2023/10/81第四章機器人動力學機器人是主動機械裝置，原則上，它的每個自由度都具有單獨傳動。從控制的觀點來看，機械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質(zhì)非線性的自動控制系統(tǒng)，也是復雜的動力學耦合系統(tǒng)。每個控制任務本身就是一個動力學任務。因此研究機器人的動力學問題就是為了進一步討論控制問題。為使機器人連桿加速，驅(qū)動器必須有足夠大的力和力矩來驅(qū)動機器人連桿和關(guān)節(jié)，以使他們能以期望的加速度和速度運動，否則連桿將因運動遲緩而損失機器人的位置精度。因此必須建立決定機器人運動的動力學關(guān)系方程，用來計算每個驅(qū)動器所需的驅(qū)動力。2023/10/71第四章機器人動力學機器人是主動機械2023/10/82第四章機器人動力學方法：1牛頓—歐拉法；2拉格朗日方法。

機器人動力學方程可以確定機器人的運動，但實際上除最簡單的情況外，求解機器人的全部動力學方程幾乎是不可能的。作用：1確定力和力矩，以便在機器人連桿和關(guān)節(jié)上產(chǎn)生期望的加速度；2考察不同負載對機器人的影響及根據(jù)期望的加速度來考察某些負載的重要性；2023/10/72第四章機器人動力學方法：機器人動力2023/10/83第四章機器人動力學牛頓歐拉法從運動學出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求內(nèi)作用力，是比較直接的方法。對于動力學，有兩個相反的問題：一是動力學的正問題：已知機械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度。主要應用于仿真研究；二是動力學的逆問題：已知機械手的運動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩。主要是實時控制的需要

一般機器人的動態(tài)方程由6個非線性微分方程聯(lián)立表示，實際上除了一些簡單的情況外，不可能求得方程的一般解。在實際控制時往往對動態(tài)方程作出某些假設，進行簡化處理。2023/10/73第四章機器人動力學牛頓歐拉法從運動2023/10/844.1慣性矩

首先，在圖4－1里通過把質(zhì)點的平移運動改作回轉(zhuǎn)運動的分析，來了解慣性矩的物理意義。

若將力F作用到質(zhì)量為m的質(zhì)點時的平移運動，看作是運動方向的標量，則可以表示為：

式中：表示加速度。若把這一運動看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為r的回轉(zhuǎn)運動，則得到加速度和力的關(guān)系式為：

2023/10/744.1慣性矩首先，在圖4－1里通過2023/10/854.1慣性矩

式中，和N是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性力矩，將和F代入上式得：

令，上式可以變?yōu)椋?/p>

（4－1）

式（4－1）是質(zhì)點繞固定軸進行回轉(zhuǎn)運動時的運動方程式，I相當于平動時的質(zhì)量，稱為慣性矩。求質(zhì)量連續(xù)分布物體的慣性矩時，可以將其分割成假想的微小物體，然后將微小物體的慣性矩加在一起，這時，微小物體的質(zhì)量dm及其微小物體體積dV的關(guān)系可用密度

表示為：

2023/10/754.1慣性矩式中，和N是繞軸回2023/10/864.1慣性矩

那么，它的慣性矩為：

整個物體的慣性矩可用下式表示：（4－2）

例4.1求圖4－2所示質(zhì)量為M，長度為L的勻質(zhì)桿（粗細忽略），繞其一端回轉(zhuǎn)時的慣性矩I。2023/10/764.1慣性矩那么，它的慣性矩為：2023/10/874.1慣性矩

例4－2試求上例的桿繞重心回轉(zhuǎn)時的慣性矩IC。解：由于該桿是重心位于中心的勻質(zhì)桿，因此，可先就桿的一半來求解，然后再加倍即可。假定x為離桿中心的距離，則得到：解：微小物體的質(zhì)量用線密度

（＝M/L）表示，所以其慣性矩為。因此將dI在長度方向積分，即可得到：2023/10/774.1慣性矩例4－2試求上例的桿2023/10/884.2牛頓、歐拉運動方程式圖4－3所示的單一剛體的運動方程式可用下式來表示：（4－3）

