的概念系統(tǒng)。

3．使學生能正確運用概念概念的運用主要表現(xiàn)在學生能在不同的具體情況下，辨認出概念的本質(zhì)屬性，運用概念的有關(guān)屬性進行判斷推理。

（三）數(shù)學概念教學的一般要求1．使學生準確理解概念（三）數(shù)學概念教學的一般要求9

根據(jù)數(shù)學概念學習的心理過程及特征，數(shù)學概念的教學一般也分為三個階段：①引入概念，使學生感知概念，形成表象；②通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；③通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。（一）數(shù)學概念的引入數(shù)學概念的引入，是數(shù)學概念教學的第一個環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。（四）小學數(shù)學概念教學的過程根據(jù)數(shù)學概念學習的心理過程及特征，數(shù)學概念的教學一般也分10

一般來說，數(shù)學概念的引入可以采用如下幾種方法:1、以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念。2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。3、以“問題”的形式引入新概念。4、從概念的發(fā)生過程引入新概念。一般來說，數(shù)學概念的引入可以采用如下幾種方法11

（二）數(shù)學概念的形成引入概念，僅是概念教學的第一步，要使學生獲得概念，還必須引導學生準確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學中可采用一些具有針對性的方法。1、對比與類比。2、恰當運用反例。3、合理運用變式。例（二）數(shù)學概念的形成12

例1：講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形(圖6-1(1))展示外，還應采用變式圖形(圖6-1(2)、(3)、(4))去強化這一概念，因為利用等腰三角形的性質(zhì)去解題時，所遇見的圖形往往是后面幾種情形。例1：講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見的圖形(圖613

（三）數(shù)學概念的鞏固為了使學生牢固地掌握所學的概念，還必須有概念的鞏固和應用過程。教學中應注意如下幾個方面。1、注意及時復習2、重視應用概念的應用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進行。（1）概念內(nèi)涵的應用 ①復述概念的定義或根據(jù)定義填空。②根據(jù)定義判斷是非或改錯。③根據(jù)定義推理。④根據(jù)定義計算。例（三）數(shù)學概念的鞏固14

概念內(nèi)涵的應用例題：（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答：

是互質(zhì)數(shù)。（2）判斷題：

27和20是互質(zhì)數(shù)（

）

34與85是互質(zhì)數(shù)（

）

有公約數(shù)1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)（

）

兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（

）

（3）鈍角三角形的一個角是82o，另兩個角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個角可能是多少度？（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對嗎？請說明理由？

概念內(nèi)涵的應用例題：15

（2）、概念外延的應用

1、舉例

2、辨認肯定例證或否定例證。并說明理由。

3、按指定的條件從概念的外延中選擇事例。

4、將概念按不同標準分類。例：（1）列舉你所見到過的圓柱形物體。（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？

（3）分母是9的最簡真分數(shù)有＿；分子是9的假分數(shù)中，最小的一個是

（4）將自然數(shù)2－19按不同標準分成兩類（至少提出3種不同的分法）

（2）、概念外延的應用16

3、注意辨析隨著學習的深入，學生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內(nèi)涵相近，使得學生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學生運用對比的方法，弄清易混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。3、注意辨析17

例：關(guān)于面積和周長，可組織學生從下列幾個方面進行對比

(1)什么叫做長方形的周長？什么叫做長方形的面積？（2）周長和面積常用的計量單位分別有哪些？（3）在圖5-7中，A，B兩個圖形的周長相等嗎？面積相等嗎？（4）圖5-8中的每一小方格代表一平方厘米，這個圖的面積是

，周長是

，剪一刀，然后將它拼成一個正方形，這個正方形的周長是

，面積是

。例：關(guān)于面積和周長，可組織學生從下列幾個方面進行對比（418

1、把握概念教學的目標，處理好概念教學的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。

2、加強直觀教學，處理好具體與抽象的矛盾

3、遵循小學生學習概念的特點，組織合理有序的教學過程（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性（3）重視概念的運用，發(fā)揮概念的作用（4）注重概念之間的比較分類，深化概念（五）小學數(shù)學概念教學中應注意的問題1、把握概念教學的目標，處理好概念教學的發(fā)展性與階19二、小學數(shù)學規(guī)則的學習（一）什么是數(shù)學規(guī)則？小學數(shù)學的學習內(nèi)容中，包括四則計算法則、運算定律與性質(zhì)、計算公式等內(nèi)容，這些內(nèi)容既是數(shù)量關(guān)系和空間形式及其計算規(guī)律的概括和總結(jié)，又是有關(guān)計算過程具體實施細則的具體規(guī)定。（二）小學數(shù)學規(guī)則的特點小學數(shù)學規(guī)則，既要體現(xiàn)數(shù)學學科的嚴密性、邏輯性的特點，又要符合兒童的年齡特點和認知規(guī)律，因而具有以下特點：1、淡化嚴格證明，強化合情推理

2、重要規(guī)則逐步深化3、有些規(guī)則不給結(jié)語二、小學數(shù)學規(guī)則的學習（一）什么是數(shù)學規(guī)則？20（三）數(shù)學規(guī)則學習的分類1、下位學習：

如果新規(guī)則在層次上低于原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識，那么新規(guī)則和原有認知結(jié)構(gòu)中的知識就可構(gòu)成下位關(guān)系。這時，新規(guī)則可以直接和原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識發(fā)生聯(lián)系，并直接納入原有的認知結(jié)構(gòu)中，充實原有的認知結(jié)構(gòu)，這樣的學習稱為下位學習。（三）數(shù)學規(guī)則學習的分類1、下位學習：21例：學習菱形就屬于下位學習。

新知識菱形是學習了平行四邊形概念及一些簡單性質(zhì)之后學習的。在學習菱形時，學生已經(jīng)知道了菱形是特殊的平行四邊形，就可以類比學習平行四邊形方法進行觀察、測量、畫圖、拼圖。折疊、圖形設(shè)計等活動，菱形的面積公式則可直接運用平行四邊形的面積公式。例：學習菱形就屬于下位學習。222、上位學習：

如果新規(guī)則在層次上高于原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識，那么，新規(guī)則和原有的認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識就構(gòu)成了上位關(guān)系。此時，新規(guī)則中概念之間的關(guān)系是通過歸納、概括比它層次低的有關(guān)知識獲得的。即通過對已有知識的歸納、綜合與概括，將原有的認知結(jié)構(gòu)改變?yōu)樾碌恼J知結(jié)構(gòu)，這樣的學習稱為上位學習。2、上位學習：23例：

學生已經(jīng)學習了長方體體積的計算公式：底面積x高；正方體的體積計算公式：底面積x高；圓柱體的體積計算公式：底面積x高。進而概括出體積的計算公式：V=sh的學習過程，就屬于上位學習。例：243、并列學習：

利用所學的數(shù)學規(guī)則與原有認知中有關(guān)知識的并列關(guān)系，通過類比而掌握數(shù)學規(guī)則的學習過程叫做并列學習。

并列學習運用的主要思想是類比，其關(guān)鍵在于尋找新規(guī)則與原有認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)知識的聯(lián)系，使它們在一定意義下進行類比。3、并列學習：25例：（1）整數(shù)除法中商不變的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以一個數(shù)（0除外），商不變。（2）分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘或除以一個數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。（3）比的基本性質(zhì)：比的前項和后項都乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。上述所列舉的既不是類屬關(guān)系也不是總括關(guān)系，而是并列關(guān)系。通過類比建立前后規(guī)則間的聯(lián)系，這就是并列學習。例：（1）整數(shù)除法中商不變的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時26（四）小學數(shù)學規(guī)則學習的主要形式：（1）例一規(guī)法學習：呈現(xiàn)規(guī)則的若干例證，讓學生從例證中歸納概括出一般結(jié)論。

例-規(guī)法學習的一般流程呈現(xiàn)具體例證觀察試驗嘗試解決分析答案或過程發(fā)現(xiàn)規(guī)律形成猜想驗證完善形成規(guī)則（四）小學數(shù)學規(guī)則學習的主要形式：（1）例一規(guī)法學習：呈現(xiàn)規(guī)27規(guī)-例法學習的一般流程教師指導要點：闡明新規(guī)則的條件、結(jié)論，解釋其道理，幫助學生理解規(guī)則的意義。所舉實例中應包含各種特例的應用。復習相關(guān)知識呈現(xiàn)新的規(guī)則舉例說明應用（2）規(guī)—例法接受學習：先呈現(xiàn)要學習的規(guī)則，再用實例說明規(guī)則的應用。規(guī)-例法學習的一般流程復習相關(guān)知識呈現(xiàn)新的規(guī)則舉例說明應用（28（五）小學數(shù)學規(guī)則教學的過程與方法

小學數(shù)學規(guī)則的教學一般要經(jīng)過規(guī)則的引入、規(guī)則的建立、規(guī)則的鞏固與運用等三個階段。（一）規(guī)則的引入可采用如下一些方法去引入規(guī)則。(1)用觀察、實驗的方法引入規(guī)則。(2)用觀察、歸納的方法引入規(guī)則。(3)由實際的需要引入規(guī)則。（五）小學數(shù)學規(guī)則教學的過程與方法小學數(shù)學規(guī)則的教學29（二）規(guī)則的建立1、例證要有利于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)則、發(fā)展智能2、由直觀到抽象，由個別到一般3、緊密結(jié)合例證，逐級抽象概括4、突出算理，以理馭法（三）規(guī)則的鞏固和運用新規(guī)則建立之后，要及時安排練習，鞏固和運用新規(guī)則。（二）規(guī)則的建立30