式中，m（標量）是剛體的質(zhì)量；是繞重心C的慣性矩陣；FC是作用于重心的平動力；N是慣性力矩；Vc是重心的平移速度；

為角速度。式（4－3）及式（4－4）分別被稱為牛頓運動方程式及歐拉運動方程式。Ic的各元素表示對應的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩。（4－4）

2023/10/784.2牛頓、歐拉運動方程式圖4－32023/10/894.2牛頓、歐拉運動方程式下面我們來求圖4－4所示1自由度機械手的運動方程式。這種場合，由于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運動，所以可以把式（4－4）的運動方程式看作是繞固定軸的運動。假定繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為I，取垂直紙面的方向為Z軸，則得到：2023/10/794.2牛頓、歐拉運動方程式下面我們2023/10/8104.2牛頓、歐拉運動方程式式中：g為重力常數(shù)；是在第三行第三列上具有繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩陣，把這些公式代入（4－4），提取只有z分量的回轉(zhuǎn)則得到：2023/10/7104.2牛頓、歐拉運動方程式式中：2023/10/8114.2牛頓、歐拉運動方程式式中：（4－5）對于一般形式的連桿，由于I

除第三分量以外，其它分量皆不為零，所以

×I

不是零向量。

×I

的第1，2分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個力矩平衡的約束力生成式N的第1，2分量，不產(chǎn)生運動。由于機器人是具有分布質(zhì)量的三維、多自由度機構(gòu)，利用牛頓力學建模非常困難，拉格朗日力學成為主要的動力學分析方法。2023/10/7114.2牛頓、歐拉運動方程式式中：2023/10/8124.3拉格朗日運動方程式拉格朗日運動方程式僅僅包涵能量項對系統(tǒng)變量和時間的微分，結(jié)構(gòu)簡單，因此多數(shù)教科書利用該方程進行動力學推導。拉格朗日力學以兩個方程為基礎(chǔ)：一個是直線運動，另一個針對旋轉(zhuǎn)運動。2023/10/7124.3拉格朗日運動方程式2023/10/8134.3拉格朗日運動方程式拉格朗日運動方程式可表示為：（4－6）（4－7）式中，q是廣義坐標，

是廣義力，當為直線運動時，為力的單位，當為轉(zhuǎn)動時，它為力矩的單位。拉格朗日運動方程式也可表示為：

這里，L是拉格朗日算子；K是動能；P是勢能。2023/10/7134.3拉格朗日運動方程式拉格朗2023/10/8144.3拉格朗日運動方程式例：用拉格朗日運動方程式推導下圖所示的單自由度系統(tǒng)力和加速度的關(guān)系，車輪的質(zhì)量忽略不計：小車的動能為：拉格朗日算子為：小車系統(tǒng)的勢能為：

2023/10/7144.3拉格朗日運動方程式例：用2023/10/8154.3拉格朗日運動方程式拉格朗日函數(shù)的導數(shù)為：因此小車系統(tǒng)的運動方程為：