（六）數(shù)學規(guī)則教學設(shè)計示例（一）“加法交換律和結(jié)合律”教學片段1、創(chuàng)設(shè)情景、提出問題2、合作交流、自主探究（1）象第一組這樣的算式，你能再寫出幾道嗎？這里究竟有什么規(guī)律呢？（學生自主嘗試）（2）匯報交流、歸納概括。（3）這個規(guī)律，你能給它取個名稱嗎？看書并說說什么叫加法交換律。（4）小組活動：驗證第二種規(guī)律。明確要求：每人自己出題驗證；在小組中交流你驗證的結(jié)果。（六）數(shù)學規(guī)則教學設(shè)計示例（一）“加法交換律和結(jié)合律”教學31（5）匯報交流、歸納概括。什么是加法結(jié)合律？用字母怎樣表示加法結(jié)合律？（6）看書質(zhì)疑。3、鞏固練習（略）4、反思回顧5、用自己喜歡的方法算，想一想怎樣算會比較快？第三章小學數(shù)學學習理論課件32三、小學數(shù)學技能的學習技能是指人們通過練習獲得的自動化的動作方式和操作系統(tǒng)。技能按照其本身的性質(zhì)和特點可以分為動作技能和心智技能。三、小學數(shù)學技能的學習技能是指人們通過練習獲得的自動化的動作33智力技能主要指組成這類活動方式的動作是在頭腦內(nèi)部實現(xiàn)的，通過分析、綜合、抽象、概括等逐步完成的；小學數(shù)學的智力技能包括口算、筆算、解題、解方程等。操作技能是指組成這類活動方式的動作需要通過人的頭腦外部的機體運動或操作一定的對象來完成。小學數(shù)學的操作技能包括數(shù)字的書寫，利用工具（直尺、三角板、圓規(guī)）作幾何圖形，利用工具測量角度、測量物體的長度、重量等等。（一）數(shù)學技能及其種類智力技能主要指組成這類活動方式的動作是在頭腦內(nèi)部實現(xiàn)的，通過3435（二）動作技能的形成過程1．認知階段

認知階段也叫做動作定向階段。定向階段指學生要了解與某種數(shù)學技能有關(guān)的知識和功用，了解動作的基本步驟、難度、要領(lǐng)、動作程序以及活動最后要達到的目標等。例如，測量一個角的大小，必須先理解什么是角，角的大小指哪部分，角的大小與所畫的邊長無關(guān)，量角器這一測量工具的使用方法；然后再了解量角的步驟、要領(lǐng)。2．單個動作階段單個動作階段指把整個的活動分解為若干個單個動作，并逐一進行練習，達到形成局部動作的技能。35（二）動作技能的形成過程3.連續(xù)動作階段連續(xù)動作階段指把每一個動作技能按順序連接起來，形成一個連貫協(xié)調(diào)的步驟。這時動作之間的相互干擾逐步得到排除，視覺、聽覺的反饋逐步被動覺反饋所替代，動作已不那么緊張，多余的動作也明顯減少，最后使整套動作能完整地完成。4.自動化階段是數(shù)學操作技能的最后階段。這時，意識的參與明顯減少，意識只有當動作出偏差時才起作用。只要有啟動的信息，可以自動地完成一整套的數(shù)學操作，學生可以自由分配自己的注意來完成全部動作了。全套動作協(xié)調(diào)一致、統(tǒng)一和諧、前后連貫，達到整體動作的自動化和完善化。3.連續(xù)動作階段36（三）動作技能的學習方法動作技能的學習方法一般就是范例學習法。在進行小學數(shù)學基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。（三）動作技能的學習方法3738（四）數(shù)學智力技能的形成過程1、活動定向階段這是準備階段，任務是了解、熟悉活動，知道要“做什么”和怎么做，從而在頭腦中建立起定向映象，而且這種了解應該是完全的、概括的比較系統(tǒng)。2．物質(zhì)活動和物質(zhì)化活動階段所謂物質(zhì)活動是指動作的客體是實際事物，所謂物質(zhì)化活動是指活動不是借助于實際事物本身，而是以它的代替物如模擬的教具、學具，乃至圖畫、圖解、言語等進行的。圖4-6相遇問題線段38（四）數(shù)學智力技能的形成過程圖4-6相遇問題線段393．出聲的外部言語活動階段這一階段是活動離開了它的物質(zhì)或物質(zhì)化的客體，以出聲的外部言語形式來完成實在的活動?；顒酉蜓哉Z轉(zhuǎn)化，不僅意味著用言語來表達活動，而首先意味著在言語中完成了實在的活動。言語活動真正的優(yōu)越性不在于脫離與實際的直接聯(lián)系，而在于它必然為活動創(chuàng)造新的目標——抽象化，從而保證了活動的高度定型化，也保證了活動的迅速自動化。393．出聲的外部言語活動階段404．不出聲的外部言語階段這階段不只是“言語減去聲音”，而是以詞的聲音表象、動覺表象為基礎(chǔ)的智力活動階段。不出聲的外部言語形式的活動的形成是活動向智力水平轉(zhuǎn)化的開始，因此這一階段在智力活動的形成過程中同樣是十分重要的。5．內(nèi)部言語活動階段這是活動達到智力水平的最后階段。由外部言語轉(zhuǎn)化為內(nèi)部言語，主要是用“自己的言語”進行思考，所以在結(jié)構(gòu)上發(fā)生了較大的變化。404．不出聲的外部言語階段41（五）數(shù)學智力技能的基本學習方法1．范例學習方法這是小學數(shù)學智力技能學習的主要方法。利用課本中的范例，將思維操作程序一步一步地呈現(xiàn)出來，使學生把握住解題的條件和步驟。41（五）數(shù)學智力技能的基本學習方法422．嘗試學習方法這種方法與范例學習方法不同，主要由學生自己去嘗試探索解決問題的線索，并在不斷修正錯誤中找出解決問題的途徑。這種方法一般在學生已學會通用方法，在探究變式題時可以采用。如前例，學生已學會一般的筆算除法，在學習商中間帶0的除法時，可用這種學習方法讓學生試算。我們把原題被除數(shù)的342改為312，312÷3=?學生通過嘗試商是14還是104，從嘗試錯誤所提供的鑒別信息中，悟出得出正確結(jié)論的原因。這種學習方法比較費時間，但有利于培養(yǎng)學生主動學習、獨立思考的能力。422．嘗試學習方法第二節(jié)數(shù)學思考《課標（2011）》中說到課程目標“數(shù)學思考”期望達到的目的是“讓學生學會獨立思考，體會數(shù)學思想，體會數(shù)學思維方式”。讓學生獨立思考，是數(shù)學課程培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的核心，數(shù)學思想主要指數(shù)學抽象的思想、數(shù)學推理的思想、數(shù)學建模的思想。在我們小學階段學會思考是從學會數(shù)學思維，學會合情推理，獲得能力來體現(xiàn)的。第二節(jié)數(shù)學思考《課標（2011）》中說到課程目標“數(shù)學43一、數(shù)學思維（一）數(shù)學思維的定義。（二）小學生數(shù)學思維的類型。數(shù)學思維是從人類一般思想中分化出來的一種科學思維，因此它的活動形式與一般的科學思維活動形式相同。在小學階段，思維主要表現(xiàn)在兩個方面：形象思維和初步的邏輯思維。一、數(shù)學思維（一）數(shù)學思維的定義。441、形象思維。