2023/10/7154.3拉格朗日運動方程式拉格朗2023/10/8164.3拉格朗日運動方程式現(xiàn)就前面講的1自由度機械手來具體求解。假定

為廣義坐標，則有：由于（4－8）2023/10/7164.3拉格朗日運動方程式現(xiàn)就前2023/10/8174.3拉格朗日運動方程式所以用

置換式（4－6）的廣義坐標后得到下式：（4－9）它與前面的結(jié)果完全一致。下面推導圖4－5所示的2自由度機械手的運動方程式。在推導時，把

1，

2當作廣義坐標，

1，

2當作廣義力求拉格朗日算子，代入式（4－6）即可得到。2023/10/7174.3拉格朗日運動方程式所以用2023/10/8184.3拉格朗日運動方程式第1個連桿的動能K1、勢能P1可分別表示為：（4－10）2023/10/7184.3拉格朗日運動方程式第1個2023/10/8194.3拉格朗日運動方程式式中，是第i個連桿質(zhì)量中心的位置向量。（4－11）2023/10/7194.3拉格朗日運動方程式式中，2023/10/8204.3拉格朗日運動方程式應該注意到各連桿的動能可用質(zhì)量中心平移運動的動能和繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運動的動能之和來表示。由式（4－11），得到式（4－10）中的質(zhì)量中心速度平方和為：利用式（4－10）和式（4－12），（4－13），通過下式（4－12）（4－13）2023/10/7204.3拉格朗日運動方程式應該注2023/10/8214.3拉格朗日運動方程式式中：可求出拉格朗日算子L，把它代入式（4－6）的拉格朗日運動方程式，整理后可得：2023/10/7214.3拉格朗日運動方程式式中：2023/10/8224.3拉格朗日運動方程式（4－37）2023/10/7224.3拉格朗日運動方程式（4－2023/10/8234.3拉格朗日運動方程式是慣性力；是離心力；表示加在機械手上的重力項，g是重力加速度常數(shù)。對于多于3個自由度的機械手，也可用同樣的方法推導出運動方程式，但隨自由度的增多演算量將急劇增加。2023/10/7234.3拉格朗日運動方程式2023/10/8244.4機械手動力學方程

在分析了二連桿機械手的基礎(chǔ)上，我們分析由一組A變換描述的任何機械手，求其動力學方程。分以下5步進行推導：（1）

計算任一連桿上任一點的速度；（2）

計算各連桿的動能和機械手的總動能；（3）

計算各連桿的位能和機械手的總位能；（4）

建立機械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；（5）

對拉格朗日函數(shù)求導，以得到動力學方程。2023/10/7244.4機械手動力學方程在分析了二2023/10/8254.4機械手動力學方程

下圖表示一個四連桿機械手的結(jié)構(gòu)。我們先從這個例子出發(fā)，求得此機械手某個連桿（例如連桿3）上某一點（P）的速度、質(zhì)點和機械手的動能與位能、拉格朗日算子，求系統(tǒng)的動力學方程。然后，由特殊到一般，導出任何機械手的速度、動能、位能和動力學方程的一般表達式。2023/10/7254.4機械手動力學方程下圖表示一個2023/10/8264.4機械手動力學方程

2023/10/7264.4機械手動力學方程2023/10/8274.4.1速度的計算圖中連桿3上點P的位置為：式中，為基坐標系中的位置矢量；為局部（相對關(guān)節(jié)O3）坐標系中的位置矢量；T3為變換矩陣，包括旋轉(zhuǎn)和平移變換。對于任一連桿i上的一點，其位置為：2023/10/7274.4.1速度的計算圖中連桿3上點2023/10/8284.4.1速度的計算點P的速度為

（4.14）

2023/10/7284.4.1速度的計算點P的速度為（2023/10/8294.4.1速度的計算對于連桿i上任一點的速度為：（4.15）

P點的加速度2023/10/7294.4.1速度的計算對于連桿i上任一2023/10/8304.4.1速度的計算速度的平方：對于任一機械手上一點的速度平方為(4.16)2023/10/7304.4.1速度的計算速度的平方：對于2023/10/8314.4.2動能和位能的計算令連桿3上任一質(zhì)點P的質(zhì)量為dm，則其動能為：任一機械手連桿i上位置矢量的質(zhì)點，其動能為2023/10/7314.4.2動能和位能的計算令連桿3上2023/10/8324.4.2動能和位能的計算對連桿3積分dK3，得連桿3的動能為：式中，積分稱為連桿的偽慣量矩陣，并記為：2023/10/7324.4.2動能和位能的計算對連桿3積2023/10/8334.4.2動能和位能的計算任何機械手上任一連桿i的動能為：（4.17)式中，Ii為偽慣量矩陣，其表達式為：2023/10/7334.4.2動能和位能的計算任何機械手2023/10/8344.4.2動能和位能的計算式中，Ii為偽慣量矩陣，其表達式為：2023/10/7344.4.2動能和位能的計算式中，Ii2023/10/8354.4.2動能和位能的計算物體的轉(zhuǎn)動慣量、矢量積以及一階矩量為：如果令2023/10/7354.4.2動能和位能的計算物體的轉(zhuǎn)動2023/10/8364.4.2動能和位能的計算于是可把Ii表示為（4.18)：2023/10/7364.4.2動能和位能的計算于是可把I2023/10/8374.4.2動能和位能的計算具有n個連桿的機械手總的動能為：（4.19)連桿i的傳動裝置動能為式中，Iai為傳動裝置的等效轉(zhuǎn)動慣量，對于平動關(guān)節(jié)，Iai為等效質(zhì)量；