形象思維是依靠形象資料的意識領(lǐng)會得到理解的思維，它的主要特征是思維材料的形象性，其基本形式是表象、直感、和想象。目前在教學過程中，教師經(jīng)常會根據(jù)學生的這一思維特點去設(shè)計教學。例如說道具的利用，一年級學生在學習數(shù)數(shù)的時候，教師會采用數(shù)小棒、數(shù)手指等方法來幫助學生去理解、計算?；蛘呤窃谡J識長方體這節(jié)內(nèi)容時，教師一般會用粉筆盒、書本等來例舉現(xiàn)實生活中長方體的存在。這些道具的使用都有利于學生理解新知。1、形象思維。452、初步的邏輯思維。邏輯思維是以概念為思維材料、以語言為思維載體，每一步都有充分依據(jù)的思維。它的主要特征是抽象性，其基本形式是概念、判斷和推理。在數(shù)學教學中，學生解題的過程其實就是邏輯思維訓練的過程。首先學生在解題時，會從題目中提取相關(guān)信息，了解考查的主要內(nèi)容；其次根據(jù)自己已學過的數(shù)學方法去解題，不斷地驗證自己的方法是否適合這道題；最后得出結(jié)果。整個解題的步驟都體現(xiàn)了學生的邏輯思維一步步地得到運用。2、初步的邏輯思維。46例：小強和小麗同時從家里走向?qū)W校。小強每分鐘走70米，小麗每分鐘走60米，經(jīng)過4分鐘兩人在校門相遇，他們兩家相距多少米？學生一看到這個題目，就可以判斷這是一個相遇問題，已知項有小強和小麗的速度分別是每分鐘70米和60米，時間是4分鐘。未知項是路程。那么根據(jù)路程=速度x時間，可以知道小強和小麗行駛的路程分別是280米和240米。最后根據(jù)兩人是相向而行，求得兩家的距離是280+240=520米。這個解題步驟從解讀題意到尋求解決方法都很好的體現(xiàn)了學生邏輯思維的發(fā)展過程。例：小強和小麗同時從家里走向?qū)W校。小強每分鐘走70米，小麗每47（三）小學生數(shù)學思維的特點。1、認知發(fā)展的階段性（1）皮亞杰的認知發(fā)展階段理論。皮亞杰心理學的理論核心是“發(fā)生認識論”。“運算”（即思維操作）是他思維邏輯分析體系中的核心概念，是劃分兒童認知發(fā)展階段的主要標志。據(jù)此，皮亞杰把兒童認知發(fā)展分為四個主要階段，即感知運動階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。按照皮亞杰的階段劃分，小學生正處于具體運算階段，思維具有明顯的符號性和邏輯性，能夠進行簡單的邏輯推演。但很大程度上缺乏抽象性，更多的是具體性。（三）小學生數(shù)學思維的特點。48例如：“假定A>B,B>C,問A與C哪個大？”處于具體運算階段的兒童一般不能正確回答這一問題。如果換一種問法：“張老師比李老師高，李老師又比王老師高，問張老師和王老師哪個高？”（三位老師都是學生熟悉的老師）他們則可以回答。由此可見，學生要有實際情景中具體事務之間的關(guān)系作基礎(chǔ)才能完成上述推理，所以這種邏輯推理能力只是初步的。例如：“假定A>B,B>C,問A與C哪個大？”處于具體運算階49（2）小學生思維的基本特點。1、進入小學的兒童思維的基本特點是從以具體形象思維為主要形式過渡到以抽象思維為主要形式。由此可見，小學數(shù)學學習的思維活動就是一個具體形象思維和抽象邏輯思維相結(jié)合的過程。2、由于數(shù)學具有內(nèi)在的邏輯體系和抽象性，所以學生學習數(shù)學的過程也是一個學習抽象數(shù)學知識的過程。3、小學生處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，具有較強的直觀性。小學階段的學生他們對于完全借助語言文字傳授的間接經(jīng)驗難以理解，而對于直接看到的和自己動手操作的數(shù)學教學內(nèi)容就容易接受。正是基于這一特點，數(shù)學教材應該為學生提供大量豐富的感性材料，特別是加強動手操作，為學生理解、掌握數(shù)學知識提供認識上的支柱。（2）小學生思維的基本特點。502、數(shù)學思維的特點。（1）數(shù)學思維的概括性：數(shù)學思維的概括性是由于數(shù)學思維能揭示事物之間抽象的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系這些本質(zhì)特征和規(guī)律，能夠把握一類事物共有的數(shù)學屬性。例如：在學習偶數(shù)時，有些教師會引導學生從2、4、6、8等數(shù)中找出偶數(shù)的特點，從而歸納出偶數(shù)的定義，然后根據(jù)定義去判斷一個數(shù)到底是不是偶數(shù)等問題。同樣的，這種歸納方法可以遷移到找出被5整除的數(shù)當中去。2、數(shù)學思維的特點。51（2）數(shù)學思維的問題性：數(shù)學的起源和發(fā)展是由問題引起的。在數(shù)學學習的過程中，教師一般會通過不斷提問來引起學生的思考，訓練學生的思維。因為在這個過程中它可以幫助學生理清自己的思路，讓自己的思維變得更加嚴謹。另一方面，學生在學習的過程中自己還會提出一些數(shù)學問題。例如在學習折線統(tǒng)計圖這節(jié)內(nèi)容的時候，學生會從給出的統(tǒng)計圖中提出統(tǒng)計圖分別呈現(xiàn)什么變化趨勢、誰的變化幅度大一點等一系列問題。（2）數(shù)學思維的問題性：數(shù)學的起源和發(fā)展是由問題引起的。在數(shù)52（3）數(shù)學思維的相似性：數(shù)學思維的相似性是思維相似律在數(shù)學思維活動中的反映。在解題的過程當中，學生經(jīng)常會出現(xiàn)“這道題目我好像在哪里見過”這種想法，其實就是因為相似的解題方法或形式喚起了學生腦中相似的圖式。例如學習什么是長方體和正方體時，教材里呈現(xiàn)生活中類似長方體和正方體的物體，比如說冰箱和盒子，然后歸納出“我們周圍許多物體的形狀都是長方體或正方體（正方體也叫做立方體）”。這樣的歸納方式就是利用了物體和模型之間的相似性。（3）數(shù)學思維的相似性：數(shù)學思維的相似性是思維相似律在數(shù)學思53（4）思維的形式化：所謂形式化，即脫離數(shù)學對象的具體內(nèi)容而進行的純形式的分析，研究特定的知識和理論，使之固定化、精確化。運用形式化的方法，人們可以研究知識的形式，用特定的符號語言表述并建構(gòu)這些符號語言的規(guī)則。在數(shù)學當中某些問題是可以通過具有一定含義的字母符號來解答的，或者是應用在一些公式的推導過程中。比如乘法的交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，它們的積不變。用符號表示為aXb=bXa。（4）思維的形式化：所謂形式化，即脫離數(shù)學對象的具體內(nèi)容而進54（5）數(shù)學思維的條理性：條理性是指數(shù)學思維，尤其是思維由抽象上升到具體的過程中，具有極高的邏輯性。數(shù)學具有自己的一套法則。它要求學生在解題的時候，首先確定自己的做題程序。比如先找出問題的有效信息，然后再確定自己學過的方法有沒有適合這道題目的，最后再確定該選擇何種方法去解決。因此我們可以得知，解決問題的過程可以看出學生的思維是否具有條理性。例如：3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？首先確定已知項，3臺拖拉機3天耕地90公頃是表示9臺拖拉機1天耕地90公頃。第二，5臺拖拉機6天耕地是指60臺拖拉機1天要耕地多少？最后，根據(jù)第一步可知1臺拖拉機1天可耕10公頃，那么30臺拖拉機1天可以耕30x10=300公頃，即5臺拖拉機6天耕地的數(shù)量。這一步步的解題過程就體現(xiàn)出學生思維的條理性。（5）數(shù)學思維的條理性：條理性是指數(shù)學思維，尤其是思維由抽象55（6）數(shù)學思維的創(chuàng)造性：思維的創(chuàng)造性是思維的一個本質(zhì)屬性。數(shù)學是一門比較開闊，靈活的學科，它的解題方法可以一式多解、題目形式可以變化多端，因此這也就要求學生在學習的時候不僅要學會教師所教的內(nèi)容，更要掌握舉一反三、不斷創(chuàng)造的能力。學生在做題的時候要不斷歸納、對比，從學習中積累經(jīng)驗，從而使自己在充分掌握基礎(chǔ)知識后，開拓自我創(chuàng)造的能力。例如學完長方體的表面積是等于六個面的面積之和后，求正方體的表面積。可以利用遷移定律，推出正方體的表面積=留個正方形的面積=6x棱長（邊長）x棱長。（6）數(shù)學思維的創(chuàng)造性：思維的創(chuàng)造性是思維的一個本質(zhì)屬性。數(shù)56（四）數(shù)學思維品質(zhì)。

人們在數(shù)學學習過程中，由于學習者個體的差異，表現(xiàn)出數(shù)學思維水平的差異性。這種思維水平的差異性是以數(shù)學思維品質(zhì)為標志的。數(shù)學思維品質(zhì)的主要表現(xiàn)在以下五個方面：敏捷性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、批判性。這五個方面相互聯(lián)系、相互依存，它們是數(shù)學思維的統(tǒng)一體。1、敏捷性：就是學習者善于在較短的時間內(nèi)果斷而迅速地對思維的對象進行識別、判斷、推理、猜想以至于解決問題。（四）數(shù)學思維品質(zhì)。572、靈活性：指思維活動的靈活程度，即學生在思維過程中能從不同的方面、不同的角度以及不同的方向來思考問題，并且還能用不同的方法來解決問題。3、深刻性：指“思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的廣度、深度和難度”。4、創(chuàng)造性：思維的創(chuàng)造性表現(xiàn)為在思維活動中創(chuàng)造出新的知識、成果等，思維創(chuàng)造性的特點即具有“新穎性”。5、批判性：思維的批判性就是思維活動中的獨立分析、獨立見解、獨立思考、自我反饋、不輕信不盲目的思維品質(zhì)。2、靈活性：指思維活動的靈活程度，即學生在思維過程中能從不同58數(shù)學能力（一）數(shù)學能力的定義。（二）小學數(shù)學能力的類型：1、運算能力：會根據(jù)法則、公式等正確進行運算，并且理解運算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運算途徑，成為運算能力。運算能力是在不斷的運用數(shù)學概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的聯(lián)系而逐步形成的。運算的正確、靈活、合理和間接是運算能力的主要特征。在小學階段，數(shù)的運算有口算、筆算、估算，相對應的就有口算能力、筆算能力和估算能力。學習數(shù)的運算首先要使學生理解算理，把握四則運算的本質(zhì)。數(shù)學能力（一）數(shù)學能力的定義。592、合情推理。合情推理包括歸納推理和類比推理。歸納推理是以個別（特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結(jié)論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。2、合情推理。60第三節(jié)數(shù)學解決問題

數(shù)學問題解決的過程與本質(zhì)是應用一系列運算來努力改變問題的初始狀態(tài)并朝目標狀態(tài)轉(zhuǎn)變的過程，因而這是一個不斷化歸的過程；在將問題由初始狀態(tài)向目標狀態(tài)推進的過程中，個體需要調(diào)動已有的知識和經(jīng)驗，在問題空間中積極探索和開發(fā)出一條到達目標狀態(tài)的路徑；這個路徑集中的體現(xiàn)了解決問題的創(chuàng)造性及其成果。第三節(jié)數(shù)學解決問題數(shù)學問題解決的過程與本質(zhì)是應用一系列61分步驟解決問題（一）理解題意：學生在解決數(shù)學問題時，首先要審題，理解題意非常重要，確定問題的已知條件和問題是什么，關(guān)鍵詞是什么。復雜一些的問題，還要理解已給條件間的關(guān)系，條件與問題間的關(guān)系，由此可能轉(zhuǎn)化出新信息、新問題。理解題意的操作步驟。如下圖所示：分步驟解決問題（一）理解題意：學生在解決數(shù)學問題時，首先要審62第三章小學數(shù)學學習理論課件63探究性課題教學的一個創(chuàng)新設(shè)計用16張邊長是1分米的正方形拼長方形和正方形，怎么拼，才能使拼成的圖形周長最短？1、找關(guān)鍵詞：“拼長方形和正方形”，一個條件是用16個正方形拼圖；問題是拼出的圖形周長最短。2、信息轉(zhuǎn)化：這道題目有兩個已知條件，它們之間的關(guān)系能轉(zhuǎn)換出一個新條件：拼成的兩個長方形和一個正方形哪個的周長最短？3、去除無關(guān)信息：理解題意包括找出已知信息和問題，理清信息間關(guān)系，去除不相關(guān)信息。學生讀懂信息，體會信息的意思，將對問題的理解外顯出來，深化對條件和問題的認識，進而去解決問題。例：一共有16個人來踢球，已經(jīng)來了7人，有一個隊踢進了5個球，問還有幾個人沒來？這里“有一個隊踢進了5個球”與問題無關(guān)是多余信息，應當舍去。探究性課題教學的一個創(chuàng)新設(shè)計64（二）數(shù)學問題表征。內(nèi)部表征：在頭腦中表征問題，即在頭腦中考慮信息與信息之間、信息與問題之間的關(guān)系，對于信息量少、數(shù)量關(guān)系簡單的問題，學生一般只要用內(nèi)部表征就能把問題想清楚。外部表征：指把有關(guān)信息與問題用圖形、表格等方式表示出來。借助外部表征可以幫助學生更好地整理信息與問題。（二）數(shù)學問題表征。65小學數(shù)學問題表征的類型1、動作表征：動作表征清楚地顯示了已知信息（條件），它們能幫助學生理解題意，而且這種表征形式本身也顯示出條件與問題間的關(guān)系，在低年級經(jīng)常用到。例：小紅排第10，小明排第15，問小紅和小明之間有幾人？動作表征：動手數(shù)數(shù)，小紅第10，后面是第11、12、13、14，第15是小明，數(shù)出4只手指，所以小紅和小明之間有4個人。小學數(shù)學問題表征的類型1、動作表征：動作表征清楚地顯示了已知662、語言表征：根據(jù)數(shù)學知識的意義表征數(shù)量關(guān)系的。例如有12名學生，1/3是女生，女生有多少人？語言表征：因為有1/3是女生，要求女生人數(shù)，需要將12平均分成3份，求出一份是多少。這里的語言表征是根據(jù)分數(shù)的意義解釋題目中的數(shù)量關(guān)系。2、語言表征：根據(jù)數(shù)學知識的意義表征數(shù)量關(guān)系的。例如有12名673、圖形表征。對于不同的年級有不同的圖形表征方式。（1）象形圖表征：利用現(xiàn)象本身的形象畫表示問題中的數(shù)量關(guān)系，例：二年級衛(wèi)生評比，一班得了12只紅五星，二班比一班多得了3只，二班得了多少只？這道題目可用小星星來表示數(shù)量關(guān)系。如下圖所示：3、圖形表征。對于不同的年級有不同的圖形表征方式。68（2）符號圖形表征：符號圖形指代表事物的圖形、記號。如有12名學會說呢過，2/3是男生，問男生有多少人？問題中用小圓圈來表示每一個學生，用有顏色的圓圈表示三份中的兩份。如圖：（2）符號圖形表征：符號圖形指代表事物的圖形、記號。如有1269（3）線段圖表征：畫線段圖是問題解決中常用的一種思考策略。在問題表征時，利用線段圖將題中蘊涵的抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的線段圖直觀的表達出來，能有效促進問題的解決。例：小明的體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕8/15，小明爸爸的體重是多少千克？根據(jù)分數(shù)的意義，我們可以將爸爸的體重平均分成15份，小明的體重相當于其中的（15-8）份，即小明的體重相當于爸爸的7/15.我們也可以用線段圖來表征爸爸、小明的體重及其關(guān)系。（3）線段圖表征：畫線段圖是問題解決中常用的一種思考策略。在704、表格表征：表格是按照事物分類畫成格子，分別填寫文字或數(shù)字的書面材料。因此制作表格前，已經(jīng)在頭腦中對研究對象進行了分類，按照自己的分類制表，使人一目了然，解題思路逐漸清晰。如：一列火車大車廂、小車廂一共6節(jié)，問有多少節(jié)大車廂？有多少節(jié)小車廂？這道題目我們可以制作表格，用列舉法將大車廂、小車廂的所有情況都列出來。4、表格表征：表格是按照事物分類畫成格子，分別填寫文字或數(shù)字715、符號表征和算式表征：這里的符號特指字母、數(shù)字符號等抽象符號。如小明出生時，爸爸27歲，知道小明的年齡時，爸爸的年齡如何表示？用a表示小明的年齡，這是用字母符號表示數(shù)；爸爸的年齡就是a+27，這是算式表征。5、符號表征和算式表征：這里的符號特指字母、數(shù)字符號等抽象符72（三）運用數(shù)學工具解答并檢驗。1、運用數(shù)學工具解答：在前面的數(shù)學表征階段，我們已經(jīng)知道了問題中的數(shù)量關(guān)系，接下來就是運用數(shù)學工具進行解答。在前面計算小明爸爸的體重的例題中，從線段圖表征我們已經(jīng)清楚了小明的體重是爸爸體重的7/15，已知條件中小明的體重為35kg，運用分數(shù)的意義，列出算式：35÷7/15=75（kg），即爸爸的體重是75kg。2、檢驗：將答案作為條件帶回到原來的情境中，并用乘法檢驗，小明的體重為75×7/15=35kg，與已知條件相符，說明爸爸的體重答案正確。（三）運用數(shù)學工具解答并檢驗。73數(shù)學問題分類數(shù)學問題包括一些結(jié)構(gòu)良好、內(nèi)容熟知、形式標準、有現(xiàn)成可套用解答方法、答案確定、條件恰好不多不少的常規(guī)問題，學生只需要模仿、進行適當操練就可以輕易解決；也包括那種情境初次遇到，具有較大智力挑戰(zhàn)，沒有可直接用的解決方法、程序或算法的非常規(guī)問題。“解決問題”是有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合，從條件到結(jié)論的一系列轉(zhuǎn)換過程，不斷地消除現(xiàn)狀與目標之間的差異。數(shù)學問題分類數(shù)學問題包括一些結(jié)構(gòu)良好、內(nèi)容熟知、形式標準、有74（一）常規(guī)問題。

安德森認為，需要開發(fā)出新的步驟的問題解決稱為創(chuàng)造性的問題解決，使用現(xiàn)成步驟的問題解決稱為常規(guī)性的問題解決。簡單的來說，可以套用的問題就是常規(guī)問題。歸納起來，小學有關(guān)四則運算的數(shù)學問題的意義見圖：（一）常規(guī)問題。75第三章小學數(shù)學學習理論課件761、加法類型的數(shù)學問題。合并：如左邊1把扇子，右邊3把扇子，一共幾把扇子？添加：如地上有5塊磚，小熊又抱來了1塊磚，一共有幾塊磚？2、減法類型的數(shù)學問題。分離：有6塊磚，小熊抱走了2塊，余下幾塊磚？比較：如小華摘了12個蘋果，小雪摘了7個，小華比小雪多摘了幾個？1、加法類型的數(shù)學問題。773、乘法類型的數(shù)學問題。等組：3張桌子，每張桌子圍坐4個孩子，一共有多少孩子？矩陣隊列：如4個學生一排，共3排，一共有多少學生？倍數(shù)比較：如女孩3人，男孩是女孩的4倍，男孩多少人？長方形面積：長×寬。4、除法類型的數(shù)學問題。等分：先確定要平均分的份數(shù)再分。12個孩子分坐4張桌子，每張桌子坐幾個孩子？包含：12個孩子，一張桌子坐4個